AE:AD::CE:BD

Corollaire. Le théorème subsisterait encore si le sommet de l'angle se trouvait situé entre les parallèles, et que Tune d'elles coupât les prolongements de ses côtés, comme l'indique la figure 125; car en menant encore DF parallèle à BC, on aura AE:AD::EC:CF. Mais CF=BD, puisque ce sont des paraUèles comprises entre parallèles ; on peut donc écrire AE : AD : : EC : BD.

144. Applications. I. On a construit sur ce principe un iostrument qui fournit le moyen d'obtenir immédiatement la moitié , le tiers , le quart, etc. , jusqu'au douzième d'une longueur donnée. Cet instrument se nomme compas de réduc^ tion. Il se compose de deux branches égales AN et CM (flg. 126), terminées en pointes. Les branches se croisent entre deux boutons qui les pressent; elles

M ritMIÈAft PAttTtlU

mni pèreéM lotitltudiii«leiiieni d'une rainure où l'engige le pit ol qui féuntl lei deux bottUNM» Celte diipoiiUoa permet de faire mouvoir les brani^es dans le sens de leur longueur, de manière qu'elles se croisent en tel point qu'on le veut de cette longueur. En même temps elles soht susceptibles de s'écarter ou de se rapprocher à tolonté, comme celles d'un éompas ordinaire. Nous ne parlons pas de plusieurs autres dispositions de détail dont la vue de l'instrument suffit pour faire comprendre le but. ^ ,

Supposons maintenant qu'on veuille, a Taide du coMpas de réduction , prendre le tiers d'une droite AB. On (\erme d'abord rinslrument de manière que les deux branches soient exactement superposées. On fait ensuite glisser le pivot dans la double rainure jusqu'à ce que la distance OA soit le tiers de la dis* tance ON; des divisions tracées sur l'une des branches, ainsi que sur une lan-« guette dont le pivot est muni , facilitent eette opération. On ouvre alors les branches» et l'on prend avee les pointes M et N une distance égale à AB) la distance qui sépare alors les pointes A et C est la longueur cherchée. Car, d'après la disposition donnée à l'instrument, on a OMrzON et OC:==OA} d'où résulte la proportion identique OA t ON t: OG : OU. Il s'ensuit (iA») que UN et AG sont parallèles j on a donc (137)

AC:MN::0à:0N ou bièti ÂC;AB:!i:d.

Il serait facile, en multipliant les divisions marquées sur les branches, d'ob^ tenir, à l'aide de cet iustrument, beaucoup d'autres fractions simples d'un lodgueur donnée; par exemple, les |, les |, etc*

Le compas de réduction s'emploie avec avantage lorsqu'on a à réduire dans le même rapport un grand nombre de lignes , parce que la disposition donnée à l'instrument pour la première de ces réductions demeure la même pour toutes les autres.

445. il. On a construit sur le même principe un instrument d'un usage beaucoup plus général, nommé compus de proporHen* Il se compose de deux règles d'égale longueur, réunies par une charnière, dont le centre est le pohit de concours des bords Intérieurt OA et OB des deuk règles (Ug. 12î). Ces deux bords sont divisés eh un même nombre de parties égaleSi

Supposons qu'il s'agisse de trouver une U^m dofU ta longueur toit à une longueur donnée comme 3 est d 10. On ouvrira le compas Jusqu'à ce que la dis-* tance des deux points marqués 10 soit égaie à la longueur donnée , ce dont on s'assurera à l'aide du compas ordinaire ; la distance des deux points marqués 3 sera alors égale à la longueur cherchée; car les côtés de l'angle ÂOB étant divisés eu parties preportionneUes par les droites (8....8) et (10....10), ces droites sont parallèles (I4#), et par conséquent (443) proportionnelles elles-mêmes aux distauces 0.3 et O.iO, c'est-à-dire aux nombres 3 et lO.

Le même procédé servu*ait à divUer une longueur donnée en parties égales.

Supposons qu'il s'agisse de diviser une longueur donnée en deux parties qui soient entre elles comme lès nombres 8 el 7f la plds petite des deux parties devra être à la ligne eutière comme 3 est à 3 -h 7, ou comme 3 est à lo ; en sorte que ce probième rentre dans le précédent.

S'il b'agissait de diviser une longueur donnée en trois parités proportionnelles aux nombres 3 , 4 et ô , la plus petite serait à la ligne euiière comme 3 est à 3^4 ^ 5^ ou comme 3 est à 12; la moyenne serait à la li^ue entière comme 4 est à 12; la plus grande serait à la ligne eutière comme 6 est à 12. Kn sorte que le probième rentre encore dans le cas précédent.

Ou voit que le compas de proportion sert à résoudre généralemeht ce problème : X^tvùer une longueur donnée en parité» proportionnelles à des nombres dofinifj, pourvu que la somme de ces nombres n'excède pas le nombre de divi-* sions tracées sur le bord de chacune des deux régies.

146» m. Lorsqu'on a l diviser une ligne très-petite êb uh grand nombre d«

pan&fti êfiiàei» leé pfikséMft lAdtquéft Juiqy'tei m pmm tilus Itoê Mirt6yé8, parc* i|u« Vépatostour même an points de iliYisioii suffit alors i^iir romlf o (MM diylslons eoaCùseo. On a rteours dans ce cas an mof en sui?ant«

Supposons quli s^agiwe, par exemple, d'apprécier les dixièmei de la longueur ÂB (fig. 128). sur uâe droite quelconque AO, oll porte 10 parties égales; on tiré BD, et par tous les points de division 1 ) I » 8 , etc., de AÔ, on Mène des parallèles à AB. U résulte du théorème démonU^ au n* 44S, qu» la ligne (lu..i) est le dixième de AB, que la ligne (2....2} en est les deux dixièmeSi la ligne (à....a), les trois dixièmes, et ainsi de suite.

