CHAPITRE PREMIER

I?"* PROBLi:M£.

Trouver V angle d^une droite et d! un plan.

Solution. Soit A, B (fig i4) la droite, et OP,MN le plan donné : par A, B, faisons passer un plan perpendiculaire à OP^MN; la limite de ce plan devra passer par le point S, normal de la limite MN, et par le point B, Kmite de la droite; sa trace sera une parallèle à BS, menée par le point A. L'angle cherché est celui que forme la proposée avec la commune intersection HE, du plan OP,MN et du plan que nous venons de construire. En rabattant le plan EB , Toeil vient s'appliquer en R , et l'angle ERB est l'angle demandé,

l8"* PROBLEME.

Trouver r angle de deux plans passant par PœiL

Solution. Soient (fig. 1 5) AD et DC les deux plans donnés : en menant par l'oeil un plan perpendiculaire à l'intersection de ces deux plans projetée en D, nous aurons formé un angle trièdre dans lequel l'angle plan de la nouvelle face mesurera l'angle demandé. La trace de ce plan est la ligne EF , nonnale du point D. Rabattant ce dernier plan autour de EF, l'oeil vient s'appliquer en O^ et l'angle EC/F est l'angle demandé; ce sera l'angle que fonneraient entre eux deux plans quelconques, ayant l'un AD et l'autre CD pour limite.

lafescaafeatt

Après avoir résolu en projection polaire les principales questions qui concernent la ligne droite et le plan , cherchons quelles sont celles de ces questions qui ont exigé que, dans le tracé de l'épure, on fit usage du oerde décrit du poîi^t de vue , avec la distance de l'œil au tableau pour rayon. Toutes les fois que, dans les données ou dansie but du problème, il a été question de grandeurs angulaires (i) ou U« néaires déterminées , ce cercle a été indispensable pour exécuter Tépure ; mais , toutes les fois que ces grandeurs ne sont point entrées comme données ou comme but du problème , ce cercle a été teul^à-£aât

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(i) Excepté les reUtioiis de par^ll^noe, <jiu ffonjt indépuidantes de la de YitâXp

ao GÉOMÉTRIE PERSPECTIVE.

inutile. Quelque part qu'il eut été placé, les constructions auraient été les mêmes , c'est-à-dire que , dans ce cas , l'épure est vraie pour toutes* les positions de l'œil dans l'espace ; résultat extrêmement remarquable , et qui donne à la projection polaire un caractère de généralité que n'a point la projection orthogonale.

Quand , par exemple , nous plaçons sur le tableau la trace et la li* mite d'un plan, et ],a projection d'une droite qui le rencontre, chaque position différente de l'œil donne un plan et une droite différensi dans l'espace , mais Ués entre eux par la condition que leur point d'intersection a toujours sur le tableau la même perspective. Il en est de même de l'intersection de deux plans. Quelque part qu'un spectateur soit placé , cette épure sera toujours pour lui celle de l'intersection de deux plans , et cette intersection se projettera suivant la même droite sur le tableau. Nous reconnaîtrons, plus tard que les surfaces du deuxième degré présentent des propriétés analogues.

Un point est la perspective d'une droite qui passe par l'œil. Placez en fece de ce point autant de spectateurs que vous voudrez, ils supposeront tous que c'est vers eux que se dirige la droite , dont ce point est la projection.

Dans la suite, on verra comment les considérations qui se déduisent de la position indéterminée de l'œil peuvent servir à démontrer immédiatement certaines propriétés des courbes et des surfaces du second degré. Nous nous dispenserons désormais de tracer le cercle de rabattement dans toutes les épures où il ne sera pas indispensablement nécessaire.

PROPRIÉTÉS DE GÉOMÉTRIE MiANE , DÉDUITES DU I'' CHAPITRE.

i" Lemme. Deux droites qui se rencontrent peuvent être considérées comme la perspective de deux droites parallèles , dont le point d'intersection est la limite.

2"^ Lemme. Deux angles peuvent être considérés comme la perspective de deux couples de parallèles, situées sur un même plan dont la droite qui joint les sommets est la limite. Tout autre angle ayant son 'sommet sur cette limite , peut donc être aussi considéré comme un nouyeau couple de parallèles contenues dans le même {^n.

3*"*" Lemme» L'ensemble de deux parallèles peut toujours être considéré comme