CHAPITRE VI

»ROPuMs DU GBEGLR EBLATIYE8 AUX PBEPBllDIGULAimBa.

97. TniORÈME. le milieu d'un arc , le milieu de sa corde et te centre du cercle sont toujours sur une même droite perpendiculaire à cette corde.

Soit C (fig. S7) le milieu d'un arc AB. Puisque les arcs GA et GB sont égaux, leurs cordes sont égales; donc le point G est à égale distance des points A et B. De même, le point 0 étant le centre du cercle est élément distant des deux points A et B. Il en résulte que si Von mène OG , cette droite aura deux de ses points à égale distance des extrémités de AB ; elle sera donc perpendiculaire sur le milieu I de cette corde ( 75 ).

CoftOLLAiRS I. Par un point pris hors d'une droite, on ne peut abaisser sur cette droite qu'une seule perpendiculaire ; donc si du centre 0 d^une circonférence on abaisse une perpendiculaire sur une corde AB, elle divisera cette corde et l'arc som- tendu en deux parties égaies.

CofiOiXAiBB II. Par un point pris sur une droite, on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à cette droite; donc si Von

46 PftEllIÈAB PABTIfS.

élève unç perpendiculaire sur le milieu (fune corde k% cette perpendiculaire passera par le centre,

98. Problème. Par trois points k, B, C (fig. 68), rumenUgrke droite, faire passer uns circonférence de cercle.

Joignez AB et BC ; ces droites seront des cordas de la circonférence demandée. Sur le milieu de chacune de ces cordes, élevez les perpendiculaires mw! et nn'; d'après le corollaire qui précède , ces deux perpendiculaires devront passer par le centre de la circonférence ; ce centre se trouve donc à l'intersection de ces perpendicul^Mres; et si, de cette intersection 0 comme centre, avec la distance OÂ. pour rayon on décrit une circonférence, elle passera par les points B et C.

On peut, d'ailleurs, s'en rendre compte 4'ui>e autre manière , en observant que le poipt 0 , appartenant à la perpendiculaire mw! élevée sur le milieu de AB, est également distant des points AetB, et que, par une raison analogue, il est également distant des points B et C, c'est-à-dire qu'il est à égale distance des trois pointsA,B,C.

Remarque 1. Si les trois points ne sont pas en ligne droite , les perpendiculaires mm' et nn' se rencontreront toujours ; car, dans le cas contraire, elles seraient parallèles, et Bm, qui est perpendiculaire à Tune, serait en môme temps perpendiculaire à l'autre, mais déjà Bn est perpendiculaire à cette autre ; il y aurait donc du point B deux perpendiculaires abaissées sur nn', ce qui est impossible.

Remarque II. Si les trois points donnés étaient en ligne droite, les perpendiculaires mm' et nn' seraient parallèles (00) et ne se rencontreraient pas. Par trois points en ligne droite , on ne peut doiic pas faire passer une circonférence de cercle, ou, en d'autres tenines , une ligne droite ne peut avoir plus de deux points communs avec une circonférence.

ftstf ARQDS m. Pour trouver le centre d'un cercle ou d'un arc §onné, prenez à volonté trois points sur ce cercle ou sur cet arc, et pbercl^ez le centre de la circonférence qui passe par ces trois points.

fijSMAfiQUB IV. Il résulte de cette solution que deux circonférences éh ^rcle ne peuvent avoir plus de deux points communs; car, si elles e^ avaient trois , elles auraient même centre , de plus même rayon , et se confondraient par conséquent [%^).

99. T^ÉOfiLÈME. Dans des cercles égaux ou dans le même cercle, les cordes égales sont également distantes du centre.

Soient d'abord les deux cordes égales AB et ab (fig. 59) , dans deux cercles égaux 0 et C ; je di$ que les perpendiciUaiites OM et Cm abaissées des centres 0 et C sur ces cordes sont égalea. Car, si Ton transporte le cercle C sur le cepcle 0 , ^e m^nîf^e que les ^rcs fi et AB , qui BOfd éfpujf, conune ay^t de^ coriles ^fl^, coîofii-'

GtOUtmiE PlASl. A7

(i«m, les cor^eç ellee-mémes cojfncidepont; leurs milieux n^ fit M se confondront en un seul point, et les droites Cm et OU en une seule et même droite. Donc ces perpendiculaires son^ égales.

