G£0M£TB1£ PLAN

leur, pvà&qae cet instrument fournit le moyen de faire des angles de 90* ; mais qqM suYi^Wliie Véquerre, qui est d'un usage plus commode. \]Tie èquerre se compose de deux règles dont les bords se rencontrent à angle âio\l (&g. 30) , telle est ordinairement la forme des équerres de métal. Les éqaerres en bois sont presque toujours pleines, à l'exception d'un trou pratiqué pour rendre l'instrument plus maniable, comme llndique la figure 31.

Avant de faire usage d'une équerre, il est à propos de la vérifier. Pour cela, on trace une ligne droite indéfinie XY (flg. 32), contre laquelle on fait aflleurer une bonne règle MN. On place ensuite l'un des côtés AB de l'équerre contre la règle, et, avec une pointe à tracer, on tire une ligne suivant BC. On retourne alors Véquerre, de manière à lui faire prendre la position A'BC, et l'on trace uoe droite suivant BC. Si les droites BG et BC ne coïncident pas , l'équerre doit ètrerejelée; car la somme des angles ABC et A'BC, s'ils sont droits, c'est-àdire, si l'équerre est exacte , doit valoir deux angles droits, et par conséquent les côtés BC et BC doivent coïncider.

(3. Lorsqu'on veut élever une perpendiculaire à une droite par un point donné sur celte ligne , ou abaisser une perpendiculaire sur une droite d'un point donné bors de cette ligne , on fait affleurer contre la droite le bord d'une bonne règle; on appuie contre ce bord l'un des côtés d'une équerre, et on la fait glisser contre la règle jusqu'à ce que son autre côté vienne passer par le point donné; on se sert alors de ce côté comme règle pour tracer la perpendiculaire demandée.

On a souvent besoin de mener des droites perpendiculairement au bord rec- Uligne d'une surface plane, par exemple , au bord d'une planche. On emploie à cet effet un instrument qui fait à lui seul les fonctions de la règle et de l'équerre ci-dessus. Cet instrument, appelé té, du nom de la lettre à laquelle il ressemble, se compose, comme l'indique la figure 33, d'une double équerre, montée sur une tête plus épaisse. On pose la règle AB sur la planche , de façon que la saillie CD de la tète du té s'applique exactement contre le bord de cette planche ; il ne s'agit plus que de faire glisser l'instrument dans cette position jusqu'à ce que le bord de la règle AB vienne passer au point par lequel on veut mener la perpendiculaire.

M. Sur le terrain, on pourrait tracer les perpendiculaires à l'aide du graphomètre, pmsque cet instrument fournit le moyeu de faire des angles de 90*. Maïs on préfère d'ordinaire employer Véquerre d*arpenteur, qui est d'un usage plus commode. Sa partie essentielle consiste en quatre pinnules placées aux extrémités de deux droites qui se coupent à angles droits; cespinnules sont le plus souvent pratiquées dans une sorte de boite, ronde ou octogone (fig. 34^. Celte boite se visse sur une lige , terminée par un piquet de fer, au moyen duquel on plante l'instrument sur le terrain.

Supposons qu'il s'agisse d'élever en un point 0 d'une droite AB (fig. 29], une perpendiculaire à cette droite; on plante l'équerre au point 0, et on la fait tourner de manière que la direction de deux pinnules opposées soit celle de la droite AB. La direction des deux autres pinnules est alors celle de la perpendiculaire demandée, et tout se réduit \ faire planter un jalon C ou D dans celte direction , comme nous l'avons indiqué en parlant du graphomèlre (32}.

Si l'on doute de l'exactitude de l'équerre, on lui fait faire un quart de tour, de manière que les pinnules dont la direction était CD viennent prendre la direction AB; la direction des deux autres doit alors être CD; dans le cas contraire, l'histrument est inexact.

Lorsqtfîl s'agit d'abaisser d'un point donné C une perpendiculaire sur une droite donnée AB, on commence par faire planter un jalon au point C, si toutefois il n'y a rien en ce point qui puisse servir de mire. On place l'équerre sur la direction AB, de manière que deux pinnules opposées soient dans celte direction; puis on transporte l'instrument le long de AB dans celle position,

3& - PREHIÈEE PABTIB.

jusqu'à cp qu'en regardant par les deux autres pinnules on aperçoive le jalon C coupé longitudînalément par les (Ils réunis de ces pinnules. Le point 0 , où se trouve alors l'équerre, appartient à la perpendiculaire demandée, qui se trouve dès lors déterminée complélcment.

