CHAPITRE VII

PUOVUVMta DV GERCtB RBLATITES ÀXTL PÂRALUkLBS.

120. Théorème. Deux parallèles AB et CD (âg. 96) intTceptmt sur une circonférence des arcs égaux.

Ea effets du .centre 0 de cette circonférence, abaissons sur

«tOVÉTRn PLANS. 5|

las deux ^rallèles une perpendiculaire commune ; le point I où ceUe perpendiculaire coupera la circonférence sera le milieu de r&rc AB ((97) ; il sera aussi le milieu de Tare CD (môme théorème). On a donc 1A=IB et IC = U), d'où résulte IC— IA=iID^IB ou AC=BD.

II pourrait se faire que l'une des deux parallèles fût tangente h la circonférence. Soient, par exemple, les deux parallèles A'B' et CD, dont l'une est tangente en un point I. Tirons le rayon 01 , ce rayon sera perpendiculaire à la tangente A'B' (105), et par conséquent à sa parallèle CD (86). Donc le point 1 est le milieu de Tare CD (07).

Enfin , les deux parallèles pourraient ôtre toutes deux tangentes. Soient A'B' et CV ces deux parallèles, tangentes Tune en I et l'autre en H. Menons les rayons 01 et OH. La tangente A'B' sera perpendiculaire au rayon CI (103), et la tangente CD' au rayon 011. Il résulte de là que OH prolongé serait aussi perpendiculaire à AB (B0) ; mais par un même point on ne peut abaisser qu'une perpendiculaire sur une môme droite; il faut donc que 01 soit le prolongement de OH. La ligne IH est donc un diamètre , et les arcs ICH , IDH , interceptés par les tangentes parallèles , sont égaux , puisque chacun d'eux est une demi-circonférence (59).

Ainsi le théorème est tout à fait général.

ISl. Bemarqus. On peut s'appuyer sur ce théorème pour mener par un point donné vne parallèle à wie droite donnée. Soient AB (fig. 97) la droite donnée, et C le point donné. D*un point quelconque 0, pris sur AB, avec un rayon égal à CO, décrivons une demi-circonférence ECDF. Prenons l'arc DF égal à l'arc CB, et tirons CD ; ce sera la parallèle demandée. Car si CD n'était pat para//èie à AB, on pourrait par le point C mener une droite CK parallèle à AB; on aurait alors, en vertu du théorème précédent, CE = KF; mais par construction on aCE = DF; il en résulterait KF = DF, ce qui est impossible.

192. Le théorème précédent fournit le moyen de mesurer les angles dont le sommet n'occupe pas le centre de la circonférence , et que , pour cette raison , on appelle angles excentriques.

Parmi les angles excentriques, les plus remarquables sont ceux qui ont leur sommet sur la circonférence , et dont les côtés sont des cordes; on les nomme angles inscrits; c'est de la mesure de ces derniers angles que nous nous occuperons d'abord.

193. Théorème. Tout angle inscrit a pour mesure la fnoiiié de tare compris entre ses côtés.

Il peut se présenter trois cas , que nous examinerons successi» rement :

!• Le centre O de la circonférence peut être situé sur Tun des côtés de l'angle inscrit ABC (fig. 98). Par le centre, menons le dia-

mètre DE parallèle à BG. Les angles AOE et BOD sont égaux comme opposés par le sommet; les arcs AE et BD qu'ils comprennent sont donc égaux (48). Mais en vertu du théorème du n"" 120, les arcs BD et CE, interceptés sur la circonférence par les parallèles BCet DE, sont égaux. Donc CE égale AE, c'est-à-dire que AE est la moitié de AC. Or, les angles ABC et AOE sont égaux comme correspondants ; donc Tangle ABC a la même mesure que l'angle AOE , c'està-dire l'arc AE qui est la moitié de AC.

2<' Le centre 0 peut être situé en dedans de l'angle inscrit ABC (fig. 99). Tirons le diamètre BD. L'angle ABC sera la somme des angles ABD et DBC , et aura par conséquent pour mesure la somme des mesures de ces angles. Or, d'après la première partie de la démonstration , l'angle ABD a pour mesure la moitié de AD , puisque le centre est situé sur l'un de ses côtés. De même , l'angle DBG a pour mesure la moitié de DC. L'angle ABC a donc pour mesure la moitié de AD plus la moitié de DC , ou , ce qui revient au même , la moitié de l'arc AC compris entre ses côtés.

