CHAPITRE IX

PEg TKA1ISYMBAI.MH.

ISA. On donne, en général, le nom de trannersàlê, ^ toute droite qui coupe plusieurs autres droites. Quand les droites coupées par la transversale sont parallèles , nous ayons vu qu'on la désig;ne plus particnUèrement sous le nom de sécante : il ne s'agira, dans ce chapitre, que des transversales proprement dites, c'est-à-dire de celles qui rencontrent plusieurs autres droites non parallèles. Nous nous servirons du mol segment pour désigner une portion de ligne droite.

IS4. TRÉoatifB. Si trois droites qui se coupent, AB, AD, BD (flg. 132), sont rencontrées par une transversale da, aux points à,h,n, de tnanière à former les six segments dA, dB, bA, hD, àB, aB, les produits des segments s^rés sont égaux, et Von aura :

AbxBdxDa=aBxbDxdA.

Pour le prouver, menons BI parallèle à AD; on aura , en vertu du théorème du n* 443,

Bl:Ad::Bd;dA, d'où Bl=^i^.

En vprtu de ce même théorème, on aura aussi

BI:&D:;aB;Da, d'où BI=^^".

Égalons ces deux valeurs de BI, et réduisons^Ies au même dénominateur ; il Tiendra

A* X BrfxD* iP X m% X dk

JÂXbm MXD« "•

Or, deux nombres fractionnaires égau^, dont les dénominateurs sont égaux , doWent avoir même numérateur ; il faut donc qu'on ait

AbxBdxDa = bDxaBxdA,

c'est-ànlire que si l'on fait les produits des segments qui n'ont aucune extrémité commune, ces produits seront égaux.

Remabqde. Si l'on a soin de mettre, comme nous l'avons fait, à llntersection de la transversale avec chacune des droites données , une lettre semblable à celle qui occupe le sommet de l'angle formé par les deux autres , l'expression de ce théorème offire, quant aux lettres, une symétrie remarquable , qui peut aider b le retenir.

iS2. Application. On pourrait, en s'appuyant sur ce théorème, calculer ap^ proximativement la distance d'un point A (flg. 133), donné sur le terrain, à un point inaccessible B. Pour cela , faisons planter un jalon en A , un second jalon en C, sur le prolongement de BA, un troisième en un point quelconque D, pris dans la campagne , et accessible des points A et C. Faisons planter un quatrième jalon en un point quelconque £ de la ligne DA, et un cinquième en F, à llntersection des droites BE et CD.

En considérant BF comme une transversale , par rapport aux droites BC, AD et C3) , on aura , d'après le théorème précédent :

BCXDFXAE=BAXCFXDE, d'où BC = BAxS5îî-

Les lignes CF, DF, DE, AE, étant supposées accessibles, on pourra les mesurer, et la quantité qui multiplie BA dans l'égalité précédente pourra être réduite en un nombre que nous représenterons par n. On aura donc BG=:BAxf»«

79 raiWkM HITUi

Mais on a aussi BG=BA + AG. Donc

BA><n==Bi^fAG, d'où, en retranchant de part et d'autre BA ,

BAxn-?As=AG fiU BA>^(n-i)=AC, on enfin BA=;^.

U U6««AGpailtMrei|ie8wi$4i H**») e«UllO<milMAUni«ri«uQqpnBue||9ut SuppoiPim, par 9iimplA, qukia ait irouvi

ePssSOVS; DP=:8t-,lT; DE=4î-,ji4î A?=21-,95, et AC=40-,?0, il en résultera ,j==||xJB|^|^-i^45. çin-l=p,49; puis 8A = ^|fi=82-,(H.

lUvAiOVK* n est bon toutefois de remarquer que, pour que ee procédé conduise i une approximation suffisante , il fout que les mesures soient faites avec pne très-grande précision; car de petites erreurs sur ces mesures pourraient , par suite des multiplications à effectuer, en produire une asseï grande sur la distance calculée.

