AB:BC::AD:DI

Mais on a, par supposition , AB:BC:: AD:DE. Ces deux proportiens ayant trois termes communs , le quatrième terme doit être le môme. On aurait donc DI=DE , ce qui est impossible. Donc la parallèle menée à BD par le point C ne peut être que CE.

Bemarque. On arriverait au même résultat en partant de la supposition AB : AC :: AD : AE; car on en tire AB:AC— AB:: AD;AE — AD ou AB : BC :: AD : DE , et Ton rentre ainsi dans le cas précédent.

141. Problème. Diviser une droite donnée AB (fig. 122) en un nombre donné de parties égales.

Pour fixer les idées , supposons qu'il s'agisse de diviser AB en 5 parties égales. Par le point A tirons une droite indéfinie , sur laquelle nous porterons 6 longueurs égales choisies arbitrairement (une de plus que la droite AB ne doit avoir de parties). Soit C l'extrémité de la sixième longueur. Joignons BC , et prolongeons cette ligne d*une quantité BD égale à BC. Les points E et F étant les points de division qui précèdent immédiatement le point C , joignons DE qui coupera AB en un point I. Je dis que BI sera la cinquième partie de AB.

En effet, on a, d'après la construction, EF=FC et BD=BG. Si l'on joint BF, les côtés de l'angle DCE seront donc coupés proportionnellement par les droites DE et BF , et en vertu du théorème précédent, ces deux droites sont parallèles. Mais alors, les côtés de l'angle FAB sont aussi coupés proportionnellement par les parallèles El et FB ; et l'on a

AE:EF::AI:IB, d'où AE-hEF:EF::AI-hlB:IB, ou AF:EF::AB:1B.

Or AF vaut 5 fois EF ; donc AB vaut 5 fois IB. Il ne restera plus qu'à porter IB sur lA autant de fois que cela sera possible : la ligne AB se trouvera divisée en 5 parties égales.

Remarque. On pourra substituer ce procédé rigoureux à la mé thode approximative indiquée au n"" 17. Remarquons toutefois que, malgré la rigueur de ce procédé, on ne doit point se flatter, en l'employant, d'être à l'abri de toute erreur. Toutes les fois que l'on a des lignes à tirer , des longueurs à porter au compas sur des lignes; en un mot, dans tous les procédés graphiques, quelle que soit l'exactitude des principes théoriques sur lesquels ils se fondent, il y a non-seulement des erreurs possibles, mais même des erreurs inévitables, résultant de l'imperfection des instruments employés

et de l'imperfection de nos sens eux-mêmes. Ces erreurs sont d'autant moindres que les instruments sont meilleurs, et que les opérations sont faites avec plus de soin. Dans le problème qui nous occupe, les chances d'erreur seront d'autant plus grandes que le nombre des parties à obtenir sera plus considérable. Nous renverrons à ce sujet à ce que nous avons dit à la fin du n* i7.

I4S. Appugation. Les théorèmes des n* 437 et 44ê fournissent le moyen de mener, par un point donné sur le terrain , une parallèle à une droite inaccessible , pourvu qu'on en sache mener une )i une droite dont une extrémité seulement est accessible.

Soient C (flg. 123) le point donné, et AB la droite inaccessible, déterminée par deux points visibles A et B. Faisons planter un jalon au point C, et un autre en un point quelconque D. Par le point C, menons une parallèle k la droite AD dont rextrémité D est accessible (pour mener cette parallèle , on pourra faire usage du grapbomètre et appliquer la méthode indiquée au n*9l). Soit CE cette parallèle. Plaçons un jalon en Ë , et un autre en F, à Tintersection des droites AC et DE prolongées. Par le point E menons une parallèle à la droite DB dont rextrémité D est accessible , et plaçons un jalon à llnlersection H de cette parallèle avec la droite FB. Les jalons C et H détermineront la parallèle cherchée.

£a effet, a cause des paraUèles AD et CE, on a FG : AC :: FE : ED (131) , et Ik cause des parallèles DB et EH on a de même FE : ED :: FH : HB. Ces deux proportions ayant un rapport commun , les deux autres rapports sont en proportion, et il Tient