S'W s'agissait des cordes égales ÂB et a'b\ appartenant à un même cercle, on considérerait une corde égale aà dans un cercle de même rayon ; on démontrerait , comme ci-dossus , que les cordes AB et ai, ou a'6' et a6, sont également distantes du centre ; d'où il suit que les cordes AJB et a'6' en sont aussi également distantes.

iOO. Théorème. Dans des cercles égaux ou dans le même cercle, de deux cordes inégales la plus petite est la plus éloignée du centre. Soit AD (fig. 59) la plus grande des deux cordes; et soit AB une oorde égale à la plus petite, et par conséquent également distante 4a centre ; il suffit de démontrer que si Ton abaisse sur ces cordes les perpendiculaires OP et OM, dont la dernière coupe AD en f , on aura OM>OP. Or, le tout OM est plus grand que sa partie 01; et l'oblique 01 est plus grande que la perpendiculaire OP; donc, à plus forte raison , OM est plus grand que OP.

iOi. Du rapprochement de ees deux théorèmes, on peut conclure que, dans des cercles égaux ou dans le même cercle : \^ si deux cordes sont égalejnent distantes du centre, elles sont égales; 2P dç deux cordes inégalement distantes du centre, la plus rapprofiée du centre est la plus grande,

BsMiRQUi. Ces propositions supposent toujours qu'il s'agit du

plus petit des deux arcs sous-tendus pa^r la corde que Ton considère.

âttl. TâlomiMS. Tmte droiteWHà^. m) perpendiculaire à Vex-

irémité d*un rayon OA n'a qu'un seul point commun avec la circon--

/érenee.

Car, soit Oft une droite quelconque menée du ce^ntre à un point de XT; cette droite OB sera une oUique plus longue que la perpendiculaire OA. Le point B est donc plus éloigné du centre que le point A ; ce point B est donc hors du cercle. Et comme on en pour- Tait dire autant lie tout autre point de XY, il s'ensuit que cett« droite n'a avec la circonférence d'autre point commun que le point A.

BBMAgQUE }. Une droîto q^i touche ainsi une cirocmCérefiGe, c'^t^ à-dire qui n'a et ne peut t^soit avec elle qu'un point commun , est dite tangente à cette circonférence; et le théorème précédent peul s'éaooeer mm : Toute perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon est tan^nte à la eir conférence,

La drcoùfiéreDce , k son tour , est dite tangente à 1^ droite. Leur point commun se nomme point de tangence ou de contact. m MMMàim$ II' Uoe dr<^te qui renoo^trc jiuxe circonférepce en d^ux fmntSy en d'autres termes, une corde prolongée est dite sécante t^ rapport è cette circonCérenee , qui , h son tour, est dite séeante

^^^^ '^''^ que la droite coupe la drconfé-

dicv ofiài^

, ^ ''--iiN^'JÎ^^/^^^^ ^^ (^8- ^) û««« ctrMn/érenr« O,

pir'^Ç>i'7/^/^//^' (lî^ rayon OA, gwt a^ou^tï a» po/ii/

\ j^0^^ gst tangente, tout point B de cette droite

'^P^^^ ^fesi s'^"^ ^^"^ *^ ** circonférence ; le rayon OA

^(>^'fduP^^^^ courte distance du point 0 à la droite XY ; ce

^^^/î^^'J^ndiculaire à cette droite (67, coroll.).

/fi^'^^^^l^ deux théorèmes précédents prouvent V que

^^oî^'f'pHs sur une circonférence on peut toujours lui mener

Ji^f^; il suffit, pour cela, d'élever une perpendiculaire à

^ta^dar^y^^ qui aboutit au point donné; 2* que /met un

^û^} sur une circonférence on ne peut lui mener qu'une seule

g^^^car par un point pris sur une droite on ne peut lui élever

Çtf^^xxle perpendiculaire.

