CHAPITRE VIII

DU DROITES GOUPéni PAR DES PÂRÂLLAu».

154. Théorème. Les portions AC et BD (fig. 112) de deux parallèles, comprises entre deux autres parallèles AB et CD, sont égales.

Pour le prouver, prenons sur AB et sur son prolongement les longueurs égales AE et BF : des points E et F, abaissons sur CD et sur son prolongement les perpendiculaires EG et FH. Ces perpendiculaires seront égales, puisque deux parallèles sont partout également distantes (87). Imaginons que Ton transporte la figure BFÏID sur la figure AEGC, de manière que FH coïncide avec son égale EG. Les angles AEG et BFH étant droits, puisque EG et FH, perpendiculaires à CD, sont aussi perpendiculaires à sa parallèle AB (80), la ligne FB prendra la direction de EA ; et comme on a pris AE == BF, le point B tombera en A. Les angles C AE et DBF étant égaux comme correspondants, la ligne BD prendra la direction de AC, et le point D tombera quelque part sur AC. Les angles CGE et DBF étant droits, la

GtOMÉTBIB PLANE. 01

ligne HD prendra la direction de GC, et le point D tombera quelque part sur GC. Le point D devant ainsi tomber k la fois sur les lignes AC et GC, ne peut tomber qu'à leur intersection C. Les droites BD et AC auront donc les mêmes extrémités, et coïncideront; donc ces droites sont égales. Remabqcs. On démontrerait de même que AB = CD.

155. TBÉORàMB. Réciproquement : Si sur deux parallèles on prend des longueurs égales AB et CD (fig. 113), les droites AC et Vu, qui joignent les extrémités de ces longueurs, sont parallèles.

Car si BD n'était pas parallèle à AC, soit BI cette parallèle; en vertu du théorème précédent , on aurait AB = CI ; mais , par supposition, on a déjà AB=CD. Il en résulterait CD = CI , ce qui est impossible. Il faut donc que BD soit parallèle à AC.

APPLICATION. Od met k pro6t ce théorème toutes les fois que l'on i un grand nombre de paraUèles à tracer entre deux parallèles données. C'est ce qui arrive en particulier dans le dessin des parquets dits poini de Hongrie (fig. 114). On porle préalablement des longueurs égales sur les parallèles AB, CD, où doWent aboutir les frises; et c'est tout simplement en joignant les points de division que Ton obUent la série de parallèles dont on a besoin.

156. Théorème. 5i une droite AC (fig. 115) est coupée par trois parallèles KD, VE, CV, de manière que les parties AB et BC, cotnprises entre ces parallèles, soient égales, toute autre droite DF sera coupée par ces parallèles de la même manière, et l'on aura DE = EF.

Pour le prouver, prenons GE= AD ; menons GH parallèle à BC ; en vertu du théorème du n** 134, on aura GH=BC , et par conséquent GH=: AB , puisque AB et BC sont égaux. Imaginons que l'on transporte la figure HGEF sur la figure BADE, de façon que GH coïncide avec son égal AB. Les angles HGE et BAD étant égaux comme ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens, la ligne G£ prendra la direction de AD ; et comme on a pris GE= AD, le point E tombera en D. Les angles GEF et ADE étant égaux comme correspondants, la ligne EF suivra la direction de DE, et le point F tombera quelque part sur DE. Les angles GHF et ABE étant égaux comme correspondants, la ligne HF prendra la direction BE , et le point F tombera quelque part sur BE. Le point F devant tomber à la fois sur les droites DE et BE , ne peut tomber qu'à leur intersection E. Les droites EF et DE auront donc les mômes extrémités et coïncideront; donc ces droites sont égales.

137. Théorème. Deux droites quelconques AC et DF (fig. 116) sont coupées proportionnellement par les parallèles AD, BE, CF.

En effet , supposons d'abord que les droites AB et BC aient une commune mesure , qui soit contenue , par exemple , 3 fois dans AB et 4 fois dans BC. Divisons AB en 3 parties égales , et BC en 4 parties égales; ces parties seront égales entre elles. Par tous les points de

69 FREMIÈEE PiJtTlB.

division menons des parallèles à BE ; soient mx^ ny, pz^ ru^ sv ces parallèles. En verlu du théorème précédent, puisque Am=mn, on aura Dxz=xif; puisque mn=nB, on aura xy=.yE; et ainsi de suite. Toutes les parties Dx, xtj, yE, Ez, zu, uv, vY de la droite DF sont donc égales entre elles. Or, DE contient 3 de ces parties, et EF en contient 4; ces droites sont donc entre elles comme 3 est à 4. Mais les droites AB et BC sont aussi entre elles comme 3 est à 4. A cause de ce rapport commun , on a donc la proportion AB:BC::DE:EF.

Si AB et BC ne sont point commensurables, concevons que l'on divise BC en m parties égales; AB contiendra un certain nombre n de ces parties, plus un reste; ainsi le rapport ÎJ sera compris entre ~et^*. Si partons les points de division on mène des parallèles à AD, on déterminera sur DF une série de longueurs égales (13G); EF contiendra m de ces parties, et DE en contiendra n plus un reste; ainsi le rapport Jî sera compris entre £ et "i". Or les fractions £ et ~ ne diffèrent que de i, quantité aussi petite qu'on voudra, puisque m est arbitraire. Donc les rapports k et » , tous deux compris entre £ et ^ , diffèrent à plus forte raison l'un de l'autre de moins de s , c*estrà-dire d'une quantité moindre que toute grandeur assignable. Donc ces deux rapports sont égaux ; et Ton a, comme plus haut,AB:BC::DE:EF.

Corollaire I. Il pourrait arriver que les droites AC et DF se croisassent sur Tune des trois parallèles.

Si , par exemple , elles se croisaient sur AD , comme l'indique la figure 117, en menant def parallèle à AF, on aurait, d'après le théorème ci*dessus, AB:BC::de:«/. Mais dtf = A£ comme parai* lèles comprises entre parallèles , e/=EF par la même raison. Donc,