CHAPITRE IIL

DB8 AJI6LB8.

58. Nous avons vu que deux droites ne peuvent avoir deux points communs sans coïncider. Lorsque deux droites ont seulement un point commun , on dit qu'elles se rencontrent, qu'elles concourent, qu'elles se coupent; et le point commun se nomme leur point de rencontre , de concours ou d'intersection.

Deux droites tracées sur le papier ou sur un tableau peuvent concourir, bien que leur rencontre n'ait pas lieu par le fait, dans l'étendue de ce tableau; il faut concevoir alors qu'elles se rencontreraient si elles étaient suffisamment prolongées.

Quand la rencontre a lieu dans l'étendue du tableau , le point de concours se trouve immédiatement déterminé. 11 n'en est jamais ainsi pour les droites tracées par alignement sur le terrain ; il est toujours nécessaire de marquer par un Jalon le point où elles se rencontrent.

Soient AB et CD (flg. 15), deux droites jalonnées ; on marche dans la direction de l'une d'elles, de AB par exemple , jusqu'à ce qu'on se trouve à peu près dans la direction de l'autre ; et à l'aide d'un tâtonnement que l'habitude abrège , on parvient facilement à planter un jalon 0, tel qu'en regardant derrière ce jalon dans la direcUon OB , il cache tous ceux qui sont situes sur cette direction ; et qu'en regardant derrière ce même jalon dans la direcUon OD , il cache également tous ceux qui sont situés de 0 en D. Le point 0 ainsi déterminé est le point d'intersection des droites jalonnées AB et CD.

59. Deux droites AB, ÀC(fig. 16), qui se rencontrent en un point A, peuvent s'écarter plus ou moins l'une de l'autre. Ce plus ou moins d'écart est ce qu'on nonune Yangle des deux droites ; cha-

(ÎÊOMÉTBIE PLANE. ' 25

cu£6 d'elles forme un e6ié de Tangle, et le point commun A en est le ztxnm^t.

Pour désigner un angle , on se contente quelquefois de nommer son sommet; on dirait ainsi l'angle A. Mais comme il arrive fréquemment que plusieurs angles ont le même sommet, on convient dedés%ner chaque angle par trois lettres, dont Tune est celle du sommet, et dont les deux autres sont prises sur ses côtés, mais on a soin que celle du sommet soit nommée entre les deux autres. On dira ainsi Tangle BAC ou Tangle CAB indifféremment.

\\ est important de remarquer que dans la considération des angles on n'a aucun égard à la longueur des côtés. Ainsi BAC, DAC, BAE, DAE ne désignent qu'un seul et même angle. Un angle ne varie que lorsqu'on modifie la direction de ses côtés.

40. Deux angles sont égaux lorsqu'ils peuvent être placés de manière à coïncider, c'est-à-dire à avoir même sommet et leurs côtés respectivement dirigés suivant les mêmes droites et dans le même sens.

Si deux angles BOA, BOC (fig. 17) sont placés comme l'indique la figure, de manière à avoir même sommet 0, un côté commun OB, et leurs autres côtés situés de part et d'autre du côté commun , l'angle COA formé par les côtés OC et OA, est évidemment la somme des angles BOA et BOC.

On voit aussi que l'angle BOA est la difiérence des angles COA et BOC.

Imaginons que par le point 0 (fig. 18) on mène des droites OA, OB, OG, OD, etc., faisant entre elles des angles égaux BOA, COB, DOC, etc. L'angle COA sera le double de l'angle BOA ; l'angle DOA en sera ie in^X^^ et ainsi de suite. L'angle BOA, à son tour, sera donc la moitié de l'angle COA, le tiers de l'angle DOA et ainsi de suite.

On voit que les angles sont des quantités susceptibles d'être ajoutées, soustraites, multipliées et divisées, comme les autres quantités. Mais pour les comparer plus commodément, on emprunte le secours des arcs de cercle, comme nous allons le faire voir.

