CHAPITRE IL

25. Si l'on donnait un point 0 dans un plan (fig. 10) , et que l'on demandât de trouver dans ce plan un autre point distant du premier i d'une longueur donnée, il suffirait, pour obtenir une solution de la

GËOMÉTBIE PIANS. 17

question, de mener par le point 0 une droite quelconque OX , et de prendre sur celte droite, à partir du point 0, une longueur OC égale à la longueur donnée ; Textrémité C de cette longueur serait un des points qui satisfont au problème. Mais on voit que la question est indéterminée, c'est-à-dire susceptible d'une infinité de solutions, puisqu'on peut mener par le point 0 une infinité de droites différentes.

Lorsque Ton se propose ainsi de trouver un point qui remplisse certaines conditions , et que la question est indéterminée , la série des points qui y satisfont forme , en général , une certaine surface ou une certaine ligne que Ton nomme le lieu géométriqve du point chercbé. Dans la Géométrie plane , ce lieu ne peut être qu'une ligne. Dans Fexemple précédent, le lieu du point cherché, c'est-à-dire la série de tous les points situés à une distance du point 0 égale à la longueur donnée, est une ligne courbe dont l'emploi est continuel en Géométrie, et que Ton nomme circonférence de cercle. Quoique la dénomination de cercle ne s'applique rigoureusement qu'à la portion de plan terminée par la circonférence, on donne souvent, pour abréger, le nom de cercle à la circonférence elle-même, et c'est dans ce sens que l'on a coutume de dire : Le cercle est une courbe plane dont tous les points sont également distants d'un point intérieur nommé centre.

La figure 10 représente un cercle : le point 0 est son centre. Les droites OA , OC, OB, etc., menées du centre aux différents points de la circonférence sont ce qu'on appelle des rayons. D'après la définition même du cercle, toutes ces droites ont la même longueur, ce qu'on exprime en disant que tous les rayons sont égaux. Une ligne droite telle que AB , qui passe par le centre et est limitée de part et d'autre à la circonférence, se nomme un diamètre du cercle. On voit que chaque diamètre se compose de deux rayons , en sorte que tous les diamètres sont égaux.

On désigne ordinairement un cercle par son rayon ou par son diamètre : ainsi l'on dira le cercle OA , le cercle AB. Quelquefois on se contente de le désigner par son centre : on dirait ainsi le cercle 0.

il. ÂPPUCATI05S. Dans la plupart des méliers ou des arts, on a besoin de tracer des circonférences de cercle. Pour tracer un cercle sur le papier, on se sert d'un compas dont une brandie est armée d'un crayon ou d'un tire-ligne , tandis que l'aulre branche est à pointe sèche. On pose cette poinle sèche au point que l'on choisit pour centre , et l'on fait pivoter la première brandie autour de la seconde en appuyant la pointe à tracer sur le papier. Si l'écart des deux branches n'a pas varié , la courbe tracée est une circonférence de cercle; car tous ses poiols sont à égale distance du centre.

18 FREMIÈBE PARTIE.

gueur de la règle , et fixer, à l'aide d*iine vis de pression , en un point ^pielconque de celte longueur.

Pour tracer un cercle sur le terrain » on plante un piquet au centre ; on accroche à ce piquet , au moyen d'une boucle , un cordeau que l'on tend à l'aide d'un second piquet engagé dans une boucle faite à l'autre extrémité ; et l'on fait pivoter le second piquet autour du premier, en conservant au cordeau le nèaie degré de tension, et en empêchant les boucles de nonter le long des piquets, ce qui tendrait à faire varier le rayon.

Au lieu de faire mouvoir une pointe à tracer sur un plan fixe , en la mainletenant à une distance constante du point choisi pour centre on peut, au contraire , maintenir la pointe à tracer dan& une position fixe , et faire mouvoir le plan autour du centre comme une roue. Il est évident que le résultat est le même. C'est ainsi que les tourneurs et les potiers de terre tracent les circonférences de cercle.

