Problème. Faire un angle égal à un angle donné

Soit DIE (Bg. 20) l'angle donné; et supposons qu'il s'agisse de faire en un point 0 d'une droite donnée XY un angle égal à DIE. Du point I comme oentre , avec un rayon arbitraire, décrivons l'arc de cercle PS. Du poiqt 0 comme centre, avec le même rayon, décrivons Varc indéfini AC. Sur cet arc, à partir du point A, por-< tons une ouverture de compas AB égale à la corde de l'arc DE; joignons 06 , TaQgle BOA sera Tangle demandé. Car les arcs DE et AB ayant des cordes égales sont égoux , puisqu'ils sont d'ailleurs décrits du même rayon; les angles au centre DIE et BOA* correspondanta à ces arcs , sont donc égaux aussi.

46. PaoBtÉME. Faire un angle égal à la somma de deux angles donnés.

Au moyen de la construction précédente , faisons un angle BOA (fig. 17) égal à l'un des angles donnés, puis un angle COB égal à l'autre angle donné. L'angle COA sera la somme des angles BOA cl COB, ou, ce qui revient au môme, la somme des deux angles donnés.

RsMAHQUB. On pourrait , par les mômes moyens , faire un angle doubie, triple d'un angle donné , etc.

47. ProblAme. Faire un angle égal à la différence de deux angles dmnés.

Faisons un angle COA (flg. 17) égal au plus grand des deux angles donnés, puis un angle BOA égal au plus petit, l'angle COB sera égal à leur différence.

48. Paoblèmb. Diviser um angle donné COk (fig. 18) an deux parties égales.

Du point 0 comme centre, avec un rayon arbitraire , décrivons Tare de ceneie abb' ; divisons cet arc au point b en deux parties égales, et joignons 06; les angles au centre b'Ob et 60a seront égaux , puisque les arcs bV et aft, compris entre leurs côtés , sont égaux.

RsKAïQUi I. La droite OB qui divise l'angle COA en deux parties égales se nomme la bisseeirice de cet angle.

Rbmabqub II. Pour diviser un angle en un nombre quelconque

28 PREMIËRE PAETIE.

de parties égales, il suffirait de même de diviser Tare décrit de son sommet comme centre et compris entre ses côtés.

40. Problème. Trouver en nombres le rapport de deux angles donnés.

Du sommet de ces angles comme centre , avec un même rayon , décrivons des arcs de cercle ; cherchons en nombres le rapport de ces arcs (57); ce rapport sera celui des angles au centre qui leur correspondent , c'est-à-dire le rapport des deux angles donnés.

De la mesure des angles,

SO. Les problèmes précédents se réduisent à des questions d'arithmétique , lorsqu'on tfaduit les angles en nombres en les rapportant à une unité de mesure. Pour cela on n'a qu'à étendre aux angles le système de subdivision adopté pour les arcs.

L'angle au centre qui correspond au quadrans sert d'unité principale pour les angles, comme le quadrans sert d'unité principale pour les arcs. On le désigne sous le nom d'angle droit.

L'angle au centre qui correspond à l'arc d'un degré est évidemment la 90* partie de l'angle droit (41); l'angle au centre qui correspond à un arc d'une minute est la 60* partie de celui qui correspond à l'arc d'un degré, et l'angle au centre qui correspond à l'arc d'une seconde est la 60* partie de celui qui correspond à l'arc d'une minute. On ne donne point de noms particuliers à ces angles, et on les désigne par le nom de l'arc auquel ils correspondent : on dit ainsi un angle d'un degré, un angle d'une minute, un angle d'une seconde. On dira de même un angle de 4(fi 17' 28", pour désigner l'angle au centre qui correspond à un arc de 40^ 17' 28", et ainsi des autres. Il sait de là que la mesure d'un angle se réduit à celle de l'arc qui lui correspond; elle s'effectue en plaçant au sommet de l'angle le centre d'une circonférence divisée, et en déterminant le nombre de degrés et fractions de degré que ses côtés embrassent sur cette circonférence.

Si. Pour mesurer les angles sur le papier, on emploie un instrument auquel on a donné le nom de rapporteur, W se compose d'un demi-cercle en corne ou en cuivre (flg. 2i), dont la circonférence, nommée limbe, est divisée en degrés; celte division suffît dans les opérations de peu d'étendue. Les traits de division sont numérotés de 10 en 10, ou de ô en 5, depuis 0 jusqu'à iSO", tant dans le sens AMB que dans le sens BMÂ.