^"SS^ pBOBLiMï. Par un point A (fig. 61), extérieur aune circonr-

f^ CMB, mener une tangente à cette circonférence

/'^^ô point A , et par le centre 0 de la circonférence donnée,

^oons la droite AC. Du point A comme centre, avec OA pour

^1,, décrivons un arc indéfini OE. Portons sur cet arc, à piutir

J^ point 0 , une ouverture de compas OD égale au diamètre BC de

ji circonférence donnée. Joignons la corde DO , qui coupera cette

^'rconférence en un point I. Enfin, tirons AI, qui sera la tangente

demandée. Car, DO étant égal au diamètre BC, le rayon 01 est la

moitié de DO ; donc la droite AI menée du centre A au milieu de la

corde DO est perpendiculaire à cette corde (97) ; et cette même

droite AI se trouvant ainsi perpendiculaire à l'extrémité du rayon

01, est tangente à la circonférence donnée.

Remarque I. On aurait pu faire au-dessous de AC une construction pareille , en sorte que le problème est susceptible de deux solutions.

Remarque n. Tant que le point donné A sera extérieur à la circonférence donnée, il sera toujours possible de porter sur l'arc OE une ouverture de compas égale à BC. Car OB étant plus petit que OA, le double de OB, c'est-à-dire BC ou DO, est plus petit que le double de OA, c'est-à-dii*e que le diamètre de la circonférence A. Or, la plus grande corde d'une circonférence est son diamètre; DO est donc plus petit que la plus grande corde de la circonférence A.

lOS. Applications. I. En vertu de V inertie, c'esU-à-dire de ceUe disposition de la maUère à persévérer, soit dans Tétai de repos, soit dans l'état de mouvement où elle se trouve , les corps qui sont contraints de se mouvoir circulairement, comme, par exemple, la pierre que porte une fronde, tendent sans cesse à reprendre le mouvement rectUigne , et à fuir par conséquent le centre

GÉOMÉTRIE PLAlIf. ^^

de la ToUtion. Celte tendance a reçu en mécanique le nom de /bree centrifuge. Lorsque la cause cfui obligeait le corps à se mouvoir circulairement vient à cesser, si, par exenaple , on lâche la corde de la fronde , le corps prend aussi- 161 la direction d'une droite tangente à la circonférence qu'il décrivait, ce qu'on exprime en disant qu't7 s'échappe par la tangente.

II. Les cordes qui s'enroulent sur des poulies Ûgurent des droites tangentes à leur circonférence. Si l'on veut , par exemple, tracer les directions d'une corde assii^ettie à s'enrouler sur une poulie (fig. 62) et k passer par deux points donnés A et B , il faudra par ces deux points mener des tangentes à la circonférence intérieure de la gorge de la poulie. En menant des parallèles à ces tangentes on donnera ensuite à la corde l'épaisseur convenable.

m. Le tracé des droites et des circonférences tangentes est indispensable pour opérer ce que les ouvriers appellent le raccordement. Cette opération consiste à lier les lignes les unes aux autres , de manière à ne former entre elles aucun ;arre(. Supposons qu'il s'agisse , par exemple , d'abattre par un arc de cercle Tangle ABC (fig. 63) d'une planche, à partir d'un certain point D. On élèvera au point D une perpendiculaire à BC, qui rencontrera en 0 la bissectrice de l'angle ÀBC. SI du point 0 on abaissait OE perpendiculaire sur AB, nous avons vu (76) que OD et CE seraient égaux. Si donc , du point 0 comme centre , avec OD pour rayon, on décrit un arc, il sera tangent à BG en D, et à AB en E ; cet arc servira donc à raccorder les droites AE et CD.

lY. Pour tracer une arcade, on a à raccorder deux droites parallèles par une demi-circonférence. Soient AB et CD (6g. 64) les droites qui limilenl les piédroits de l'arcade; on leur mène une perpendiculaire commune AG par le point A, qui est la naissance du cintre; on divise AC en deux parties égales, et du milieu O comme centre , avec OA pour rayon , on décrit une demi-circonférence , qui se raccorde avec AB et CD.

