CHAPITRE PREMIER. a

pourvu que Too eul» à priori^ un paraUék>gramtne tracé sur- le plan o^ l'on doit opérer* Cette solnlion est une épure de perspective. Soit eu effet (fig. ao) la djmte ABi i laquelle ou doit niener la parallèle , et CDEF le paraUélogramme donné: en considérant ce parallélogramme çonune la perspective de deux plans (ID , EF et CE , DF (3"" lemme) , et la ligne AB comme la trace d'un troisième plan passant par un point quelconque de la commune intersection G , F des deux premiers, le problème sera résplu ; 'car , ^i joignant le point au point I , on a la direction de l'îiitersection commune du plan CE, DF avec le plan cherché , et par eonséquent en H la limite de cette intersection ; opérant de même pour l'autre plan , noua aurons en G la limite de l'intersection avec le plan CD, EF. La ligne qui joint G à H est doncia limite du plan cherché ; elle est donc parallèle à AB. Ayant deux parallèles, on sait comment leur en mener une troisième par un point donné en n'employant que la règle , et c'est encore la perspective 'qui fournit cette solution.

Si le point , au lieu d'être pris arbitrairement, était, comme nous l'avons fait; celui où viennent se couper les deux diagonales du parallélogramme , le raisonnement ci-dessus , appliqué au plan CD , EF et au plan CE, DF inverti , qui ont pour intersection la diagonale DE, prouverait que la droite LH est parallèle & la droite 16 ; enfin , on démontrerait de même que W est parallèle à G^ET.

Par le 2"^ lemme, on peut conclure de la figure 22, une figure analogue , dans laquelle tous les systèmes de parallèles seraient remplacés par des lignes concourant deux à deux sur une même droite, et par conséquent démontrer les propriétés connues du quadrilatère par rapport à la droite qui joint les points de rencontre de ses côtés opposés.

Nous avons dit que la perspective donnait un moyen de mener, avec la règle, une parallèle à deux autres droites , oH , d'après le i** lemme , une droite au point de rencontre de deux autres. Soient ( fig. 17) les deux droites AB et CD dont ou suppose qu'on ne peut obtenir le point de rencontre sûr le papier; nous les regarderons comme la perspective de deux lignes sitiiées dans un plan qui a pour trace MC, et qui a pour intersection la ligne MK avec un autre plan dont nous ne considérerons pareillement que la traee MN que Yma peut se donner à volonté, et nous supposerons que ce dernier plan contient le point O ; par lequel il s'agit de menef une droite au point de concours de AB et CD, Faisant passer par le point O et chacune de ces deux droites un plan , les lignes JBOG et DOF seront cha* cune dans un de ces plans. Les points G et F sont donc un point de leur trace, les points A et C en sont deux autres; donc le point H est la trace de leur commune intersection. Cette commune intersection passe par le point 0, par construction ; elle rencontre de plus chacune des Ugnes AB et CD , comme troisième arèté d'un angle trièdre formé par les plans dont AH , HC et MC sont les traces ; donc la ligne qui joint le point H au point est la ligne cherchée.

Nous n'avons traité cette question en supposant le point hors du plan des

a4 GÉOMÉTRIE PERSPECTIVE.

deux droites , que pour donner la démonstration de la construction employée : iminenée à un plan , la solution se compose des mêmes lignes; mais la démoostnktion ne serait pas , à beaucoup près^ aussi simple A Ton ne considénit pas la figuve comme lésolvant un problème à trois dimensions (i).

Par les considérations qui résultent de T^ure de Tintersection de trois plans et par le 2"* lemme , on démontre que si ^ sur un phn , trois angles rectilignes sont disposés de manière à avob leurs sommets sur une mAine droite , les six diagonales des trois quadrilatères qpTûs forment deux à deux viennent toutes se oouper trois à trois en quatre points ; cbaqi|.e diagonide contient deux de ces points* -

L'épure de Tangle de deux plans peut servir à démontrer cette proposition de Géométrie t Dans tout triangle, les perpendiculaires abaissées du sommet d'un angle sur le c6té opposé passent par un ménie point. Supposons , en effet, que l'angle des deux plans donnés (fig. i5) soit droit. Alors dans Tangle trièdre formé à Tœil chaque arête est' pei-pendiculaire à la tàfie opposée , et Ton a vu que pour qu'une droite et un plan lussent réciproquement perpendiculaires , il fallait .que la ligne qui joint le point limite de la droite au point de vue fût perpendiculaire à la trace du plan. Le point de vue est donc , dans ce cas', commun aux trois perpen* diculaires. U n'est pas besoin de faire observer que tout triangle 1 quand it n'a pas d'angle obtus, peut être considéré comme la trace d'un ^glç trièdre droit, au sommet duquel on peut supposer l'œil placé. Dans le cas .de l'angle obtus , eu considérant le triangle formé par le grand côté, et les perpendiculaires at^issées de ses extrémités sur les deux autres côtés prolongés , triangle dont les trois angks sont aigus et d<«t les perpendiculaires ont pour point de rencontre le sommet de l'anglei obtus du premier, on reconnaît que la propriété énoncée ci --dessus ne peut iivoir lieu pour l'un de ces triangles , qu'elle n'ait aussi lieu pour l'autre.

(1) Oo é^ftooft aoiivent d«s dificnlt^t poor rëKwdtre oeitaîns proMèiuct de G^kunctrie pUne, par kf seiil09 rettoorocs qoe prëtenw cette G^otn^trie, qui n^eet qo*ane partie de U Sciûmce de i'étendtm;. umdis que, ei l'on coofidère la qncsiîoo à résoudre comme depcndani d'un problème, à troii djaaenaio^a , la aolniioa cberehce s^obdent preaque aana efibn. Rien ne faTorite pina ce paaaagc d*iine fifnare plane à une épore, que les coneid^radons de projection polaire. On trouTcra à la fin do cb»pitre ânifant d^ iioaTeilif prearci à Tappui de cette asserrtîpn.