Soit XOY l'angle h mesurer. On porte l'instrument sur cet angle^ de manière que son centre lombe au sommet 0, et que le diamètre AB coYncide avec la direction de l'un des côtés OY. Le côté OX vient alors couper la circonférence exlérieore du rapporteur en un certain point M , et Ton note le nombre de degrés compris entre les points A et M. Ce nombre de degrés est la mesure de l'arc AM , et par conséquent celle de l'angle proposé.

S'il s'agit, au contraire , de faire en un point 0 d'une droite donnée BY un

angle égal a un angle donné , après avoir mesuré l'angle donné comme nous Tenons de \e dire , oo place le diamèlre de rinslrument sur la droite BY» de manière que le centre tombe au point 0, qui doit élre le sommet de l'angle demandé. On marque sur le plan un point M vis-à-vis de la division du rapporteur qui correspond au nombre de degrés trouvés; on lire OM, et Tangle MOY est Tangle que Ton demande , puisqu'il a la mémo mesure que l'angle donné.

Quand le rapporteur est en cuivre , la partie intérieure est évidée à partir du diamètre jusqu'à une certaine distance du bord, afin que l'on puisse apercevoir les droites sur lesquelles on opère , et au centre de la demi-circonférence se trouve une petite coche qui permet de distinguer le point sur lequel on veut placer ce centre.

Uq rapporteur d'un plus grand rayon peut servir à mesurer et à tracer les angles sur les surfaces planes plus étendues, telles qu'un parquet, un mur, etc.

SI Sur le terrain, on fait usage d'un grand rapporteur qui porte le nom de grayhomètre (fîg. 22), 11 se compose d'un demi-cercle divisé en degrés et demidegrés ; les traits de division sont numérotés dans deux sens comme pour le rapporteur. Ce demi-cercle repose sur un support à trois branches, auquel il est arl'ieulé au moyen d'un genou , ce qui permet de donner au limbe de rinslrument telle position qu'on désire par rapport au support. La position convenable dépend de certaines conditions que nous n'indiquerons que par la suite, parce qull nous serait impossible d'en rendre compte pour le moment d'une manière complète.

Le diamètre AB du demi-cercle, que Ton nomme la ligne de foi, est muni à ses extrémités de deux petites fenêtres appelées pinnules, qui sont partjigées dans le sens de leur hauteur par un fil très-fin.

Lorsqu'on veut établir le graphomètre sur une droite jalonnée, de telle sorte qne la ligne de foi soit dans la direction de cette droite , il faut placer l'instrument de manière qu'en regardant par la pinnule A au travers de la pinnule B , ou rice versa, le premier jalon visible cache les suivants, et soit coupé luimême dans le sens de sa hauteur par les deux fils des pinnules réunis.

Au centre 0 du demi-H^ercle est un pivot autour duquel tourne à frottement doux une règle CD, entièrement semblable à la règle AB, et munie comme elle de deux pinnules. Cette règle se nomme alidade; elle porte à l'extrémité C un vernier circulaire qui s'applique exactement contre le limbe dans toutes les positions de l'alidade.

Pour mesurer à l'aide du graphomètre l'angle formé par deux directions MN , MP (fig. 23), il suffit de connaître le sommet M de cet angle , et un point sur chacun de ses cdtés. On fait planter. en ces points N et P deux jalons, si toutefois il n'existe sur la dtarection des droites données aucun objet remarquable qui puisse servir de point de mire. On place rinslrument de manière que le centre du demi-cercle soit précisément au-dessus du sommet M (on verra plus tard comment on peut y parvenir) ; on dirige la ligne de foi dans le sens de MN, comme nous l'avons indiqué ci-dessus *, on fait ensuite tourner l'alidade jusqu'à ce qu'en regardant par la pinnule D au travers de la pinnule C, on aperçoive le jalon P coupé dans le sens de sa longueur par les fils des deux pinnules réunis. L'arc CB , qu'on peut lire sur le limbe à moins d'une minute près avec le secours du vernier, donne la mesure de l'angle cherché.

