AB:BC::AE:EF

Si elles se croisaient sur la parallèle intermédiaire, comme Tindîque la figure 118, en menant encore cfe/ parallèle à DF, on aurait AB:BC::dc:c/. Mais dtf=BD et e/=BF. Donc AB:BC::BD:BF.

Corollaire IL De la proportion [1] on tire

AB+BC:AB::AE+EF:AE, ou AC:AB::AF:AE.

Cette proportionnalité, dont on fait un fréquent usage, peut s'énoncer de la manière suivante : Quand les deux côtés d'un angle sont coupés, par deux parallèles, les distances du sommet de l'angle aux intersections de ses côtés avec les parallèles , sont proportionnelles entre elles.

tSO. Problème. Trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes données m, n, p (flg. 119). ^

Tirons deux droites indéfinies faisant entre elles un angle quel-

GËOMtTBU PLAUB. 6t

conqoe. A^partir du sommet, portons sur l'une d'elles une longueur AB égale a m , puis une longueur BC égale à n. A partir du même sommet, portons sur la seconde droite une longueur AD égale à /?. Joignons 6D, et menons CE parallèle à BD. Nous aurons, en vertu du corollaire I du théorème précédent, AB:BC::AD:DE, ou miniipiVE. La ligne DE sera donc la quatrième proportionnelle cherchée.

Si les lignes données étaient trop grandes pour que les deux premières pussent être portées commodément à la suite Tune de l'autre sur un même côté de l'angle, on pourrait les porter Tune sur l'autre à partir du sommet. Appelons , par exemple , M, N, P, les trois lignes données. Prenons AB = M , AC = N , AD = P. Joignons BD; menons CE parallèle àBD; nous aurons, en vertu du corollaire U du théorème précédent, AB:AC::AD:AE, ouM:N::P:A£; ûnsi A£ serala quatrième proportionnelle cherchée.

Bjkmarqds. Il peut arriver que la seconde et la troisième des lignes données soient égales entre elles. Cette circonstance ne change rien aux constructions précédentes ; mais comme il n'y a alors de bit que deux lignes données, la ligne que l'on cherche est dite troisième proportionnelle à ces deux lignes.

i59. Pboblémb. Diviser une droite donnée AB (fig. ISO) enpar-' lies proportionnelles à des lignes donnas m, n, p.

Par le point A tirons une droite indéfinie. Prenons AC=m, CD=in, DE=p. Joignons EB, et par les points C etD menons CF et DB parallèles à EB. Nous aurons , d'après le théorème du n« iS7 :

AJP:FH::AC:CD::m:n, et FH:HB::CD:DE::n:;}.

La droite AB est donc divisée en parties proportionnelles aux lignes «», n, p.

Remarqiie I. On opérerait de la même manière pour diviser une ligne donnée en parties proportionnelles à des nombres donnés. U suffirait pour cela de choisir une unité de longueur , et de prendre des lignes AC, CD , DE , égales chacune à autant de Tois cette unité de longueur qu'il y aurait d'unités dans chacun des nombres donnés; car ces lignes seraient alors proportionnelles à ces nombres , et le problème rentrerait dans le cas précédent.

BiMARQUE II. On pourrait aussi , par une construction analogue, diviser une ligne donnée en un nombre quelconque de parties ^les; mais nous indiquerons tout à l'heure un procédé préférable.

J40. TflÉOBÈMi. Si deux droites BD et CE (fig. 121) coupentpro^ fortionneUemeni les côtés d'un angle CAE, les deux droites sont poraUiles.

64 PBEMIÈIIB PARTIE.

Car si CE n'était pas parallèle à BD, soit CI cette parallèle, on aurait, en vertu du corollaire 1 du n*' i 37 :