AE<AB

S^il s'agissait de deux arcs pris sur un même cercle, on pourrait tracer xm cercle égal au premier, et supposer sur ce cercle un arc égal i Futt des détix arcs donnés ; la proposition se trouverait ra-

20 PREMIÈRE PABUE.

menée au cas précédent , de la même manière que dans la seconde partie du théorème du n° 27.

Remarque. Nous avons dit qu'une même corde sous-tend toujours deux arcs; le théorème précédent suppose qu'il s*agit du plus petit des deux arcs sous-tendus par chaque corde. S'il s'agissait au contraire du plus grand , il est facile de voir qu'au plus grand arc correspondrait au contraire la plus petite corde.

29. Corollaire I. Dans des cercles égaux, ou dans le même cercle, à des cordes égales correspondent des arcs égaux.

Car, si les arcs différaient , les cordes différeraient aussi , d'après le théorème précédent, ce qui est contraire à la supposition.

50. Corollaire 11. Dans des cercles égaux ^ ou dans le même cercle, à une plus grande corde correspond un plus grand arc.

Considérons, en effet, deux cordes, dont la première soit plus grande que la seconde : si les arcs correspondants étaient égaux , les cordes devraient être égales, en vertu du théorème du n° 27 ; ce qui est contraire à la supposition. Et si l'arc sous-tendu par la première corde était plus petit que l'arc sous- tendu par la seconde , la première devrait être plus petite que la seconde , en vertu du théorème du n° 28 , ce qui est également contraire à la supposition. Il faut donc que le premier arc soit plus grand que le second.

Remarque. Ce corollaire suppose encore qu'il s'agit du plus petit des deux arcs sous-tendus par chaque corde.

3 1 . TflÈORÈHE. La plus grande de toutes les cordes est le diamètre.

Par l'extrémité A (fig. 10) d'une corde quelconque AC , menons le diamètre AB, et tirons le rayon OC. La ligne droite étant la plus courte des lignes qu'on peut mener d'un point à un autre , on a AC<AO-f-OC. Mais on peut remplacer par OC son égal OB ; on a alors

AC<AO-t-OB ou AC<AB,

donc toute corde est moindre que le diamètre.

52. Théorème. Tout diamètre AB {Rg. 10) divise la circonférence en deux parties égales.

Imaginons, en effet, que Ton plie la'figure le long de AB, et que la partie AmB vienne s'appliquer sur la partie ACB; ces deux parties devront coïncider dans toute leur étendue ; car, dans le cas contraire, il y aurait des points inégalement distiints du centre.

Corollaire. Réciproquement : Toute droite qui divise la circonférence en deux parties égales est un diamètre.

En effet, si, par l'extrémité A d'une corde quelconque AC, différente d'un diamètre, on mène le diamètre AB, les deux parties AmB et ACB de la circonférence seront égales. Les deux arcs sous-tendus par la corde AC sont donc nécessairement inégaux ; à moins que le

point C ne se confonde avec le point B, c'estrà-dire que la corde ne devienne un diamètre.

55. On vient de voir que Tégalité des arcs entraîne Tégalité des cordes, et que l'égalité des cordes entraine à son tour Fégalité des arcs. Cette considération permet d'ajouter, de soustraire, de multiplier et de diviser les arcs de la même manière que les lignes droites , pourvu que ces arcs appartiennent à un même cercle, ou à des cercles égaux.

Pour en donner un exemple , supposons que Ton veuille obtenir la différence de deux arcs donnés. Sur une circonférence de même rayon, portons une ouverture de compas AB (fig. 12) égale à la corde du plus grand arc. Sur la même circonférence , et dans le même sens , portons une seconde ouverture de compas AE, égale à la corde du plus petit arc. Les arcs AMB et AME seront respectivement égaux aux arcs donnés ; la différence de ceux-ci sera donc égale à l'arc EB.