S'^ Enfin , le centre 0 peut être situé en dehors de l'angle inscrit ABC (Pig. 100). Tirons le diamètre BD; l'angle ABC sera la différence des angles DBC et DBA. Or, DBC a pour mesure la moitié de DC ; DBA a pour mesure la moitié de DA. L'angle ABC a donc pour mesure la moitié de DC moins la moitié de DA , ou , ce qui revient au même , la moitié de la différence entre DC et DA , c'està-dire la moitié de l'arc AC compris entre ses côtés.

124. On appelle segment d'un cercle la partie de ce cercle comprise entre un arc et sa corde. Ainsi l'espace ABB'BXA (fig. 101) est un segment ; il en est de même de l'espace AMCA.

Lorsqu'un angle a son sommet sur la circonférence, et que ses côtés aboutissent aux extrémités d'une même corde, on dit que cet angle est inscrit dans l'un des deux segments qui répondent k cette corde. Ainsi l'angle ABC est inscrit dans le segment ABB'B^CA , et l'angle AMC est inscrit dans le segment AMCA.

11 résulte du théorème précédent que tous les angles tels que ABC, AB'C, AB"C, etc., inscrits dans un même segment, sont égatuc; car chacun d'eux a pour mesure la moitié de l'arc AMC. On dit alors que ce segment est capable de l'angle ABC , c'est-à-dire que cet angle exprime la valeur commune de tous ceux qui sont inscrits dans ce même segment. Le segment AMCA est de même capable de l'angle AMC.

Remarquons que les angles ABC et AMC sont supplémentaires; car l'angle ABC a pour mesure la moitié de l'arc AMC; l'angle AMC a pour mesure la moitié de l'arc ABB'B^C : leur somme a donc pour mesure la moitié de la somme de ces arcs, c'est-à-dire la moitié de la circonférence, ou 180*^.

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la». Tous les angles ABC, ABC, AB'G, etc. (fig. 102), inscrits dans un demi-^erele, c'est-à-dire qui ont leur sommet sur la circonférence , et dont les côtés aboutissent aux extrémités d'un même diamètre AC, sontdes angles droits; car ils ont pour mesure la moitié de la demi-circonférence AMC , c'est-à-dire un quadrans.

iS6. Applications. I. Cette considération fournit un moyen d'élever une perpendiculaire à l'extrémité B d'une droite AB (fig. 103) que l'on ne peut prolonger. Pour cela , prenons un point quelconque 0 extérieur à cette droite; de ce point , comme centre , décrivons , avec un rayon égal à OB , un arc de cercle qui coupe la droite donnée en un point C. Joignons CO, et prolongeons cette ligne d'une quantité OD égale à OC. Tirons DB; ce sera la perpendiculaire demandée. Car, d'après la construction, les trois longueurs OB, OC et OD sont égales, les trois points B, C, D sont donc sur une même circonférence qui a le point 0 pour centre , et CD pour diamètre. L'angle CBD peut donc être considéré comme inscrit dans un demi-cercle, et est par conséquent droit.

Remarque. Dans Texécution, il est inutile de tracer la demi-circonférence CBD ; nous ne l'avons fait que pour rendre les raisonnements plus sensibles.

Cette construction pourrait être employée « à défaut d'équerre ou de té, pour couper à angle droit le bout d'une planche. Elle pourrait aussi se pratiquer sur le terrain en remplaçant le compjis par un cordeau tendu.

127. II. La propriété de l'angle inscrit dans un demi-cercle fournit aussi un nouveau moyen de mener, par un point donné, une tangente à une circonférence donnée.

Soient A (fig. 104) le point , et 0 la circonférence donnés. Joignons . AO. Sur cette droite, comme diamètre, décrivons une circonférence qui coupera la première en deux points B et B'. Joignons AB et AB' : ce seront les deux tangentes qu'on peut mener par le point A à la circonférence donnée. Car, si l'on joint BO, l'angle ABO sera droit, comme étant inscrit dans un demi-cercle : la droite AB est donc perpendiculaire à l'extrémité du rayon OB, et par conséquent tangente.

128. Théorème. L'angle ABC (fig. 106), formé par une tangente AB et par une corde BC, aboutissant au point de tangence, a pour mesure la moitié de l'arc BmC sous-tendu par cette corde.