Si l'on voulait, au contraire, faire en un point M d'une droite donnée MN un M»§1« égal à un angle donné , on ferait d'abord planter un jalon N sur la direction de la droite donnée; on placerait, comme ci-dessus, le graphomètre de telle sorte que son centre se trouvât au-dessus du point M , et que la ligne de foi fût dirigée suivant MN. On ferait alors tourner l'alidade jusqu'à ce que l'arc CB exprimât à moins d'une minute près la mesure de l'angle donné; puis, en regardant par les pinnules D et C , on ferait planter un jalon sur la direction DC, en faisant varier sa position jusqu'à ce qu'il se trouvât coupé dans le sens

80 FIIBMIÈRE PAATIE.

de M longueur par les fils réunis des deux pionules. La direction MP formerait a?eo la droHe donnée Mlf un angle égal ^ l'angle donné.

Quand on doit opérer sur une grande étendue de terrain , on remplace les plnnules par deux lunettes , dont Tune , dirigée suivant Talidade , se meut avec elle» et dont l'autre vaste dirigée suivant la ligne de foi. L'objectif de chaque lunette est garni d'un fli placé comme ceux des plnnules. Nous aurons occasion de rerenir sur ce sujet et de parler d'une autre disposition relative à ces lunettes.

83. L'em[llol du graphomètre ne donne la mesure des angles qu'à moins d'une minute , et l'on a quelquefois besoin d'une approximation plus grande ; on a recours alors à une disposition différente.

Au lieu de ne donner à l'instrument qu'une demi-circonférence, on lui donne une circonférence entière, qui est mobile dans son plan autour de son centre. L'alidade peut être fixée au cercle dans une position quelconque, à l'aide d'une vis de pression. Soit XOY (fig. 24) l'angle à mesurer. Après avoir dirigé la ligne de foi suivant OY et l'alidade suivant OX , on fixe l'alidade sur le cercle , et on fait tourner celui-ci dans le sens BB', jusqu'à ce que l'alidade vienne prendre la direction OY. La ligne de foi Ofi a pris alors la position OB', et l'arc BB' est évidemment égal à l'arc CB; car, dans ce mouvement du limbe, tous les poinis de la circonférence ont marché de quantités égales. On fixe le cercle dans sa nouvelle position , et l'on ramène l'alidade dans la direction OX; l'arc VC est évidemment le double de l'arc CB. On fixe de nouveau l'alidade sur le cercle, et l'on fait tourner celui-ci dans le même sens que tout à l'heure, jusqu'à ce que l'alidade soit revenue à la direction OY. La ligne de foi a pris alors la nouvelle position OB''; l'arc B'B' est égal à l'arc CB. On ramène l'alidade dans la direction OX , et l'arc B'C est évidemment le triple de l'arc CB.

En répétant cette opération un nombre sufiisant de fois, on peut obtenir un arc 10 fois, 20 fois,.... 60 fois plus grand que l'arc CB. Le multiple qu'on obtient ainsi est ordinairement composé de plusieurs fois la circonférence, plus une portion de circonférence ; et l'on voit pourquoi le demi-cercle du graphomètre n'anrait pu suffire. Supposons que l'opération ail été répétée eo fois, et qu'on ait obtenu un arc total de 4 circonférences, 169 degrés et U minutes, que l'on peut apprécier avec le secours du vernier, à moins d'une minute près. Cet arc revient à 1599" I7'; et l'erreur est moindre qu'une minute. Si donc on en prend la 60* partie» on aura l'arc demandé à moins de la 60* partie d'une minute , c'est-à-dire , à moins d'une seconde. On trouverait ainsi que l'arc cherché est de 26* Zif 17', à moins d'une seconde près.

L'instrument k l'aide duquel on répète ainsi les angles prend le nom de cercle répétiteur. Comme son emploi esl surtout nécessaire quand on opère sur une g;rande étendue , l'alidade et la ligne de foi sont toi^ours munies de lunettes, placées, l'une au-dessus du cercle, et l'autre au-dessous.

S4« Dans les opérations qui réclament de la promptitude et n'exiffeal pas une grande précision , on peut encore obtenir la mesure des angles au moyen de la oouuoU, Nous reviendrons sur ce moyen.

De quelques propriétés des angles qui cmt mène sommet.

tH*. Lorsqra'une droite OC (flg. 25) en rencontre tme autre AB, de manière à faire avec cette droite, et d'un même c6té, deux angles àOG, BOC , ces angles se nomment adjacents.