65. Théorèhe. Par un point 0, pris sur une droite ÀB (fig. 25), on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à cette droite.

En effet , du point 0 comme centre, avec un rayon quelconque , décrivons une demi circonférence ADB. Une droite OD , élevée au point 0 perpendiciilatrement à AB , formera avec elle deux angles adjacents égaux AOD, BOD. Par suite les arcs AD et BD seront égaux , et le point D sera le milieu de la demi-circonférence ADB. Or, il n*y a qu'un seul point D qui puisse être le milieu de la demicirconférence ADB; et il n*y a qu'une seule droite qui puisse passer par ce milieu et par le point 0.

j6G. Théorèmb. Par un point 0 (fig. 36), pris hors d'une droite ABj en ne peut abaisser qu'une seule perpendiculaire sur cette droite.

En effet, soient, s'il est possible, OC et OD deux perpendiculaires à AB. Faisons tourner la figure COD autour de AB, comme charnière, jusqu'à ce qu'elle vienne ae labaitreen COD. L'angle O'DC sera évidemment égal à l'angle (X)C ; or, celui-ci est droit par supposition, puisque OD est perpendiculaire à AB; l'angle O'DC est donc droit aussi. Les deux angles ODC et ODC , qui ont même sommet D, un côté commun PC, et dont la ^omme équivaut à deux angles droits, ont donc leurs côtés extérieurs OD et O'D en ligne droite (57). Et comme on en peut dire autant de OC et de O'C, i{ y aurait du point 0 au point 0' deux lignes droites ODO' et OCO', ce qui est impossible. D'ua point pris hors d'june droite, on pe peut donc abaisser sur celle droite qu'une seule peipendiculaire.

Remarqcje. Si OC est cette perpendiculaire, toute autre droite OD menée par le point 0 sera ce que Ton aomme une ojiligue à la ligne AB.

67 . Théotièmb. Si par un point 0 (fig. 35), extérieur à une droite AB, on lui mène une perpendiculaire OC et une oblique OD, la perpendiculaire sera plus courte que l'oblique.

Car si l'on répète le mouvement indiqué dans la démonstration du théorème précédent, on voit que O'D est égal à OD, et que O'C est égal à OC ; de plus, OCO' est une ligne droite, puisque les angles OCD et O'CD sont égaux et que le premier est droit. Or, la ligne droite 00' est plus courte que OD + DO'. Donc OC, qui est la moitié de 00', est plus courte que OD, qui est la moitié de OD + DO'.

Remarque. II su}t d|^ Il que la perpendiculaire abaissée d'us point «NT u&e droite est le pinscoorteh^aiifid^ee point à cette droite, dt mesure leur véritable distance.

Si Vm veut cavjoîr, w ^i^pp^p » éfi c^^fpbijen un point rpjQ^/ii^})!^ 4aQ$ la campagne esl distant d'une grande route, /l faut abaisser de ce j^oipt une perpendiculaire snr fa direction àul)ord (le cette route, et mesurer la longueur de cette perpendicnlaire.

Corollaire. Récîproquenrïent : Si une droite OC est la plus courte de celles que Von peut mener d*un point 0 à une droite AB, cette ligne OC est perpendiculaire à AB.

Car si eJtè ne l'était pas , soit PB la perpendiculaire : d'après le théorème précédent, OD serait plus coijrt que DG, ce qui est contraire à la supposition.

Remarque. Le point C où la perpendiculaire OC rencontre la droite AB se nomme le pied de cette perpendiculaire , le point D est pareillement fe pied de l'oblique .Op.

68. Théorèjie. Si par un point Q (6g. 3jS), eq:tiriei^r à une droite XT, on mène deux obliques OA, OB, telles que le pied de la pefpendi-r culaire OC soit également distant du pied de chaque oblique, ces obligués seront égales.