En efiet, par le point C , menons CD parallèle à la tangente AB : les angles ABC et BCD seront égaux comme alternes-internes. L'angle fiCD, comme angle inscrit, a pour mesure la moitié de Tare BD connpris entre ses côtés. Or, les arcs BD et BmC, interceptés par les parallèles AB et DC, sont égaux ; donc Tangle BCD, ou son égal ABC, a pour mesure la moitié de l'arc BmC, sous-tendu par la corde BC.

BmiARQUK. La corde BC sous-tend deux arcs BmC et BDC. La

moitié du premier étant la mesure de Tangle ABC , la moitié du second sera la mesure du supplément de ABC, puisque ces Aeu% arcs réunis forment la circonférence entière, et que, par conséquent , leurs moitiés réunies forment une demi-circonférence ou 180*. Or, l'angle A'BC est précisément le supplément de ABC (56); ainsi cet angle A'BC a pour mesure la moitié de Tare BDC sous-tendu par la corde BC. En sorte que le théorème s'applique à un angle obtus comme à un angle aigu.

129. Problème. Décrire sur une droite donnée AC comme corde (fig. 106) un segment capable d'un angle donné.

Au point C, faisons Vangle ACT égal à Tangle donné. Élevons CO perpendiculaire à CT; et par le point I, milieu de AC, élevons 10 perpendiculaire à AC. Du point 0 comme centre , avec OC pour rayon, décrivons une circonférence; le segment supérieur ABC sera le segment demandé.

En effet, la circonférence décrite passe par le point A, puisque le point 0, appartenant à la perpendiculaire élevée sur le milieu de AC, est également distant des points A et C. Cette circonférence est en même temps tangente à TC au point C, puisque TC est perpendiculaire à rextrémité du rayon OC. L'angle ACT, formé par une tangente et une corde aboutissant au point de tangence, a pour mesure la moitié de l'arc AmC sous-tendu par cette corde. Tout angle ABC, inscrit dans le segment supérieur, ayant aussi pour mesure la moitié de l'arc AwC, est égal à l'angle ACT, c'est-à-dire à l'angle donné.

Remarque I. Lorsque l'angle donné est aigu, le centre 0 se trouve, comme dans la figure, au-dessus de la droite donnée AC, et le segment supérieur est plus grand que le demi-cercle. Si l'angle donné était obtus, le centre 0 se trouverait au-dessous de AC, et le segment supérieur serait moindre que le demi-cercle.

Remarque II. Si l'angle donné était droit, le segment cherché serait un demi-cercle ; il sufGrait dans ce cas de décrire du milieu de la droite donnée comme centre , avec un rayon égal à la moitié de cette droite, une demi-circonférence.

Application. Ce problème trouve son application dans le tracé des cartes marines et des plans topographiques. Supposons, par exemple, que l'on veuille marquer sur une carie marine un point remarquable 0 (tig. 107), tel qu'un îlot, un écueil , etc., d'où l'on peut apercevoir le rivage. On observe sur ce rivage trois points A, B, G, faciles \ reconnaître et déjà marqués sur la carte. On mesure les angles AOB, BOC, formés par les rayons visuels menés du point 0 à ces trois points. Sur la droite qui représente AB sur la carte, on décrit un sejmenl capable de l'angle AOB; sur celle qui représente BC, on décrit un segment capable de Tangie BOC. Les deux circonférences décrites, qui ont déjà un point B commun, se coupent en un second point 0, qui est précisément celui qu'il s'agissait de fixer sur la carte,

i80. Théorème. Tmt angle A.1B (fig. 108) imt le soumet est tu-

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térieur à un cercle, a pour mesure la moitié de Pare AB compris entre $es côtés, plus la moitié de l'arc CD compris entre leurs prolonge» ments.

Menons DE parallèle à CB; les angles AIB et ADE seront égaux comme correspondants. Or, l'angle inscrit ADE a pour mesure la moilié de Varc AE compris entre ses cotés, c'est-à-dire la moitié de AB, plus la moitié de BE. Mais, à cause des parallèles CB et DE, les arcs BE et CD sont égaux (iSO) ; donc l'angle ADE, ou son égal AIB, a pour mesure la moitié de AB, plus la moitié de CD.