V. Les raccordements s'emploient en architecture dans une foule de cas , et notamment dans le tracé des moulures.

On trace une hagvLetie (fig. 6&) comme nous l'avons expliqué pour l'arcade. Le tore (fig. 66) se trace de la même manière; la droite sur laquelle il s'appuie doit le dépasser d'une quantité égale à son rayon.

Le tracé de la gorge (fig. 67) est tout à fait analogue; mais la demi-circonférence est décrite en dedans.

L'Inspection des figures suffira pour faire comprendre comment se tracent le quart de rond (fig. 68), le quart de rond renversé (fig. 69), le cavet (fig. 70), le eatec renversé (fig. 71). On donne le nom de congé à un petit cavet qui se trace comme lui, et se renverse également.

La moulure composée de la figure 72 contient cinq parties : 1 un filet, 3 un quart de rond, 8 une baguette, 4 une sorte de filet sans saillie que l'on nomme ceinture ou orU; 5 est un congé.

Des circonférences sécantes et tangentes.

i06. THioRÀHB. Si deux drconférences 0 etC (fig. 73) ont un point k commun hors de la ligne OC qui joint leurs centres, elles en ont nécessairement un second.

En effet : faisons tourner la figure OAC autour de OC , comme charnière, jusqu'à ce que le point k vienne se rabattre en A'. On aura évidemment A'0 = AO; ainsi le point A' appartient à la circonférence O ; on aura de même A'C = AC ; ainsi le point A' ap-

SO PRBIflÈBB PARTIE.

pallient à la circonférence C. Donc A' est commun aux deux drconfércnces. ,

CôROLLArRB. Il suit de là que pour que deux circonférences n aient qu'un seul point commun, il faut que ce point soit situé sur la ligne des centres. Dan» ce cas, les circonférences sont tangentes Tune à l'autre, et le point commun est le point de tangenceon de contact. Remarque. Deux circonférences ne peuvent avoir deux points communs d'un môme côté de la ligne des centres , à moins de coïndder; car, comme elles en ont autant au-dessous, elles ont ainsi quatre points communs , et ont par conséquent même centre et même rayon (98 , Rem. IV).

107. Théorème. Quand deux circonférences 0 etC (fig. 73) se coupent, c'est-à-dire quand elles ont deux points communs k et A\ la ligne des centres OC est perpendiculaire sur le milieu de la corde commune AA'.

Car la droite OC a deux de ses points 0 et C à égales distances des extrémités de AA' (7S).

i08. Quand deux circonférences 0 et C (fig. 73) se coupent, la distance des centres est moindre que la somme des rayons; car on a évidemment OC < OA + AG.

On a aussi 0C+ AC>OA; et si Ton retranche de part et d'autre AC, il vient OC>OA— AC ; c'est-à-dire que la distance des centres est plus grande que la différence des rayons.

iOO. Quand deux cercles se touchent, nous avons vu que le point de contact est situé sur la ligne des centres.

S'ils se touchent extérieurement, comme les cercles 0 et C (fig. 74), on a OC=OA-f AG, c'est-à-dire que la distance des centres est égale à la somme des rayons.

S'ils se touchent intérieurement, comme les cercles 0 et C (fig. 75), on a OG = OA— AC, c'est-à-dire que la distance des centres est égale à la différence des rayons.

i 10. Quand deux cercles sont extérieurs l'un à l'autre, comme les cercles 0 et C (fig. 76), on a

0C = 0A-hBC4-AB, d'où OC>OA-hBC,

c'est-k-dire que la distance des centres est plus grande que la somme des rayons.

Quand deux cercles sont intérieurs l'un à foutre , comme les cerdteOetC(fig. 77),ona

OC = OA— BC — AB, d*où 0C<OA— BC,

c'est->à-dire que la distance des centres est moindre que la dif/é- Hncê des rayoïw.

iii. On voit que la position relative de deux circonfiérencet m

GtoMÉTUS rtANI. SI

trouve caractérisée par la grandeur relative de leurs rayons et de la dislance de leurs centres. Pour en donner des exemples, supposons d'abord que les rayons de deux circonférences aient l'un 0"*,04, Vautre (y",l9, et que la distance des centre3SoitdeO'",ll.Lasomme des rayons est G*" ,23, leur différence est 0"',lô ; on voit que la distance des centres est moindre que la somme des rayons, mais qu'elle est en même temps moindre que leur différence : les deux circonférences sont donc intérieures Tune à l'autre.