28. Tbéorêmb. Deux cercles 0 el l (fig. 11) décrits du même rayon sont égaux.

En effet, imaginons que Ton transporte le cercle 1 sur le cercle 0, de manière que les centres I et 0 coïncident , les deux circonférences devront coïncider aussi ; car, si certains points de l'une tombaient en dedans ou en dehors de l'autre , tous les piûnts de ces circonférences ne seraient pas également éloignés du centre, ce qui est contraire à la supposition.

Ces circonférences coïncident donc dans toutes leurs parties y et sont par conséquent égales.

Corollaire. Pour tracer une circonférence égale à une circonférence donnée, il suffit donc d'employer le même rayon.

Bemàrque. Quand deux circonférences de même rayon sont placées de manière à avoir même centre , elles coïncident dans toutes leurs parties , de quelque façon qu'on les fasse tourner dans leur plan autour de ee centre. Le cercle est la seule ligne courbe ([ui jouisse de cette propriété.

AppLicàTioN. On a dans les arts des occasions fréquentes de tracer des circonférences égales : les roues de voiture qui tournent sur le même essieu, ont des circonférences égales; le couvercle d'un vase de forme ronde le ferme d'autant mieux que sa circonférence diffère moins de celle de l'ouverture du vase, etc.

26. Toute portion de circonférence, telle que AMB (fig. 11), se nomme un arc de cercle , et la droite ÂB, qui joint ses extrémités , se nomme la corde de cet arc. On dit que la corde sous-tend Tare , et que l'arc est sous-tendu par la corde.

Bemarquons que la même corde sotis-tend à la fois deux arcs ; ainsi AB sous-tend également l'arc A»B et l'arc AMB. Mais quand on parle de l'arc sous-tendu par une corde , c'est toujours du plus petit de ces deux arcs qu'il est question , à moins que Ton n'exprime positivement le contraire.

27. ToBORÈMi. Dans des cercles égaux êu dêm& le ntéme cercle, les arcs égaux sont sous^tenêus par des cordes égales».

GtOVÊtRlB PLANE. tft

Ment d'abcrd deux cercles égaux 0 et I (fig. Il), cl 80ît Tare AMB égal à Tare CND ; je dis que la corde AB est égale à la corde CD. Ed effet, transportons le cercle 1 sur le cercle 0, de manière que le centre I tombe en 0 ; les deux circonférences étant égales coïncideront, de quelque manière qu'elles soient tournées dans leur plan (9^). Elles coïncideront donc encore lorsqu'on les fera tourner de manière que le point C tombe sur le point A. Mais alors les arcs CND et AMB étant égaux , le point D tombera sur le point B , et la droite CD coïncidera avec la droite AB, puisqu'elles auront les mêmes extrémités. Ces deux droites sont donc égales.

Soient maintenant, dans un même cercle, les arcs égaux AMB, cnà. Traçons un cercle I égal au cercle 0, et supposons que Tare CND soit égal à Tare AMB, la corde CD sera égale à la corde AB, d'après œ que nous venons de démontrer. Mais l'arc rn^ étant égal à AMB, est aussi égal à CND; ainsi la corde ed égale la corde CD. Or, deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles; donc ed=h».

88. Théo^èmk. Dans des cercles égaux, ou dans te même cercle, à un phts grand arc correspond une plus grande corde.

Soient detrx cercles égaux 0 et I fflg. 12), et soit l'arc AMB plus grand que Tare CND, je dis qtfe la corde AB sera plus grande que la corde CD. En effet, soit AME un arc égal à CND, la corde AE sera égale à la corde CD, d'après le théorème précédent. Il s'agit dose de prouver que AB est plus grand que AE. Pour cela, tirons le rayon EO , qui coupera la corde AB en un certain point B ; tirons aussi le rayon OB. La ligne droite étant la plus courte des lignes qu'on peut mener d'un point à un autre, on petit écrira

AÉ<AH+HE, et OB<OH+HÔ.

Ajoutons ces inégalités membre à membre, il en résultera une nou« velle inégalité dans le même sens , et l'on aura

AE+OB<ÀH+HB+OH+HB.

Or, AH+HB, c'est AB, et HE + OH , c'est OE; l'inégalité devient donc