CHAPITRE X

PEOPRlÉTéa DV CKECItB |UBLÂT1TBS ^V^ U^VBS PliOFO%TIO]||ipLL|t«,

167, Théorèmi. Si deux cardes ÀB et CD(flg. Ui)se coupent dans un cercle, leurs parties sont récif toq^cmeni proj^orticnnelles , <?//'o»a AO:OD;:OC;OB.

En effet, joignons AD et BC. Les angles QKD et OCB étant égaux, comme ayant tous deux pour mesure la moitié de l^arc BD, les droites AD et BC sont anti-parallèles. On a donc ( 149 ) : AO:OD::OC:OB.

CoROLLAiRV. Si Ton mèqe un diamètre CD (fig, 43) perpendicu* laire à une corde AB, ce diamètre partage cette corde en deux parties égales AO et OB. En vertu du théorème précédent, on a OD : 0 A : : OB : OC , ou OP ; OA : : OA : OC ; c'est-à-dire que la perpendiculaire abaissée d*un point d^une circonférence sur son diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segments de ce diamètre,

468. Problème. Trouver une moyenne prc^rtionnelle entre deux longueurs données.

Sur une droite indéfinie portons à la suite Tune de Tautre les longueurs AB et BC (flg. 143) , respectivement égales aux longueurs données. Sur AC comme diamètre décrivons une demi-circonférence. Au point B élevons BD perpendiculaire à AC ; cette perpendiculaire sera la moyenne proportionnelle demandée, en vertu du corollaire précédent.

i69. Théorème. Si par un point 0{^gnHi) pris hors d*un cercle^ on mène dettx sécantes OA et OB^ les sécantes entières seront récW proquement proportionnelles à leurs parties extéheures; et l'on atiraOA:OB;:OD:OC.

Bâ p9^ jQîfliKmi AS pt CP. l«>Qfii« îDftOfît CDB «y wt pour m«« sure la moitié de Tw^ CAB, î'aQfle ODC, qui Mt 9on iuppiâmdPt, I pour mesure la poitié 4a Tare restant CDB. Mais Tangle 04B a aussi pour mesure la moitié de Tare CDB : les angles OPC et OAB sont donc égaux ; et le^ droites CD et AB sont anti-parallèles. Il en résulta la proportlop ( 140)

OÀ;0B::0D:0C.

170. TH]^oiiiMB. Si par un point 0 (flg. 145) pris hors d'un cercle^ on mhie une tangente OA. et une sécante OB^ la tangente est tnojfenne proportion^efle entre la sécantes entière et sa partie extérieure.

En effet, joignons ÂC et AB. L'angle DAG, formé par une tangente et une corde aboutissant au point de tangence, a pour mesure la moitié de Tare AC, sous-tendu par cette corde. L'angle inscrit OBA a la même mesure. Donc les angles OA.C et OBÂ sont égaux, et les droites Â.G et ÂB sont anti-parallèles. H ei^ résulte la proportion (i40)

0B:OA::0â:OC.

1 71. Lorsqu'une droite AB (%. t46) est partagée m uq point C» de telle manière que le plus grand segment AC soit moyen proportionnel entre |e plus petit BC, et la ligne entière AB, la droite est dite partagée en moyenne et extrême raison. Cette déuûruiuatioQ, consacrée par l'usage, malgré son défaut de précision et de clarté, provient de ce que dans la proportion AB : A.C :; AC : BC , les deux segments CB, AC sont Tun extrême et Tautre moyen. I^e mot ra»50f| ^st pris ici dans le sens de rapport.

Nous aurons bientôt besoin de savoir effectuer ce genre de partage. Voici le moyen le plus simple d'y parvenir.

A Tune desextrémité^ de la droite à partager, élevons la perpendiculaire BO égale ^ la ipqitié de AB. Du point 0 comme centre, avec OB pour rayon , décrivons une circonférence , et tirons AO , qui coupe cette circonférence aux points I et D. Enfin prenons AC=Ai. La droite AB sera partagée au point C en moyenne et ev tréme raison.

Car la droite AB étant perpendiculaire à Textrémité du rayon OB, est tangente à la circonférence; d'ailleurs AD est une sécante; on a donc , en vertu du théorème précédent , AD : AB :: AB : AL On en tirç