Supposons, en second lieu, que la distance des centres soit de 3",5, le plus grand rayon de 8™,2, et le plus petit deô^jO. La somme desrayoas est 14"',1 ; leur différence est 2",3; on voit que la distance des centres est moindre que la somme des rayons, et plus grande que leur différence ; donc les deux circonférences se coupent.

Supposons enfin que l'un des rayons ait 3™,55, Tautre 1",92, et la distance des centres 5",47. La somme des rayons est 6", 47, c'est-à-dire, précisément la distance des centres; donc les deux circonférences se touchent extérieurement.

412. AppLicATioris. 1. Pour communiquer le mouYement 4*une roue de machine à une autre; on sait qu'on met leurs circonférences en contact, et qu'on les arme d'une série de dents qui les forcent à se mouvoir en sent contraire ; ce système se nomme un engrenage. Lorsque Ton veut dessiner deux roues dentées, on trace d'abord deux circonférences tangentes, que Ton nomme tes circonférences primilives des deux roues; et c'est sur ces circon'iérences que Ton dispose les dents en saillie. On creuse , au contraire , les intervalles des dents d'une même roue, afin que les dents de l'autre roue puissent t'y loger

II. Les moulures présentent également des exemples nombreux de drconfé* rences tangentes.

Dans le talon droit (fig. 79), le talon renversé (fig. 80), la douctne (flg. SI), et la doueine renversée {ùg. 82), les arcs sont tangents extérieurement. Dans la tcotie (fig. 83), et dans la scoHe renversée (Og. 84), les arcs sont, au contraire, tangenls intérieurement. L'inspection des figures suffît pour faire comprendre comment ces moulures doivent être tracées.

lit. On a recours également aux circonférences tangentes pour tracer le profil des consoles, qui servent quelquefois d'appui aux corniches , aux frontons , aux croisées , etc.

IV. Les arcades destinées à soutenir des rampes se terminent par une ligne courbe , nommée pour celte raison arc rampant, et qui se compose de deux arcs de cercle raccordés.

Soient AC et BD (fig. 85) les droites qui limitent les piédroits de l'arcade, prolongées jusqu'à la ligne AB parallèle à la rampe, et à laquelle le cintre de Tareade doit être tangent. On choisit d'ordinaire pour point de contact le milieu 1 de la droite AB, lorsque aucune circonstance particulière ne s'y oppose. Pour tracer l'arc rampant, élevons lE perpendiculaire à AB. Divisons en deux parUes égales les angles lAC et IBD par les droites AV et BO, qui coupent la perpendiculaire lE aux points V et 0. D'après les propriétés des hissectrices (7$), le point Y sera également disUot des droites AB et AC, c'est-à-dire que si l'on abaisse TM perpendiculaire sur AC, on aura VM = 1V. Si donc, du point V eomine «entre , ayec IV pour rayon, on d^crii un are IM , U mke tanfant à AB

en I, et à AG en M. De même, si l'on abaisse ON perpendiculaire sur BD , on aura ON =10; et si du point 0. comme centre, avec 10 pour rayon, on décrit un arc IN , il sera tangent à AB en I , et à BD en N. Ces arcs se raccorderont donc avec les droites AC et BD; et, de plus, ils se raccorderont entre eux au point I . puisque ce point est sur la ligne des centres VO.

Remarquons que, d'après les propriétés des bissectrices déjà citées, on a IA = AM el 1B = BN ; et comme IA=:IB, il en résulte AM = BN. Cette circonglanée, due au choix du point 1, conlril)ue à la grâce de Tare rampant MM.

V. Les arcades à cintre surl)aissé sont terminées par une ligne courbe que l'on peut tracer au moyen de trois arcs de cercle , et que l'on nomme, pour cette raison , courbe à trois centres. Elle porte aussi quelquefois le nom d'ange de panier.