I3i. Théorème. Tout angle AIB (fig. 109) dotit le sommet est extérieur à Kn cercle, a pour mesure la moitié de la différence des arcs àB et CD compris entre ses côtés.

Menons DE parallèle à CB ; les angles AIB et ADE seront égaux comme correspondants. Or, l'angle inscrit ADE a pour mesure la moitié de l'arc AE compris entre ses côtés , c'est-à-dire la moitié de la différence entre les arcs AB et EB. D'ailleurs , à cause des parallèles DE et CB, les arcs CD et EB sont égaux (120); donc l'angle ADE, ou son égal à AIB, a pour mesure la moitié de la différence entre les arcs AB et CD compris entre ses côtés.

Remarque I. Ce théorème subsisterait encore si l'un des deux cétés de l'angle était tangent à la circonférence. Car soit TI (fig. 1 10) ce côté tangent au point A. Menons AE parallèle à CB ; les angles TAE et AIB seront égaux comme correspondants. Or, l'angle TÂE, formé par une tangente et une corde qui aboutit au point de tangence, a pour mesure la moitié de l'arc AE sous-tendu par cette corde, c'est-à-dire la moitié de la différence entre les arcs AB et EB. D'ailleurs EB=AC, à cause des parallèles (120) ; donc TAE, ou son égal AIB, a pour mesure la moitié de la différence entre les arcs AB et AC compris entre ses côtés.

Remarque II. Enfin , le théorème subsisterait encore si les deux côtés étaient tangents. Car soit AIB (fig. 111) un angle dont les côtés sont tangents, l'un en A, l'autre en B. Menons AE parallèle à IB; les angles TAE et AIB seront égaux comme correspondants. Or, TAE a pour mesure la moitié de l'arc AE , c'est-à-dire la moitié de la différence entre AEB et EB, D'ailleurs, EB=AB, à cause des parallèles (120); donc TAE, ou son égal AIB, a pour mesure la moitié de la différence entre les arcs AEB et AB compris entre ses côtés. ^

iM. Les théorèmes relatifs à la mesure des angles, dont nous venons de donner la démonstration, conduisent à cette conséquence remarquable, que, de quelque manière qu'une circonférence soit rencontrée par les côtés d'un angle, les arcs interceptés par ces côtés donneront toujours la mesure de cet angle. Car son sommet tombera inévitablement ou dans le cercle, ou sur la circonférence, ou hors du cercle.

433. THiORfeME. Si par dem pointt donnés K et C (flg. 101) on mène deg couples de droites AB et CB, Kff et CB', etc., faisant entre elles des angles égaux ABC, AB'C, etc., les points B, B', etc., seront sur une même eireonfé^ rence passant par les points A et C.

En d'autres termes, si Ton fait passer une circanférence par les points A, B et C, elle passera aussi par le point B' par exemple. En effet, si elle n'y passait pas, le point B' serait ou intérieur ou extérieur au cercle. S'il était Intérieur, l'angle AB'C aurait une mesure plus grande que la moitié de l'arc AC (43#', et serait, par conséquent, plus grand que l'angle ABC. Si le point B' était extérieur au cercle, l'angle AB'C aurait une mesure moindre que la moitié de l'arc AC (434). et serait par conséquent moindre que l'angle ABC. Ces deux résultats sont également contraires à la supposition ; il faut donc que le point B' soit situé sur la circonférence.

Application. On pourrait, en se fondant sur cette proposition, obtenir autant de points que Ton voudrait d'une circonférence dont trois points A , B , C, seraient donnés. Tirons , en effet, une droite quelconque AB'; et par le point C menons une seconde droite CB', qui rencontre la première sous un angle égal à l'angle ABC (93), le point B', ainsi déterminé, serait sur la circonférence qui passe par les trois points A, B, C. On obtiendrait de la même manière autant de points qu'on le voudrait de cette circonférence.

Les points situés au-dessous de AC s'obtiendraient en ayant égard à ce que l'angle ANC est le supplément de ABC.

La construction se simpliflerait si l'angle ABC était droit (Og. 102); car après avoir mené AB'arl)itrairement, on n'aurait qu'à abaisser du point C une perpendiculaire sur celte droite pour déterminer le point B'.

C'est particulièrement aux opérations sur le terrain que ces constractions seraient applicables.