CHAPITRE V

80. Théorème. Deux droites AC , BD (fig. 40) perpendiculaires à une troisième kM, ne peuvent se rencontrer, quelque loin ^u'on les prolonge.

Car si elles pouvaient se rencontrer éti tin certain point, il y aurait de ce pouit deut perpendiculaires abaissées sur une même droite, c^ qui est ihnpossible (66).

Remabouè. Deux droites qui ne peuvent se i-encôntrer quelque loin qu'on les prolonge, sont te c|ue Ton appelle des droites parais lèles. Le théorème précédent peut donc s'énoncer de cette matiière : Deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles entre elles,

81. Problème. Par un point k{&g. 40) donné hors d*uhè droit eîit^ mener une parallèle à cette droite.

Du point A abaissons sur DF la ijerpendiculaire AB. Au J>oint A élevons ÀC perpendiculaire à AB, la droite AC sera la parallèle demandée, car AC et DF sont toutes deux perpendiculaires à AB.

Cette cpnslruclion peut s*ex^cuter sur le terrain aussi bien que sur le papier. Mais sur le papier on peut opérer plus commodément au moyen de Téquerre. Plaçons rêquerre de manière que l'un des cdlés de Tangle droit affleure la droite donnée DF (Og. 4i), et appliquoni une règle contre l'autre côté de rangle droit. Faisons ensuile glisser i'équerre contre la règle jusqu'à ce que le celé qui c<^cidait avec DP vienne passer par le. point donné A; puis avec ce côté, cornac règle, tirons la droite AC, qui sera la parallèle demandée. On ii'aarâ j;>lus qu'à la prolonger au besoin.

GÉOMÉTBIE PLANB. SO

Les menuUders et les charpentiers emploient ati même usage llnstniment nommé ié, dont nous avons parlé précédemment (63). Les droites qulls tracent ^ Valde de cet inslrunoent , étant perpendiculaires au bord de la planche sur la* quelle Us opèrent, sont parallèles entre elles.

Applications. L'usage des parallèles est extrêmement Tréquent dans les arts : les cadres, les Tenélres, les portes, la plupart des meubles, oCTrent des li/^nes parallèles! le parallélisme des lignes dans Tarchitecture est un des principaux éléments de cette régularité qui a tant de charmes pour l'œil. Les allées droites d*un]»rdin ou d'un parc sont terminées latéralement par des droites parallèles; U en est de même des canaux , des rails des chemins de fer, tant qu'ils conserveot une direction rectiligne. Les lignes qui forment la portée dans l'écriture inu)»icale sont des droites parallèles; on en remarque également dans lel étoffes rayées, dans les dessins de papier de tenture, etc.

Les droites perpendiculaires et les droites parallèles forment les comblna)sons les plus régulières, et, par suite, les plus constamment employées, d( toutes celles qu'on peut obtenir avec des lignes droites.

ôîfc. PosTULATUM. Si, SUT uue même droite OX (fig. 44), an élève une perpendiculaire AB et une oblique AC, l'oblique et laperpendi^ culaire suffisamment prolongées se rencontreront.

Cette proposition , qui sert de base à la théorie des parallèles , ei qui est connue sous le nom àe postulatum d'Euclidé, ne parait pas susceptible d*une démonstration rigoureuse ; à moins qu'on ne la fonde sur la considération des infinis de différents ordres, considéra* tion étrangère aux éléments. Mais, quoiqu'elle n'ait pas Tévidence d'un axiome, elle peut être admise sans démonstration.

Toutefois, pour ceux de nos lecteurs à qui cette marche ne paraîtrait pas satisfaisante, nous donnons ci-dessous la démonstration de Bertrand de Genève.

%%. \jamt 1. Si fur Vun det tétés OX d'un angle droit YOX (flg. 42), on prèii4 à partir du sommet des longueurs égales OA , AB, BC, CD, etc., et que par les poinu A, B, C, D, etc., on élève des perpendiculaires à OX, !• les bandes indèfinies ainsi formées seront égales; ?• quel que soit leur nombre, elles nt coûtti^ roni jamais l'espace indéfini compris entre les côtés de l'angle droit YOX.