Pour la tracer, soit AB (flg. 8C] la largeur de Tarcade ; divisons cette ligne en trois parties égales, aux points C et D. Sur le milieu 0 de CD, élevons une perpendiculaure indéfinie; et du point C, comme centre, avec un rayon égal à CD, décrivons un arc de cercle qui coupe cette perpendiculaire en un point I. Tirons IC et ID. Des points C et D comme centres, avec CA ou DB pour rayon, décrivons les arcs AE et BF, terminés au prolongement des lignes IG et ID. Nous aurons CE = CA = CD et LF = DB = 1D. Mais ies obliques IC et ID étant égales entre elles el li CD, il s'ensuit que lE et IF sont chacune le double de CD, et par conséquent égalés entre elles. Du point 1 comme centre , avec un rayon égal à lE ou à IF, décrivons donc un arc EF ; il se raccordera avec l'arc aE, car le point commun E est sur la ligne (les centres IC , et il se raccordera de même avec l'arc BF, puisque le point commun F est sur la ligne des centres ID.

VI. Si l'on répèle la même construction au-dessus et au-dessous de AB (fig. 87), on aura la courlie Terinée à laquelle on donne le nom à'ovale, et qui est Tréquemment employée dans les arts.

Vil. Les architectes font usage d'une autre courbe fermée , nommée ove, qui se tritce au moyen de quatre arcs de cercle. Sur une droite AB ifig. 88) , prise comme diamètre , décrivez une demi-circonférence AMB. Sur le milieu 0 du diamètre AB , élevez une perpendiculaire OC ég.ile à AO. Tirez AC et BC. Des points A et B comme centres, avec AB pour rayon , décrivez les arcs AD et BE , terminés au prolongement des lignes BC et AC. Les obliques AC et BC étant égales, et les droites BD et AE étant égales aussi, puisqu'elles sont égales à AB , il en résulte que Ton a

AE — AC = BD — BC, c'est-à-dire CE=CD.

SI donc , du point C comme centre , avec CD pour rayon , on décrit un arc de cercle, il se raccordera avec les arcs AD et BE.

Vill. C'est enfin au moyen d'arcs de cercle raccordés que l'on trace la volute ionique, employée non-seulement en architecture, mais dans tous les arts où l'on fait usage de l'ornement. Voici comment on exécute le tracé de cette courbe.

Soit AO (flg. 80] la distance du centre de la volute à son point de départ. Prenez OB égal à la neuvième partie de OA; et du point 0 comme centre, avec OB pour rayon , décrivez un cercle ; ce cercle se nomme Vœil de la volute. Prolongez BO jusqu'en D. et menez le diamètre CE perpendiculaire à BD. Joignez les cordes BC, CD, DE , EB. Marquez les milieux de ces cordes des chiffres 1 , 2, 3, 4. Joignez Ol , 02, 03, 04 ; partagez chacune de ces droites en trois parties égales, et numérotez les points de division en continuant à tourner autour du point 0 dans le sens indiqué par les chiin'es 1, 2, 3, 4. Tirez enfln les droites 1,

2; 2, 3; 3, 4; 4, 6; etc., jusqu'à U, 12.

La figure 00 représente , en plus grand , le détail de ces constructions à faire dans l'œil de la volute.

Maintenant, du point i (Og. 89) comme centre, décrivez l'arc AF, terminé à

GÊOMÊTBIE PLANE. 53

la droite l, 3. Du point 2 comme centre, décrivei Tare FG, terminé à la droite 2, 3. Du point 3 comme centre» décrivez l'arc GH, terminé à la droite 3, 4. Du point 4 comme centre, décrivez l'arc Hl, terminé h la droite 4, &. Du point 5 comme centre, décrivez l'arc IK, terminé ^ la droite 5, G; et continuez ainsi Jusqu'à ce que vous ayez décrit, du point 12 comme centre, l'arc RS, terminé au cercle BCDE.

Il esl facile de voir que tous les arcs ainsi décrits se raccordent. Les arcs AP et FG, par exemple, ont le point F commun, situé sur la ligne des centres l, 2; donc ifs sont tangents. H en est de même de tous les autres arcs consécutifs. Quant au dernier arc RS, il ne se raccorde point avec la circonférence BCDE, qui termine la volute ^ mais l'erreur estasses petite pour n'être point choquante.