L'un de ces angle» est généralement plus grand que ra»tre. Lorsqu'il» seul égaux, ee nent des angles droits. Car, soient les deux

«Dgles adiaeefits égaux AOD, BOD (Pfg. 25). De lenr sommet 0 comme centre , avec un rayon arbitraire , décrivons une demi-cîrconférence ÀDB : les angles AOD, BOD étant égaux, les arcs AD et BDIe seront aussi. Chacun d'eux est donc le quart de la circon* férence, c'est-à-dire un quadrans. Donc les angles AOD et BOD sont droits.

Tout angle, tel que AOC, plus grand qu'un angle dr«t, est ce qu'on nomme un angle obtt^. Tout angle , tel que BOC , moindre qu'un angle droit, est ce qu'on nomme un angle m^. Quand doux angles adjacents sont inégaux , l'un est obtus et l'autre a<gu.

M. Théorbhb. La somme de deux angles adjacents AOC , BOC (fig. 25), est égale à deux angles droits.

En effet, du sommet 0 de ces angles, avec un rayon arbitraire, décrivons une demi-circonférence ACB : ces angles auront pour mesure les arcs ÂC et BC , dont la somme équivaut à une demi* circonférence, ou à deux quadrans. La somme des deux angles pro* posés équivaut donc à deux angles droits.

RfiMARQtES. 1. Deux angles dont la somme est égale à deux angles droits, sont dits supplémentaires; et chacun d'eux est le supplément de l'autre. D'après le théorème précédent , deux angles adjacents sont toujours supplémentaires.

II. L'un d'eux étant connu , on en déduit sur-le-champ l'autre. Si , par exemple , on demandait le supplément de l'angle COB , il suffirait de prolonger BO; et l'angle COA serait le supplément demandé. Si c'est la mesure de l'un de ces deux angles qui est doimée, on en déduit la mesure de l'autre , en retranchant celle du premier de 180^, qui forment la mesure de deux angles droits. Si l'un de ces angles était , par exemple , de 32^ 47', l'autre aurait pour valeur 180° moins 32^7', c'estr-à-dire , 147M3'.

87. Théorème. Si deux angles AOC, BOC (flg. 25), ayant même sommet et un côté commun OC, valent en somme deux angles droits, leurs côtés extérieurs AO et 90 sont en ligne droite.

Car, si du point 0 comme centre , avec un rayon quelconque y on décrit un arc ACB , cet arc équivaudra à deux quadrans ; donc ce sera une demi-circonférence ; donc la corde qui joindra les points A et B sera un diamètre (32, coroU.), et passera conséquemment par le centre; donc OA et BO sont en ligne droite.

88. TntORÈMB. La somme de tous les angles AOB, BOC, COD, DOE (fig. 26), formés d'un même côté d'une droite AE , et ayant pour sommet ttt$ même point de cette droite , est égale à deux angles droits.

Car, si du point 0 comme centre, avec un rayon arbitraire, on décrit une demi-circonférence ABCDE , les angles AOB , BOC, COD, B0£,a«r<Hili«spe€liv6menlpowrrae8we les arcs AB, SG, CD, DE,

32 PREM1ÈBE PARTIE.

dont la somme équivaut à deux quadrans. La somme de ces angles équivaut donc à deux angles droits.

59. Théorème. La somme de tous les angles ÂOB , BOC , GOD , DOE , EOA (fig. 27], formés autour d'un même point 0, équivaut à quatre angles droits.

Car, si du point 0 comme centre , avec un rayon arbitraire , on décrit une circonférence , ces angles auront respectivement pour mesure les arcs AB, BC, CD, DE, EÂ., dont la somme équivaut à quatre quadrans. La somme de ces angles équivaut donc à quatre angles droits.

60. Théorème. Lorsque deux droites AB, CD (fig. 28) se coupent mutuellement, les angles opposés par le sommet sont égaux.

En effet , la somme des angles AOC et COB équivaut à deux angles droits (o6) ; il en est de même de la somme des angles COB et BOD. Ces deux sommes sont donc égales, et Ton a

AOC + COB=COB+BOD;

et en retranchant de part et d'autre COB , il reste

AOC = BOD.

On démontrerait de même que COB égale AOD.