En effet : l** Si Ton plie la flgure le long de AE, l'angle EAO étant droit, ainsi querangle EAB, la ligne AO viendra se rabattre sur AB, et comme AO est éeal à AB, le point O tombera en B. L'angle AOY étant droit, ainsi que l'angle ABF, la ligne OY prendra la direction BF, ainsi les deux bandes Indéfinies YOAfi, EABF coTncideronl dans toute leur étendue ; donc elles sont égaies. Ou démontrerait de la même manière l'égalité de toutes les bandes successives.

2* La droite OX étant indéHiiie , quel que soit le nombre des bandes, on pourra toujours en construire une nouvelle ^ la suite des preuiières; donc, jamais l'espace Indéfini compris entre les côtés de l'angle droit YOX ne pourra être couvert par ces bandes , quelque larges qu'on les suppose d'ailleurs.

Lehu h. Quelque petit que soit un angle YOA (flg. 43), en Vo joutant à lui^ même un nombre suffisant de fois, on pourra toujours couvrir entièrement Vespau indéfini compris entre les côtés de Vangle droit YOX.

En e<M, si , par le t)olnt 0 , on mène une suite de drolies OA , OB, OC, etc. , qui &t<^nt entr« elles des angles consécutifs AOB, ttOC, COD, etc., égaui entrt eui et k Tangle YOA , cet angle se trouver^ ainsi ajouté h lui-même autant de fois que l'on voudra. Mais quelque petil que soit YOA, cet angle est une frac- Uon d'angle droit ; donc , en l'aJouUnt ^ lui-même un nombre suffisant de fois ,

on finira toujours par atteindre et dépasser l'angle droit YOX. Alors il ne se trouvera aucun point dans l'angle YOX qui ne soit couvert par Tun des angles YOA , AOB , BOC , etc. Donc Tespace indéfini compris entre les côtés de Tangle droit sera recouvert entièrement.

84. Théorème. Si AB (fig. 44) est perpendiculaire d OX , e< que OC soit oblique àO\,la perpendiculaire et Voblique suffisamment prolongées se rencontreront.

En effet, élevons au point 0 la perpendiculaire OY. D'après le premier lerome, la bande indéfinie YOAB ajoutée à elle-même autant de fois qu'on le voudra ne couvrira jamais l'espace indéfini compris entre les côtés de l'angle droit YOX« D'après le second lemme , l'espace indéfini compris entre les côtés de l'angle YOG, ajouté à lui-même un nombre suffisant de fois, finira toujours par couvrir ce même espace. Donc l'espace indéfini compris entre les côtés de l'angle YOG est plus grand que l'espace indéfini compris par la bande YOAB. Mais cette conséquence ne pourrait être admise si l'angle YOC restait toujours contenu dans la bande YOAB; il faudra donc qu'il finisse par en sortir, c'esl-a> dlre qu'il faudra que OC finisse par couper AB. Donc l'oblique et la perpendiculaire suffisamment prolongées se rencontreront.

85. Théorème. Par un point k {6g, 40), extérieur à la droiteï)¥^ on ne peut lui mener qu'une seule parallèle.

Par le point A, menons AB perpendiculaire à DF, et CE perpendiculaire à AB, la droite CE sera parallèle à DF (80). Or, par le point A on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à AB ; toute autre droite que CE, menée par le point A, serait oblique à l'égard de AB ; donc, en vertu de la proposition précédente, elle rencontrerait AB, et ne lui serait point parallèle.

86. Théokème. Si deux droites CE et DF (fig. 40) sont parallèles, toute droite MA, perpendiculaire à l'une d* elles DF, est aussi per-pendiculaire à Vautre.