On donne ordinairement une épaisseur âî la volute. Pour la déterminer, il suffit de décrire , à l'aide du même procédé , une seconde volute ayant même centre , mais dont le point de départ A' est situé au quart de llntervalle Al, à parlir du point A. La distance des deux volutes va sans cesse en diminuant, à mesure qu'elles approchent de leur centre.

Emploi des circonférences qui se coupent dans la résolution de quelques

problèmes.

115. L'emploi des circonférences qui se coupent va nous permettre de résoudre d'une manière rigoureuse , et avec le seul secours de la règle et du compas, quelques-uns des problèmes dont nous n'avons donné qu'une solution approchée, ou que nous avons résolus avec le secours de l'équerre.

ii4. PaoBLÈMB. Diviser june droite donnée AB (fig. 91) en deux parties égales.

Des points A et B comme centres, avec un rayon plus grand que la moitié de AB, décrivons deux circonférences; elles se couperont en deux points C et D, puisque la dislance des centres sera moindre que lu somme des rayons, et d'ailleurs plus grande que leur différence qui est nulle. Joignons CD, qui coupera AB en L Ce point sera le milieu de AB ; car la droite CD a deux de ses f)oînts à égaie distance des extrémités de AB; donc elle est perpendiculaire sur le milieu de cette ligne (75).

Remarque. La môme construction pourrait servir à élever une perpendiculaire sur le milieu d'une droite donnée, sans qu'il fût nécessaire de déterminer préalablement ce milieu.

ïi^. Problème. Diviser un arc donné AMB (fig. 92) en deux parties égales.

Tirons la corde AB, et, à l'aide de la construction précédente, élevons sur le milieu de cette corde la perpentliculHire IC. Cette perpendiculaire passera par le milieu M de l'arc donné (97).

lie. Problème. Diviser un angle donné TAON {Hq. 93) en deux parties égales.

Du sommet 0 comme centre, avec un rayon arbitraire, décrivons l'arc AB. Des points A et B comme centres , avec im rayon plus

5ft PREMIÈRE PARTIE.

grand que la moitié de la corde AB, décrivons deux arcs de cercle, qui se couperont au-dessous de ÀB en un ceilain point C. Joi* gnons OC ; cette droite a deux de ses points à égale distance dos extrémités de ÂB; donc elle est perpendiculaire sur le milieu de celte corde ; elle passe par conséquent par le milieu D de Tare AB, et Ton a AD=DB. Ainsi les angles au centre AOD et DOB , qui sont mesurés par des arcs égaux , sont égaux. La droite OC est donc la bissectrice de Tangle MON.

Remarque. On peut, dans Texécution, se dispenser de tirer la droite AB, qui n'est utile que pour la démonstration.

117. Problème. Par un point 0 (fig. 94) donné sur une droite AB , lui élever une perpendiculaire.

Prenons sur AB, de part et d'autre du point 0, deux distances égales OB et OC. Des points B et C comme centres, avec un même rayon plus grand que OB , décrivons deux arcs de cercle qui se couperont au-dessus de BC en un certain point I. Tirons 10; ce sera la perpendiculaire demandée. Car si Ton joignait IC et IB , d'après la construction ces rayons seraient égaux; le point I étant donc également distant des extrémités de BC, appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu 0 de cette droite ; donc 10 est cette perpendiculaire.

i 18. Problème. D'un point C (fig. 05) donné hors d'une droite AB, abaisser une perpendiculaire sur cette droite.

Du point A comme centre, avec AC pour rayon, décrivons une circonférence. Du point B comme centre, avec BC pour rayon, décrivons une seconde circonférence. Ces deux circonférences ayant un point C commun au-dessus delà ligne des centres, en auront un second D au-dessous (100). Tirons CD ; ce sera la perpendiculaire demandée, car cette droite sera la corde commune (i07).

149. Les conslnicUons que nous venons de faire connaître ont une rigueur que ne présenlenl point les solutions précédemment données des mêmes problèmes; mais elles ne peuvent être pratiquées que sur des surfaces planes de peu d'étendue. Sur le terrain , il Taut s'en tenir aux procédés que nous avons exposés déjà.