CHAPITRE PREMIER. ai

Ja |impectiv« d'an plan , et une ligne iaolée^ comme ceUe d'un plan passant par roeil.

On a souvent remarqué qu'un cercle pouvait être la perspective d'une courbe quelconque du second degré : la figure i6, au moyen des propriétés de la limite du plan y va nous en fournir une démonstration qui ne manque pas dé simplicité et d'élégance.

Soit le cercle tracé sur le tableau ; supposons que la courbe dont il est la projection polaire ait pour trace de son plan la ligne AB et pour limite la ligne CD : dans ce cas, la courbe dont 'ce cercle est la perspective est évidemment fermée, puisque non? pourrions assigner^ en plaçant l'œil, la grandeur finie de toutes les cordes qu'on peut lui mener ; c'est par conséquent une ellipse. Si le plan de la courbe était AB, CV , cette courbe serait composée de deux parties séparées, l'une au-delà de la limite, et» par conséquent, située dans l'espace denièrie l'ioeil , et l'autre située derrière le tableau, par rapport à VœïL Ces deut parties ont chacuiie deux brancbes infinies représentées deux à deux par les points où la limite du plan coupe le cercle ; les tangentes au cercle à ces deux points sont la perspective des tangentes à l'infini aux quatre brancbes , et par conséquent la projection des asymptotes. Leur intersection en H sera la projection du centre de la courbe ; on reconnaît à ces propriétés une hyperbole. Enfin , si le plan de la courbe était AB , Cl/, tel que sa limite fût tangente au cercle , la courbe située sur ce plan aura deux brancbes infinies , dont les tangentes sont parallèles à la ligne qui joint l'œil au point où la limite du plan touche le cercle f ces tangentes sont ellesmêmes à l'infini. Toute» les cordes qui passent par ce point çoiqpent la courbe à l'infini, et sont parallèles entre eUes ; cette courbe est donc tme parabole. ^ De cette figure , il est aisé de conclure que les propriétés du cercle , qui n'en-r traînent point des considérations d^ grandeurs déterminées angulaires ou linéaires, appartiennent à tontes les courbes du second degré-, car, dans la fig* iG, puisqu'on petit iaire varier à volonté Tœil et le plan sécant, on peut toujours les disposer de manière à produire dans l'espace une courbe déterminée , dont le cercle serait la projection, et telle, que les sécantes et tangentes du oerccle seraient la perspective de tangentes et sécantes analc^es , et semblablement . placées dans cette courbe.

Supposons encore qtle , par un podnt de la limite du plan de la courbe projetée suivant ce cercle , nous avons men^ deux tangentes à ce cercle ; ces tangentes seront les perspectives de deux tangentes parallèles sur la courbe (i^'lemme); huoerde qui jmnt, dans le 'cerde, les deux points de tangenee sera donc la perspective d'un diamètre de la courbe ; cette corde contiendra donc la perspective du centre ; toutes les cordes ainsi déterminées devront donc passer par un même points qui est la perspective du centre de la courbe que l'on considère.

En Géométrie plane , ce point est appelé pôle de la ligne d'où proviennent

^tA

toutes les tangepitefl , qui est elle-iaèiiie appelle polaire par rapport à ce ^nt. Ces relations ont, en Perspective , une signification déterminée. Chercher le pAle d^une ligne y c'est construire Téptire <pii résout ce problème : La base ifun cône ayant son sommet à Vœil étant donnée , tromper la perspecûve des centres de toutes les courbes produites sur ce cône par l'intersection d'une suite ^ de plans parallèles dont on a la limite. Nous verrons plus tard que les relations du pôle et de la polaire tiennent encore à d'autres propriétés des surfaces du second ordre. Si les sections sont des ellipses, le pôle est intérieur au cercle ; si ce sont des paraboles y le pôle est sur le cercle même au point de tangence de la limite du plan , c'est-^-dire à l'infini; enfin ^ si ce sont des hyperboles, le pôle est extérieur au cercle.

En appliquant la seconde solution du 2^ problème à la question suivante : Chercher (fig. 3) sur la perspective de A, B le point qui se trouve à une distance du tableau- égale à AG (i),.on est conduit à cette jproposition de Géométrie plane : Deux cercles étant donnés, si, dans chacun de ces cercles, on mène un rayon, quelle que soit la direction de ces rayons , pourvu qu'ils soient parallèles entre eux , les lignes qui joignent leurs extrémitéjs viennent passer par un même point situé sur la ligne qui joint les centres des deux cercles. Quand nous nous occu<^ perons du cône , nous reconnaîtrons aux deux points qu'on peut ainsi déterminer la propriété d'appartenir aux tangentes communes aux deux cercles.

L*^mre idie nntersectîon d'une droite ^t d^un plan démontre immédiatement la proposition suivante : Si Voti a sur im plan deux parallèles invariables et deux points fixes , et que , par ces deux poii^ts , on fasse passer deux autres parallèles variables de direction^ dans la succession des parallélogrammes formés, les diagonales viennent toutes passer par un même point situé sur là droite qui joint les deux points fikes; et, (^oirnne il y a dans la suite des parallélogrammes deut systèmes de diagonales , lé second système vient concourir à un second point sur la même droite.

Par le a**^lemme, tnin en tète de ces notes, on reconnaîtra que la même propriété existe en remplaçant les parallèles par des angles, pourvu gue l'angle va-^ riable soit assujetti à se mouvoir de manière que son sommet parcoure une même ligne dtôlte passant aussi par le sbihmet de l'angle fixe.

On a donné depuis long^temps le moyen de mener par un point une parallèle à

une droite donnée, en n'employant que la règle à la solution de ce problème,

(i) Ce problème a deox solations. II existe pareillement en avant de I9 trace de ^.,1) an «ntre point «ur ceue droite , à une même distance AG du tdblean.