Car, si MA n'était point perpendiculaire à CE , la droite CE serait oblique à l'égard de MA; donc elle rencontrerait la perpendiculaire DF (82) , ce qui est contraire à la supposition.

87. Théorèbib. Les droites AC et BD (fig. 45.) .perpendiculaires à deux parallèles MN et PQ, et comprises entre ces parallèles ^ sont égales entre elles.

Par le milieu I de AB, élevons IH perpendiculaire à PQ , et par conséquent aussi à MN (86). Plions la figure le long de HI. L'angle HIJB étant droit ainsi que l'angle HIA , la droite IB viendra se rabattre sur lA ; et comme IB et lA sont égaux , le point B tombera en A. L'angle IJBD étant droit ainsi que l'angle IkC , la droite BD prendra la direction de AC, et le point D tombera en quelque point de la droite AC. Mais l'angle IHD étant droit, ainsi que l'angle IHC, la droite HD prendra la direction de HC, et le point D tombera en quelque point de la droite HC. Le point D devant tomber à la fois sur les droites AC et HC, ne pourra tomber qu'à leur intersection C; ainsi les droites BD et AC coïncideront, et sont par conséquent égales.

Remarque. La longueur de la perpendiculaire commune à deux parallèles mesure la véritable distance de ces droites, puisque cette

GÊOMÊTKIB PLANS. ki

longueur est la méme^ en quelque point des parallèles qu'on mène cette perpendiculaire commune ; le théorème précédent peut donc s'énoncer : Deux parallèles sont partout également distantes.

88. Théorèiie. Si une droite HN(fig. 45) a deux de ses points C et'bà égale distance d'une autre droite tQ, la première droite est parallèle à la seconde.

En effet , des points G et D abaissons sur PQ les perpendiculaires CA et DB. Par le point I, milieu de AB, élevons IH perpendiculaire à PQ. Plions maintenant la figure le long de IH, les angles AIH et filH étant droits , la ligne IB viendra se rabattre sur lA ; et comme IB et lA sont égaux, le point B tombera eii A. Les angles lAC et IBD étant droits, la droite BD suivra la direction de AC; et comme BD et CA sont égaux par supposition, le point D tombera en C. D'ailleurs le point H n'aura pas changé de place; donc les droites HD et HC coïncideront. Il en résulte que les angles IHD et IHC sont égaux, et par conséquent droits, puisqu'ils sont adjacents. Les droites PQ et MN sont donc toutes deux perpendiculaires à IH ; ainsi ces droites sont parallèles.

Application. Ce théorème fournit un moyen de tracer des parallèles. Si, par exemple, il s'agit de mener par le point C (fig. 45) une parallèle à la droite PQ, on abaissera du point C une perpendiculaire CA sur la droite donnée; en un point quelconque B de cette droite, on élèvera la perpendiculaire BD égale à AC, et l'on joindra CD qui sera la parallèle demandée.

Cette construction mérite la préférence sur toute autre quand les deux parallèles doivent avoir une grande étendue.

89. THÉOKtMS. Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.

Car si l'on mène une droite perpendiculaire à la troisième , elle sera en même temps perpendiculaire aux deux premières (86); et celles-ci, étant perpendiculaires à une môme droite, sont parallèles entre elles.

90. Théorème. Si deux droites AB, CD (fig. 46), sont coupées par une troisième E¥, et que les angles intérieurs AEF et CFE soient supplémentaires, les deux premières droites sont parallèles.

En effet, l'angle DFE est le supplément de CFE, puisque ces angles sont adjacents; mais, par supposition, AEF est aussi le supplément de CFE. Donc AEF égale DFE. On démontrerait de môme que CFE égale BEF. Il en résulte que la position des branches FD et EB, par rapport à EF, est absolument pareille à celle des branches EA et FC. Si donc les droites AB et CD se rencontraient audessus de EP, elles devraient aussi se rencontrer au-dessous. Elles auraient donc deux points communs , ce qui est impossible. Donc elles ne se rencontreront pas.

hi PHEMIÈRB PARTIE.