Car si Ton fait tourner la figure OAC ^luitour de OC, conr^mp charnière, l'angle 0,CA étapt ^o\i ainsi que l'angle OCB, la droite CA viendra s'appliquer sur Cf\ et comme, po'rïjypothj^se, C| égale ÇB, le point A tombera .ejj ]B i en sorte que les dfoiip 3 ÔA et OB auront fes mêmes e^ircmités, et coïaciderpnt. Par consjé(|uenf, ces deux droites son^t égaies.

69. Théorème. Si par unpgint Q (pg. 37) on mène é une droite XY deux obliqife§ quelconque^ ipA et OB, celle dont le pied s'écarte Te moins du pied ae la perpendiculaire OC est la plus courte.

En effet, faisons toiirner làfigiire autour de AB comme cjiarnière, jusqu'à ce qjie le point 0 vienpe se rabattre len Q'; on aura évidemment 6'B=iQP eiO'i=Ok. Or ïa ligne brisée epveloppée 0B+BO' est pïus courte que la ligne brisée enveloppante OA -f- AQ' (20); donc OB, qui est Ist moitié de OB-f^Q'* ^^^ P'"^ ^^^^ V^^ ^^' 4^^ est la moitié de OA+AO'.

$'fl s'agissait des obliques OA et OB' situées de part ^t d'autre de la perpendiculaire, soit CB' moindre que CA : ep prenant C6=:CB' et jioiguant OB, on aurait OB=QB', ep vertu du jthéorème du n° 68; mais en vertu de la démonstration précédente, on a OB<^ÔA; donc on a aussi OB'<OA.

Ainsi le théorème est général.

70. Du rapprochement des deux théorèmes précédents résultent ces deux propositions réciproques :

Sipartm point extérieur à une droite, on lui mène deuaù obliques égalés, le pied de la perpendiculaire sera également distant du pied dé chaque oblique. Car s'il en était ipégalement distant , en vertu du xiii^hm pricéd^ > Î6§ obliqutf p&t9imi laégalûs.

Si par un point extérieur à une droite, on lui mène deux obliques inégales, le pied de la plus courte sera moins distant du pied de la perpendiculaire que ne le sera le pied de la plus longue. Car s'ils en étaient également distants, les deux obliques seraient égales (68) ; et si le pied de celle que nous supposons la plus courte était le plus éloigné du pied de la perpendiculaire , cette oblique serait la plus longue (60), ce qui est également contraire à la supposition.

71. Théorème. Chaque point de la perpendiculaire CO (fig. 36), élevée sur le milieu dlune droite ÀB, est également distant des extrémités de cette droite.

Car soit 0 un de ces points, joignons OÂ et OB, ces droites seront deux obliques égales, puisque le pied de la perpendiculaire est également distant du pied de chacune de ces obliques.

Donc le point 0 est à égale distance des extrémités À et B de la droite AB.

72. Théorème. Tout point K (fig. S6), pris hors de la perpendiculaire CO élevée sur le milieu d'une droite AB^ est inégalement distant des extrémités de cette droite.

Car si Ton joint KA et KB, Tune de ces droites coupera la perpendiculaire. D'après la position du point K dans la ègure, c'est la droite KA qui coupe CO en un point 0. Joignons OB ; nous aurons KB<KO + OB; mais OB est égal à OA, en vertu du théorème précédent; on peut donc écrire KB<KO-|-OA, ou KB<;KA. Ainsi le point K est inégalement distant des extrémités de la droite AB.

73. Du rapprochement des deux théorèmes qui précèdent résultent ces deux propositions réciproques :

Tout point également distant des extrémités éTune droite appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette droite. Car s'il était situé au dehors de cette perpendiculaire , il serait inégalement distant des extrémités de la droite.

Tout point inégalement distant des extrémités d'une droite est situé hors de la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette droite. Car s'il était situé sur cette perpendiculaire, il serait également distant des extrémités de la droite.

Ainsi la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est le lieu géométrique de tous les points du plan qui sont également éloignés des deux extrémités de cette droite.

74. Application. On se sert de ces deux propositions réciproques pour vérifier les perpendiculaires. Supposons, par exemple » que Ton veuille vérifier si CO (fig. 36) est perpendiculaire à XYj on prendra sur XY, de part et d'autre du poinl G, des longueurs égales GA et GB; et l'on marquera sur la droite CO un point 0 quelconque. Si les distances OA et OB sont égales, le point 0 appartient a la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB ; donc CO est cette perpendiculaire. Si les dislances OA et OB sont inégales, le point 0 est situé hors de la perpendiculaire éleyée au point C; doncOG n'est pas perpendiculaire à XY.