4 $3. Théorème. Si trois droites Ap, AQ, BD (fie, m)se coupent ^ et que par un point intérieur 0 et par les sommets A, B, D, on mène des lignes A^, Bb « Dd, qni déUrminent ^^f les premières drpites les six s^^jniients Ab, bD, Da, aB, Bd, dA; les produits des segments séparés seront égaux, et l'on aura

AbxBdxDa=aBxbDxDa.

En effet, si Ton considère la ligne Dd comme une transversale par rapport ^m trois droites AB , Bb , Ak , on aura , en vertu du théorème n* III , dAx^D><QB = Bd><Qb^AD.

De même , si Ton considère Ist ligne Aa comme unç transversale par fapnprt aux trois droites BD, Bè, bD, on auft

Ab X Do X OB=:aB X Ob X AD.

Divisons ces deux égalités membre à membre , et supprimons les facteurs communs au numérateur et au dénominateur de chaque membre résultant, il restera

Réduisons au même dénominateur; les numérateurs devront être égaux, et Toq aura ^

AbxDaxBd=aBxdAxbD, ce qui revient è l'énoncé du théorème.

Corollaire I. 11 suit de là que si l'on avait dA==Bd et Da=raB, on devrait avoir aussi Ab=bD.

Corollaire !!. Si l'on avait simplement Ab=bD, il en résulterait Do X Bd=aB X dA , d'où Ton tire la proportion Do : aB :: dA : Bd, c*esH-dlre que si l'op joignait da, cette droite serait parallèle à AD en vertu du théorème dun*l4«.

IS4. Le théorème précédent subsisterait encore si le point 0, au lieu d'être Intérieur par rapport aux droites AB , AD , BD, leur était extérieur, comn^ç l'Indique la figure 135. Les six segments à considérer seraient alors Ad. Bd, Ab , Db, Ba, Da, c'est-à-dire toujours les distances des sommeU A , B, D , aux points où les trois droites données AB, AD, BD, sont coupées par les trois droites OA, OB, OD issues du point 0. En effet, en considérant Dd comme une transversale par rapport aux trois droites AB, Bb , Ab , on a (181) AdxDbxOB = Bdx;ADxOb;

* ' AJ^B(i^08sA»«lfciH0t,

9Wiioiit fM ésalîMf ««lilbM « membre, #« lupiiPimam Im flii?tfiii« eo««v«i au numéntewr «t «u dtofwwnleuf da eiuiqua mtmbrf fisuUant , u rNUra

RéduiMQi «^ m^me dénamlnatturi 1m numéraUun ëevronl i\M ég^UK, <l

Von aura

e*ttl4HliM qu'il y a encore égalité enlre les proëuiU des segments séparés.

IIS. 8eient AB et AG (flg. Ue) deux droites quelconques <iui se coupent. Par on point extérieur M, menons deux nouTelles droites MG, ME, qui coupent les premières aux points B , G et D , E. Joignons ces points deux ^ deux r^cfpfofummi, e'e8t-ii*dire tirons BB et DC, qui se couperont en un point 0. Enlln joignons AO, et prolongeons eelte droite jusqu'à la rencontre de MG en I.

fti Von considère ME comme une transversale par rapport aux trois droites AB, AG,BG,enaura(lll)

AE ;»< CM )< IID =7 AD >; MB ^ CE.

Us droites AI , B^, CD ^tant menées fi'po ppipt InMrieur 0 , ^^Jf. somvels A , S.C.onavraUSi)

AExCIxBDsADxBlxGE.

Divisons ces deux égalités membre h membre . et supprimons les fticteurs eonmuns au numérateur et au dénominateur de chaque membre rés^ltapt, il restera

g = 5, d'où CMxBI=MBxC!.

M droite CM sa troiive donc divisée e^ trois segments tels que le produit de la ligne eolkère CM , par le segment moyen BI , est ég^l aq produit des segments extrêmes UB et Cl ; ce qu'on a Tbabitude d'exprimer çn disant que eette droite est divisée harnxoniquement aux points B et 1.

iU. Les disUnces qui dépendent des points D et E pe figurent pas , comme on jo'it, dans le résuUat précédent, en sorte que ce résultat serait le même, quelle que fût la droite ME , pourvu qu'elle passât par le point M. U en résulte que si Ton fait varier la droite U^, le poifit Q variera, mais demeurera constamment sur la droite AI.

4S7. Au lieu de considérer MK comme une transversale par rapport aux droites AB, AG, BC, nous aurions pu considérer MC cqvm^ UB9 Uan^Y^rsalç par rapport aux droites AD, AE , DE; nous aurions eu

AGxDBxME = ECxAp^DM.

Vais les droites OA, OD , OE étant menées du point 0 aux sommets dai angles form^ par les trois droites AD, AB, DE, on a aussi (454) AGxDBxHB^EGxABxDH.

Oivisotts membFO b membre ces deux égalités , et supprimons les facteurs communs au numérateur et au dénominateur de chaque membre résultant , U reste

ÎS=^, d'où MExDH=DMxHE;

c*est-à-dire que le produit de la ligne entière ME, par le segment moyen DR , est ^1 au produit des segmenU extrêmes DM et HE; en d'autres tenues, la droite ME est divisée harmoniquement aux points D et H. 11 en serait évidemment de mémo île loutf autre droite menée par le poipt 11 > puisque ME ^^^ quelconque.

Les droites menées par le point M forment ce que l'on nomme un faisuou harmonique, dont le point M est le pôle^ et la ligne AI se nomme la polaire.

458. Puisque ME est divisé liarmoniquement aux points D et H, menons par le pôle M une nouTelle droite MN (flg. 137); nous pourrons appliquer aux droites ME et MN tout ce que nous avons dit des droites MG et ME (ISS) ; en sorte que si nous joignons réciproquement les points L , N , D , E par les droites LE et ND, la droite AS, qui Joindra leur poinl de rencontre au point A, devra passer par le point H , et conséquemment aussi par le point I. Le point de concours S des deux droites LE et ND se trouve donc sur la polaire.

IS9. Réciproquement, si, après avoir déterminé la polaire AI, on prend un point quelconque S sur celte droite , que Ton tire par ce point les droites DN et LE , et que l'on joigne NL , le prolongement de cette dernière droite ira passer par le pôle M.

Car s'il n'y passait pas, et qu'en joignant les points M et N, la droite de jonction coupât AB en un point difiTérent de L, ce point et le point E détermineraient une droite qui couperait DN sur la polaire (4S8). Or, DN a déjà le point S commun avec la polaire , et ne saurait en avoir d'autres; donc la droite qui joint M et N ne peut couper AB qu'au point L. Donc la droite NL, prolongée, doit passer par le point M.

i6#. Si par le point M on mène les droites MBC , MDE , MNL , que Ton joigne BE et DC qui se coupent au point 0, puis DN et LE qui se coupent au point S , la droite OS, qui joint les points de rencontre 0 et S , passera par le point A. Car si l'on joignait OA, cette droite serait la polaire , et les lignes LE et DN doivent se couper sur cette droite (158); or, elles se coupent au point S, et ne peuvent avoir d'autre point commun; donc le point S est situé sur OA; donc aussi le point A est situé sur OS.

461. On peut construire la polaire beaucoup plus simplement que nous ne l'avons fait plus haut.

Soient AB et AG (flg. 138) deux droites qui se coupent, et M un point extérieur considéré comme pôle. Menons MB parallèle à AG, et prenons sur son prolongement BI égal à MB ; puis joignons AI. Je dis que cette droite sera la polaire.

Pour le démontrer, il suffit de faire voir qu'une droite quelconque ME menée par le pôle est divisée harmoniquement aux points D et H par les droites AB et AI.

Or, si l'on considère AB comme une transversale par rapport aux trois droites AI, ME, MI, on aura (fSf)

AHxDMxBI = AlxDHxBM, ou , en supprimant de part et d'autre les facteurs égaux BI et BM ,

AHxDM = AIxDH [1];

mais les droites AI et ME étant coupées par les parallèles AG et MI, on a aussi (437)