Remakoub I. Lft droite EF est dite sécante par rapport aux parallèles.

Il est Facile de voir que les quatre angles aigtis de la figure ëont égaux entre eux. CarGEB = AEF etCFH=DFE, comme angles opposés par le sommet; d*ailleu^s nous avons démontré que AEF=:DPb," donc les quatre angles aigus sont égaux. On démontrerait de même que les quatre angles obtus sont égaux entre eux. 11 en résulte que l'un quelconque des quatre angles aigus est le supplément dé l'un quelconque des quatre angles obtus.

Les angles tels que AEF et t)FE , formés intérieurement par les deux parallèles de part et d'autre de la sécante, se nomment alternes-internes. Les angles CFE et BEF sont aussi alternes-internes.

Les angles tels que CFH et AÉF, formés par les deux parallèles d'un même côté de la sécante, l'un extérieurement et l'autre intérieurement, sont dits internes-externes qu correspondants; cette dernière dénomination est la plus usitée. Les angles AEG et CFÈ sont aussi des angles correspondants : il en est de moitié des angles ËEG et DFE, ainsi que des angles HFD et FEB.

Remarque IL Réciproquement si deux angles alternes - internes AÈF et DFE sont égaux, les angles intérieurs AEF et CFE sont supplémentaires ; car DFE étant le supplément de CFE, son égal AEF est aussi le supplément de CFE«:

De même, si deux angles correspondants AEF et CFH sont égaux, les angles intérieurs AEF et CFE sont encore supplémentaires; car CFH étant le supplément de CFE, son égal AEF est aussi le supplément de CFE.

Dans les deux cas AB et CD sont parallèles.

91. Applications. I. Ge Uiéorème fournit un nouveau moyen de mener des parallèles en se servant de Téquerre. Soit 0 (flg. 47) un point donné par lequel on veut mener une parallèle à une droile AB. On fait aflBeurer contre AB le plus grand côlé de l'équerre, et Ton applique une règle mn contre Vun des côtés de Tangle drdit. On Tait ensuite glisser l'équerre contre la règle Jusqu'il ce que le côté qui coïncidait avec AB vienne passer au point donné 0, et Ton se sert de ce côlé oomme règle pour tracer une droite OD qui est la parallèle demandée; car les angles correspondanls BAm et DnA sont nécessairement égaux.

II. Les mêmes considéralions fournissent le moyen le plus commode d'employer réqueri*e à tracer des perpendiculaires. Soit XY (flg. 48) une droile à laquelle on veut mener une perpendiculaire. Faisons affleurer contre celte droite Tun des eôl^s de l'angle droit d'une équerre, et appliquons une règle iftn contre son plus grand côté; faisons ensuite glisser l'équerre contre la règle jusqu'à ce que le côlé mp, perpendiculaire à XY, vienne passer au point par lequel il s'agit de mener la t)erpenriicu)aire , el servons-nous de ce côlé comihe réglé pour tracer une droile m'p' qui sera la perpendiculaire demandée. Car, dans te mouvement de l'éqperre, le côté mp est demeuré paroUèle è lui-même; et

puisque mp éUit perpendiculaire à XY, il en est encore de même de my. L'avantage de celte méthode esi de permettre ^ la pointe à tracer d*ài

'àrriTer

GÈOMttfiiÉ PlANJ. A3

pldl fràâcbetnéilt jusqtPK là afoftë XY, de gu'ôh h'obiteài par là ifaéthode dn n* (3 qîi'èii prolôtigëanl la perpendiculaire nprhk côàp.

m. Oji peut se servir de la propriété des angles alterne»-intei1ied pour mener des parallèles. Si, par exemple, par un bôint E (fîg. 49), il s'agissait de mener une parallèle à la droite CD, on mènerait d'abord par le point È une sécante quelconque ÉF, puis Fon ferait au point E un angle A£F égal à langie £FD (45); la droite EA Ainsi déterminée serait la parallèle démandée.