41. Théorème. Bmx angles quelconques AOB, DCE (fig. 19), sont entre eux comme les arcs AB et DE, décrits de leur sommet comme centre avec un même rayon.

Supposons d'abord que les arcs AB et DE aient une commune mesure, et qu'elle soit contenue, par exemple , 4 fois dans AB et 3 fois dans DE. Partageons l'arc AB en 4 parties égales, et l'arc DE en 3 parties égales, l^r tous les points de division m, n, p, r, 5, menons des rayons. Je dis d'abord que tous les angles kOm, wiOn, «Qp»JpOB, DCr, rCs, «CE, seront égaux entre eux. Considérons, en

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effet, les deux angles mOn et rCs, Si Ton Cdt coïncider les circoaférences 0 et C, et qu*on les fasse tourner dans leur plan autour de leur centre devenu commun, jusqu'à ce que les arcs égaux mn et r$ coïncident, il est évident que les rayons qui aboutissent aux extrémités de ces arcs coïncideront aussi , puisqu'ils auront respectivement deux points communs ; donc les angles mOn et rCs coïncideront. On démontrerait de même que Tangle mOn est égal à l'angle DCr; ou que l'angle rCs est égal à l'angle nOp; et ainsi des autres. Donc tous ces angles sont égaux.

Or, l'angle AOB contient 4 de ces angles; l'angle DCE en contient 3. Ces deux angles sont donc entre eux comme 4 est à 3. Mais les arcs AB et DE sont aussi entre eux comme 4 est à 3. Les angles sont donc entre eux comme les arcs, et l'on a la proportion

AOB:DCE::AB:DE.

Supposons maintenant les arcs AB et DE incommensurables. Divisons l'arc AB en un nombre arbitraire m de parties égales ; l'arc DE contiendra un certain nombre n de ces parties, plus un reste, et sera par conséquent compris entre n et » + 1 de ces parties. II en résulte que le rapport -^ sera compris entre î et —-* .

Par tous les points de division menons des rayons; nous déterminerons une série d'angles égaux, ayant leur sommet en 0 ou en C. L'angle AOB contiendra m de ces angles, et l'angle DCE sera compris entre n etn -|- 1 de ces mêmes angles. Il en résulte que le rapport^ sera compris entrée et =^'. Or, ces fractions diffèrent de i ; les deux quantités lî et ^ , toutes deux comprises entre s et ~, diffèrent donc entre elles de moins de i. Mais cette fraction ~ peut être rendue aussi petite que l'on voudra, puisque m est arbitraire ; la différence entre les rapports rî et j^ est donc moindre que toute quantité assignable; ces deux rapports sont donc égaux, ce qu'il s'agissait de démontrer.

Remarque. Les angles tels que AOB et DCE , qui ont leur sommet au centre d'une circonférence, sont nommés pour cette raison angles au centre ; et le théorème qui précède peut s'énoncer ainsi : Dans le même cercle ou dans des cercles égaux, les angles au centre sont entre eux comme les arcs compris entre leurs côtés,

42. Il résulte de la démonstration précédente qu'à des angles au centre égaux correspondent des arcs égaux; et réciproquement.

45. II résulte du même théorème que les arcs de cercle peuvent être employés à mesurer les angles. Car si Ton prend pour unité d'angle, l'angle au centre qui comprend entre ses côtés l'unité d'arc, de la proportionnalité démontrée on pourra conclure qu'un angle au centre quelconque est à l'unité d'angle , comme l'arc compris entre ses côtés est à l'unité d'arc. C'est dans ce sens qu'il faut

eolandre ce pruusjpe : Tmit angk w eenire a pour oiesur» fore compris entre ses côtés.

44. Nom Toviendrûn« tout à Tbeure sur la mesure effocitve des

angles; nous ferons remarquer auparavant que si l'on décrit des arcs àe cercle du sommet de différents angles comme centre , avec un même rayon , les opérations à effectuer sur ces angles pourront s'effectuer sur les arcs compris entre leurs côtés , ainsi qu'on vi| le ^oir.