Pour diviser les arcs en parties égales avec le moins de tâtonnements possible, on emploiera la même méthode que pour diviser les lignes droites (17). Nous ferons à ce sujet la même observation que pour la division des lignes droites : c'est que si le nombre de parties égales que l'on veut obtenir est considérable, et n'est point premier , en le décomposant en ses divers facteurs , on ramène la division demandée à une série de divisions successives , plus faciles à effectuer. S'il s'agit , par exemple , de diviser la circonférence entière en 360 parties égales, on la divise d'abord en 2 parties égales par un diamètre; on divise ensuite chaque demi-circonférence en 5 parties égales, puis chacune de celles-ci en 3 autres, puis chacune de celies-ci encore en 3 autres, puis chacune de celles-ci en 2 autres, et enfin chacune de ces dernières en 2 autres. Le nombres des parties égales ainsi obtenues sera évidemment 2X5X3X3X2X2 ou 360.

Pour trouver en nombres le rapport de deux arcs, la méthode est absolument la même que pour trouver en nombres le rapport de deux lignes droites. Il suffit de porter sur le plus grand arc une ouverture de compas égale à là corde du plus petit, puis de porter sur le plus petit une ouverture de compas égale à la corde du reste du plus grand, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste négligeable , ou qui soit contenu dans le précédent un nombre exact de fois. On rapproche ensuite les unes des autres les relations fournies par ces opérations.

92 PREIK^BB PAITU.

De la mesure des arcs.

84. II était naturel de chercher à réduire les ^rcs en nombres , en les rapportant à une même unité de mesure. Mais il se présente pour les arcs de cercle une difficulté qui n*a pas lieu pour las longueurs rectilignes : c'est qu'une même unité de mesure ne saurait servir à comparer entre eux des arcs pris sur des cercles de rayons différents. En effet, pour effectuer cette comparaison, il faudrait porter sur chacun des arcs proposés l'arc pris pour unité, autant de fois que cela serait possible. Or, on n'a aucun moyen direct de porter un arc sur un autre arc ; on n'y parvient, comme nous l'avons vu ci-dessus, qu'en s*appuyant sur ce que les arcs égaux ont des cordes égales. Mais ce théorème n*est vrai que pour des arcs pris sur des cercles égaux ; car il est facile de voir que dans des cercles inégaux une môme corde peut sous-tendre des arcs très-différents. A la seule inspection de la figure 13, on reconnaît que Tare AMB est plus grand que l'arc AmB (30); ces deux arcs sont cependant sous* tendus par une même corde AB. Une même unité de mesure ne peut donc pas convenir à des arcs pris sur des cercles inégaux.

Nous verrons par la suite comment on parvient à comparer entre eux des arcs pris sur des cercles différents. Ce que nous allons dire ne s'appliquera qu'à des arcs pris sur un môme cercle, ou sur des cercles de ipôme rayon.

55. On prend pour principale unité d'arc le quart de la circonférence, que l'on désigne sous le nom de quadrans. On subdivise le quadrans en 90 parties égales , que l'on pomme degrés, chaque degré en 60 minutes, et chaque minute en 60 secondes, (Dans les calculs astronomiques, on évalue les dixièmes de seconde.) La circonférence entière se trouve ainsi partagée en 360 degrés , ou en 21600 minutes, ou en 1296000 secondes.

Mesurer un arc, c'est chercher, à l'aide d'un cercle de môme rayon préalablement divisé, le nombre de degrés, de minutes et de secondes que renferme l'arc proposé.

Les circonférences que l'on prend pour termes de comparaison ne sont, le plus souveiil , divisées qu*en degrés ou en demi-degrés. Pour apprécier les minutes, on a recours au vernier circulaire ; c'est une peUle règle circulaire (flg. 14) donl Tare intérieur a précisément le même rayon que la circonférence divisée, et qui est susceptible de glisser à froUement doux le long de celte circonférence. La longueur du vernier embrasse 29 divisions de la circonférence, et est divisée en 30 parUes. A l'aide de cet instrument, on peut donc, comme nous l'avons dit au n" 2i , apprécier les trentièmes de l'une des divisions de la circonférence. Si cette circonférence est divisée en demi-degrés, le vernier permettra d'apprécier les trentièmes de demi-degré, c'est-à-dire les soixantièmes de degré, ou les minutes; si elle n'est divisée qu'en degrés, le vernier n'indiquera que les trentièmes de degré, c'est-à-dire des arcs de 2 minutes. Dans un