Ce procédé pourrait élre employé sur le terrain.

94. tHÉORÈME. Lorsque deux parallèles AB, CD (fig. 4Q), sont coupées par une sécante EFj les angles intérieurs AÈF et CFÉ sont supplémentaires (et par suite Us angles alternes-internes sont éganUo, ainsi qu^ les angks correspondants).

Car si AEF n'était pas le supplément de CFE, on J)ourrait mèiiér par le point £ une droite qui fit avec EF un angle égal au suppljà<ment de CFE; et d'après le théorème précédent (90), cette droite serait parallèle à CD. Olr, par le point E, on ne peut tnener qu'uile seule parallèle à CD (83); donc l'angle AEF est le supplémeni de CFÉ.

13. PiioBLfeâE. Par «n point A (fîg. 60) pris hors d'une droite Gti , mener wHé seconde droiU qui rencontre la première sous un angle donné k.

En un point quelconque F de la drotle donnée , faisons lin angle CFH égal t l'angle donné R (4S), et par le point A menons AE parallèle li CP. Les angles AEF tX CFH seront égaux comme correspondants en vertu du théorème qiil précédé , éi Vangte AEF sera par conséquent égal à Tangle donné.

94. Théokbmî. Deux angles ABC, DEF ( fig. 51 ) qui ont leurs côtés parallèles et dirigés dans te même sens (en partant du sommet) sont égaux.

Car si Von prolonge 1)É jusqu'en II, on aura bEF = EHC comme angles correspondants, et ABu =EHC par la tnéme raison. Par côn* séquentDËF = AËri.

Remarque. On démontrerait de la même manière que deux angles qui ont leurs côtés parallèles et dirigés tous deux en sens contraire sont égaux, et que deux angles qui ont leurs côtés parallèles et dirigés les uns dans le même sens et les autres en sens contraire, sont supplémentaires.

Ap^tfCik-noif. C'eèt sur lé théorème précédent qu'est fondé remploi de 1^ boussole pour mesurer les angles. On sait qu'une aiguille aimantée, liL)remeQt suspendue par son cenlre, a la propriété, non pas de se diriger constamment vers le iiord, comme on é Thahllude de le dire , mais de conserver une direction Êxe ou à peu prés. Wous dfeons ï peu près , parce que celle direction est sujette par le fâif à des variations annuelles et ipème diurnes dont en p«)t| sans inconvénient faire abslracUou pour Tobjet qui nous occupe. A Paris , la direction âé ràlgUille aimantée fail, avec la ligne 4"! va du nord au sud, un »gte é'ebVfHW n^HriVàjxkiX. Urté bouteôlcse compeée essentiellement d'une

A& PREMTÈBB PARTIE.

aiguille aimantée reposant sur un piTot au centre d'un cadran divisé en degrés. Celle dont on se sert pour mesurer les angles est renfermée dans une botte ronde ou carrée, munie latéralement d'une lunette ou de deux pinnules dont la direction est parallèle à la ligne de foi du cadran , c'est-à-dire , au diamètre à partir duquel se comptent ses dlTisions. L'instrument est porté sur un pied comme le graphomètre.

Soit BAC (fig. 52) un angle li mesurer. On place d'abord la boussole de manière que la lunette soit dirigée suivant l'un des côtés AB de cet angle; la ligne de foi oftii alors parallèle à ce côté, et l'on observe sur le limbe la valeur de l'angle nof formé par la ligne de foi et par la direction on de l'aiguille. On place ensuite la boussole de manière que la lunette soit dirigée suivant l'autre côté AC de Tangle à mesurer; la ligne de foi prend alors la direcUon o'f parallèle k ce côté; et l'on observe sur le limbe la valeur de l'angle n'o'f formé par la ligne de foi et la direction &n' de l'aiguille. On a ainsi tous les éléments nécessaires pour déterminer la valeur de l'angle BAC.