Ce moyen est celui qu'on emploie dani la êbAstmetiott déft ithèUtiê. Ofl nomme ainsi toute droite divisée en parties égales à une unité de mesure qUèl» conque» soit généralement adoptée, soit purement eonTentiennelle. Dans le lerer des plans, dans le tracé des cartes, dans les épures d'architecture, dans le dessin des machines, etc., on emploie constamment de semblables échelles auxquelles on rapporte toutes les lignes du ^lan du du dettin; et le ttoyèd précédent permet d'apprécier de très-petites parUes de Tunilé adoptée.

Soit AB ^§g. 129) cette unité} et soient BG , CD, etc. , Une suite de loaguenri égales^ AB. Élevons AA' perpendiculaire à AB; portonfr-y 10 longueurs égales. Par le point À', extrémité de la 10* longueur, et par tous les points de division de AA', menons des parallèles à AD ; puis, par les points B, G, D, etc., des parallèles à AA'i Divisons AB en 10 parties égaies ; Joignons le point A' au point de division 1 ; et par tous les autres points de division , menons des parallèles à A'i. U est facile de voir que AB étant égal à A'B', attendu que les deux parallèles AA' et BB' sont partout également distantes , et les 9 premières divisions de A'B' étant respectivement égales aux 9 dernières de AB» comme parallèles com|»riaes entre parallèles, A'B' se trouvera partagé en 10 parités égales. Les parties de parallèles comprises entre IB et Bff^ représentent les dixièmes delB't et par conséquent les cenlièmes de A'B' ou de AB.

Pour mesurer à cette échelle une longueur prise au compas, on la porte sdr l'Unë des parallèles à AD, de manière que lés deux pointée du tompas ooldcldent sensiblement avec deux peints de division » N et M , paf exemple. On voit que celle longueur se compose, i* de K. 6, ou 3 unités; T de MP, ou 3 dixièmes; 3* de P. 6, ou 6 centièmes; en soMe que l'expression de cette longueur est 2,36.

On verrait de même que l'expression de la longueur ST est 3,68; et ainsi des autres.

Lorsqu'une longueur est exprimée en unités et parties d'unité de réchellei on peut semblablement prendre sur cette échelle une ouverture de compas égale à cette longueur.

147. Théorème. Deux parallèles AB, CD (fig. 130)ldnf âiviséeê m parties ffroportionnelles par wie sérié de sécantes qUêUimques OC, 01^ OH^ OD, issues d'un même point 0.

En efiet, soient À, E, F, B, les points où ces sécantes reûcdfltrefit la droite AB, on aura ( £49) 2

C:1:A£::IO:ëO, et 10 :£0::IH:EF; par conséquent, à cause du rapport commun, C1:AE::IH:EF', ou Cl:m::AE:EF. On démontrerait de môme qu'on a IH : EF :: HD : FB, ou IH : HD :: EF : FB.

CoROLLAi&B. Le théorème subsisterait encore si le point 0 était situé en dedans des parallèles, comme Tindique la seconde figure ; seulement les parties de AB se trouveraient disposées dans un ordre de |;Tandeur inverse de celui des parties de CD,

68 PRBMlËaE PAATUE.

Application. Ce théorème fournit un moyen commode de diviser une ligne donnée en parties proportionnelles à des lignes données. Soit Âfi (fîg. 130) la droite donnée ; menons-lui la parallèle CD. Prenons les longueurs CI, IH, HD, égales aux lignes données; joignons CA et BD, qui se coupent en un point 0. Tirons 10 et HO, qui couperont AB aux points E et F ; le problème sera résolu; car, d'après le théorème précédent, la droite AB sera divisée en parties proportionnelles aux lignes CI, IH, HD, c'est-à-dire aux lignes don-

148. Lorsque deux droites AB et CD (flg. 131 ) font respectivement avec les côtés OA et OB d'un angle AOB, des angles OAB et ODC égaux, ces droites sont dites anti-parallèles.

Pour justifier cette dénomination , il suffit de remarquer que, si l'on retournait la figure COD sur elle-même , de manière que OD vînt prendre la position Od , et OC la position Or, l'angle Ode étant le même que ODC, serait égal à OAB ; et, comme ils ont la position de correspondants dans la première figure, ou d'alternes- internes dans la seconde, les droites dcei AB seraient parallèles (90, Bem. U).

149. Thborèmb. Lorsque les côtés d'un angle 0(fig. 131)50ii^ coupés par deux droites anti-parallèles, KRet CD^ les distances OA, OB, OC, OD, sont vay^vsemeni proportionnelles; c'est-à-dire qu'on ûOA:OB::OD:OC.

En effet, si l'on retourne la figure COD sur elle-même, comme nous l'avons indiqué tout à l'heure, les droites AB et cd étant parallèles, on aura (157, CoroU. II) :

AO:OB::Od:0<?.

Mais on peut remplacer Od et Oc par leurs égales OD et OC, et il vient: