AI : AH :: ME : EH

d'où Al X EH = AH X ME [2].

Multipliant membre à membre les égalités [1] et [2] , et supprimant les facteurs AI et AH, devenus tous deux communs aux deux membres, il restera DMxEH = DHxME.

Ainsi , la droite ME est divisée de telle sorte , que le produit des segments extrêmes est égal au produit de la ligne entière par le segment moyen; en d'autres termes, elle est divisée harmoniquement.

Donc Al est la polaire.

Remarque. On pourrait tirer de ce qui précède plusieurs conséquences curieuses; mais ce que nous avons dit peut suffire aux applicalions.

GÈOUÈrniB PLANE. 73

Applications de la théorie des tnasTeraales.

* 16). Les propriétés des transversales fournissent plusieurs applications utiles.

Dans les travaux graphiques, on a souvent besoin de mener par un point donné une droite qui concoure avec deux autres droites^ et il peut arriver que le point de concours soit situé hors du cadre de l'épure , c'est-à-dire hors de la feuille sur laquelle on opère. La considération des transversales permet de lever celle difficulté.

SoitO (fig. 137) un point donné par lequel il s'agit de mener une droite qui concoure avec deux droites données GN et BL. Par le point 0, menons deux droites quelconques CD et EB; joignons leurs extrémités par des droites CB et £D, qui, prolongées, iront généralement se couper en un point M (on pourra toujours choisir ces droites de manière que le point M soit situé dans le cadre de l'épure). Tirons par le point M une droite qui coupe BL en un point L et CN en un point N ; joignons EL et ND qui se coupent en un point S. Enfin , tirons OS, qui &era la droite demandée; car, d'après ce qui a été dit précédemment (4M), les droites MC, ME , MN forment un faisceau harmonique, dont M est le pôle et OS la polaire. Donc OS , BL et GN doivent concourir en un même point.

i(>3. Lorsque le point donné est extérieur aux droites données, il faut opérer d'une autre manière.

Soient t9 (fig. 137) le point donné, etBG, DE les droites données. Par le point N menons une droite quelconque GÂ, puis menons une seconde droite quelconque BDA. Joignons BE et DC qui se coupent en 0 ; tirons OA. Joignons DN qui coupera OA en un point S; tirons ES, qui viendra couper BA en un point L ; enfin , tirons NL , qui sera la droite demandée. Car, d'après la construction , le point de rencontre des droites données BG et DE est le p61e qui correspond à la polaire OA; les trois droites BG, DE, LN forment donc un faisceau harmonique et concourent en un même point.

IM. Ces constructions peuvent être pratiquées avec avantage sur le terrain. Supposons , par exemple, que GA et CB (fig. 139) soient les directions de deux allées qui concourent au centre G du rond-^oinf d'un parc , et qu'il s'agisse d'en ouvrir une nouvelle dont la direction soit assujettie à passer par un point donné 0. Pour tracer la direction de cette allée au travers d'un massif d'arbres qui empêchent d'apercevoir le point G du point 0 et vice versa, il faudra recourir à la construction du n"* 462 : on aura , à cet effet, 9 jalons à planter. Afin d'éviter les retlites, nous avons numéroté sur la figure les points où ils doivent être placés, dans l'ordre que nécessite la construction. Les jalons l et 9 détermineront la direction cherchée.

415. On peut se proposer de trouver un point sur le prolongement d'une droite inaccessible : on a recours pour cela à la construction du n* 463. Soi AB {^. 140) la droite inaccessible , déterminée seulement par deux points visibles À et B. Faisons planter dans la campagne un jalon quelconque 1 ; puis sur les directions A.l et B.l , marquons par des jalons les points 2 et 3, choisis arbitrairement , mais de manière cependant que la droite déterminée par ces deux points rencontre le prolongement de AB dans les limites assignées k l'opération. Puis faisons planter successivement : le jalon 4, à l'intersection des droites B.2 et A.3; lé jalon 5, en un point quelconque de A.l ; le jalon 6, à l'intersection des droites 5.3 et 1.4; le jalon 7, à l'intersection des droites 1 .3 et 2.6 ; enfin le jalon 8, à llntersection des droites 2.3 et 5.7. Le point déterminé par le jalon 8 sera le point cherché ; car, d'après la construction , la droite 4.1 est la polave, et le point 8 est le pèle du faisceau harmonique A.8, 2»8, 5.8.

Cette construction trouve son application dans l'attaque des places fortes , lorsqu'on veut établir une batterie qui prenne en flanc l'une des batteries de la

7k nwitn FAUT».

place. H est indispensable alors d'avoir un point situé sur le prolongement du front de la batterie ennemie. Oii utilisa clans çç c^ Içs iHlQns tracés sur le terrain par les boulets de la place. Si AB élail le front de la batterie dont il est question, op pourrait choi^r les lignes 41 eUi3 parRil Içs |iUQn$ qu*ont t^çés les bouleU partis du point A, et 1^ çlroitesB,! et Q,|, parmi WW qu'ont trftcés les boulets partis di| point B,

166. En répétant cette même construction , on peut (déterminer àew points sur le prolongement d'une 4rolte , e( obtenir ainsi le moyen de la prolonger réellement. Les jalons 1 et 3 qui ont servi à la première opération peuv§n( encore servir à la seconde.

On a recours ^ ce procédé lorsqu'il s'aglL par exemple, de prolonger une roule au delà d'un obstacle momentané , tel qu'une habitation à démolir, ui\ bois à percer, etc., et que l'on a intérêt à ne point djfrérer le^ trf^v^ux.