En effet, menons par la pensée une ligne &g parallèle à of, ou, ce qui revient au même , à AB ; comme of est parallèle à AC , il s'ensuit , d'après le théorème précédent, que l'angle go'f est égal à l'angle BAC; mais l'angle go'f est la différence des angles n'o'f* et n'o'g ; de plus, o'g étant parallèle a of, et on' parallèle à on , d'après la propriété de l'aiguille aimantée , il en résulte que l'angle nf&g est égal à nof en vertu du même théorème. L'angle BAC ou son égal g&f, est donc la différence des angles n'oT et nof, c'est^-dire la différence des angles dont la valeur a été observée sur le limbe.

On arriverait au même résultat en plaçant l'instrument au sommet A de l'angle à mesurer, et en le faisant simplement tourner sans le transporter ; mais on voit que la boussole permet de mesurer un angle sans connaître son sommet, avantage précieux dans beaucoup de circonstances. Malheureusement cet avantage est compensé par un inconvénient grave : c'est que les oscillations continuelles de raiguille aimantée empêclient de lire avec précision sur le limbe de la boussole. Néanmoins cet instrument est fréquemment employé pour la mesure des angles, et principalement lorsque l'on a besoin d'un résultat prompt, sans tenir à une exactitude rigoureuse.

96. Théorèmi. Deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux {ou supplémentaires).

Soient ABC et DEF (fig. 53) deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun, savoir : DE perpendiculaire à BA, et FE perpendiculaire à BC ; je dis que ces deux angles sont égaux. En effet, par le point B, menons BH parallèle à EF, et BI parallèle à ED, Tangle HBI sera ^al à FED en vertu du théorème précédent. . De plus, BA étant perpendiculaire à DE sera aussi perpendiculaire à sa parallèle BI, et BC étant perpendiculaire à FE sera aussi perpendiculaire à sa parallèle BH. Il résulte de là que les angles IBA et HBC sont droits et par conséquent égaux ; et si Ton retranche de chacun d'eux la partie commune HBA, les restes IBH et ABC seront égaux. Mais IBH est égal à DEF; donc DEF est égal à ABC.

S'il s'agissait de Tangle DEF', qui a aussi ses côtés perpendiculaires à ceux de l'angle ABC, on voit que cet angle étant le supplément de DEF est en même temps le supplément de ABC.

Donc deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux ou supplémentaires. S'ils sonttous deux aiguaou

GtoMÈTBIE PLANE. 45

tous deux obtus ils sont égaux; si Tim des deux est aigu et l'autre obtus, ils sont supplémentaires.

96. Applications. On emploie dans les omements de Tarchitecture des pai^ Ues sautantes qui ont reçu en général le nom de moulures, et Ton étend ce nom aux figures planes qui en représentent le profil. Le tracé des moulures oflk« des exemples de l'emploi des perpendiculaires et des parallèles.

Les moulures sont droites, circulaires ou composées, suivant qu'on y fait usage de la ligne droite , du cercle , ou de Tun et l'autre à la fois. Nous ne parlerons pour le moment que des moulures droites.

Le /Ûel (fig. 54) est une moulure droite dont la saillie égale l'épaisseur. Pour le tracer, soit IH la droite sur laquelle il doit faire saillie ; prenei sur cette droite une longueur ab égale à l'épaisseur assignée au filet; éleyez par les poïDts a et b les perpendiculaires me et nd; prenez ma et n5 égaux "k ab, et joignez mn. On donne quelquefois au filet le nom de listel.

La plaU^Hinde (fig. &5) est une moulure droite dont l'épaisseur est beaucoup plus grande que la saiUie. Elle se trace par une construcUon analogue à la précédente.

C'est mcore ^ l'aide des perpendiculaires et des parallèles que Ton trace les guilloehis (fig. 56), usités dans l'ornemenL Dans cette figure , les sommets des angies intérieurs les uns aux autres successivement sont placés sur une même ligne droite qui est leur bissectrice commune; et toutes les parallèles consécutires sont éq^distanles. ^