6É0MÉTRIB PtANB. 37

78. Théobèmb. Si une droite XT (fig. 37) a deux de ses points, ket'i^à égale distance des extrémités d'une droite OCÏ, la première droite est perpendiculaire sur le milieu de la seconde.

En effet, le point À étant également distant des extrémités de la droite 00', appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu de 00'. On en peut dire autant du point B. Or, deux points suffisent pour déterminer une droite : la droite AB, ou, ce qui revient au même, la droite XT, est donc elle-même cette perpendiculaire élevée sur le milieu de OO'.

76. Théorème. Chaque point de la bissectrice OC d*un angle ÀOB (fig. 39) est également distant des côtés de cet angle.

Soit C un point quelconque de cette bissectrice ; abaissons de ce point les perpendiculaires CA et CB sur les cdtés de Tangle AOB. Ces perpendiculaires mesureront la distance du point C aux côtés de Tangle AOB. Pour prouver qu'elles sont égales , plions la figure le long de OC; Tangle BOC étant égal à l'angle COA, la ligne OB viendra se rabattre sur la ligne OA; et le point C n'aura pas changé de place. Il faudra donc que les perpendiculaires CB et CA coïncident, car autrement il y aurait du point C deux perpendiculaires abaissées sur une même droite , ce qui est impossible. Donc CB = CA.

Rimârqub. Cette démonstration prouve en même temps que OB=OA.

77. Théorèmi. Tout point K(fig. 38), situé hors de la bissectrice OC d*un angle AOB, est inégalement distant des côtés de cet angle.

Abaissons du point K les perpendiculaires Kl et KB sur les côtés del'angle-.Vunede ces perpendiculaires rencontrera la bissectrice OC; dans la figure, c'est KB qui rencontre OC en un point C. De ce point, abaissons sur OA la perpendiculaire CA, qui sera égale à CB, d'après le théorème précédent , et joignons KA. La perpendiculaire Kl est moindre que l'oblique KA ; mais la droite KA est plus courte que la ligne brisée KC-f-CA, ou, ce qui revient au même, plus courte que KC -f CB ou que KB. Donc, à plus forte raison, Kl est plus court que KB.

78. Du rapprochement des deux théorèmes qui précèdent résultent ces deux propositions réciproques :

Tout point également distant des deux côtés d*un angle appartient à la bissectrice de cet angle. Car s'il était situé au dehors de cette bissectrice, il serait inégalement distant des côtés de l'angle.

TovLt point inégalement distant des côtés d'un angle est situé hors de la bissectrice de cet angle. Car s'il était situé sur cette bissectrice, ii serait également distant des côtés de l'angle.

Ainsi la bissectrice d'un angle est le Heu géométrique de tous les points du plan qui sont également distants des deux côtés de cet angle.

88 ^tSMÈBB PktniL

79. THÉOBÈn. Lorsque detix droites indéfinies KBèt CD (fig. 40) se coupent^ i^ lès tissectritès dès m^M ttdfdtéHis sàrit perpendiëu^ laires entre elles; t« les bissectrices dès Hn^teè opposiÈ pat le sommet sont en ligne droite.

Car soient OH, 01, OK, OL ces MssëttHces , l^ôh a A0C+C0B=:2 angles droits; or, COH est la rtioHié fle AOC, et Cdl \& moitié de COB; donc COH+COI, c'est-à-dirè HOI, est là mdîtië dé AOC+COB, c'est-à-dire la moitié de 2 angles droite, od un angle droit, botit OH et 01 sont perpendiculaires entre elles. 6n démontrerait dé rhéme que les angles 10K , KOL et L0H so'ilt droits. S*" Lès angles HOt et lOK étant droits , leur sotnme éqUivaUt à detix angles droiis ; et comme ils oni même sommet et un t(iié coiiiÉiiun 01, leurs côtés extérieurs OH et OK sont éii li^ne droite (57). On démontrerait de même quô 61 et OL sont en ligtie droite.