G|0II£TBUS PhAM. 3S

très-giand nombre de cas , cette approximation «iffit. Mais dans quelques opérations de géodésie , on à besoin d'une approximation beaucoup plus grande ; nous verroDs bientôt comment on peut apprécier les secondes. Dans les observalions astronomiques , où une grande approximation est toujours nécessaire, on fait usage de microscopes, qui permettent de distinguer de très-petits intervalles sur la circonférence divisée, laquelle, d'ailleurs, a une grandeur convenable pour qu'il soit possible d'atteindre à un très-grand degré de précision.

On désigne les degrés par un petit zéro placé à droite et un peu au-dessus du nombre qui les exprime ; les minutes se désignent par un accent ^ et les secondes par deux accents". Ainsi 69 degrés 51 minutes et 28 secondes s'écrivent 69^* 51' 28".

56. Dans le système décimal, le quadrans se divise en 100 grades, chaque grade en 100 minutes, et chaque minute en 100 secondes. Par la nature même de cette subdivision , un arc s'exprime immédiatement par un nombre décimal de grades ; ainsi 38 grades 16 minutes et 7 secondes s'écrivent 38^,1607 ; et il suffit pour réduire un pareil nombre en unités de l'espèce inférieure, de transporter la \irgule de deux rangs vers la droite. Ainsi 38«',1607 équivalent à 3816"«',07, ou à 381607 secondes.

Malgré cet avantage particulier au système décimal, l'ancienne division de la circonférence a prévalu. Plusieurs raisons militent en sa faveur. On a souvent besoin de partager la circonférence en parties aliquotes; or le nombre 360 ayant beaucoup plus de diviseurs que le nombre 400, ces parties aliquotes s'expriment plus fréquemment par un nombre entier de degrés que par un nombre entier de grades.

De plus, en adoptant la division nouvelle, il eût fallu mettre à la réforme une quantité innombrable d'instruments d'astronomie , de géométrie et de physique construits d'après la division ancienne, et refaire entièrement les tables astronomiques et les tables de logarithmes calculées d'après cette môme division.

Rien n'est, du reste, plus facile que de convertir Tune dans l'autre les expressic^ns ancienne et nouvelle d'un même arc. Puisque le quadrans contient 100 grades ou 90 degrés, le grade est les j^ du degré. Pour convertir un nombre de grades en degrés , il suffit donc de le multiplier par ^ ; et réciproquement, pour convertir un nombre de degrés en grades, il suffit de le diviser par -^, ou, ce qui revient au môme , de le multiplier par ^.

Par exemple 16«',25 multipliés par ^ donnent pour produit 14*,625 ou ^^\ ou, en exprimant le quotient en nombre complexe, 140 37' 30^'.

Réciproquement 14^ 37' 30" reviennent à 14« 2250"; or, comme un degré vaut 60 fois 60 secondes, ou 3600 secondes, chaque seconde vaut uu aeoOf de degré ; les 2250 secondes valent donc HM de degré, et le nombre proposé revient à 14« ^, ou en réduisant la

fraction en décimales, à 14S625; ce nombre, multiplié par ^, donne pour produit l&'y25,

57. Les arcs étant traduits en nom])res, comme nous venons de l'indiquer, il devient facile de les ajouter, de les soustraire, de les diviser. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de diviser un arc en 6 parties égales , et que cet arc ait pour expression 2T 17' 45*'; on divisera ce nombre par 6, et le quotient 5® 27' 33" sera la valeur de Tune des 5 parties cherchées.

S'agit-il de trouver en nombres le rapport de deux arcs donnés , la question sera immédiatement résolue en cherchant combien de degrés, minutes et secondes, ils contiennent; et s'ils sont incommensurables, leurs expressions approchées donneront une approximation généralement suffisante du rapport demandé.