AD— AB:AB::AB— AI:AL

Or, ID étant le double de OB, est précisément égal k AB; ainsi AD-T-AB est la même cliose que AD— W, ou que Aïi ou que ÀC. Dô plu^» Afr^AI revient à A^AC, ou à BC. I^a praportion ci-des-

SUS peut donc s'écrire ÂC : AB :: BC : ÂC, ou, en renversant Tordre des termes dans chaque rapport, AB : ÂC : : AC : BC.

179. Problèhb. Mener une tangente commune à deux circonférences données keth (fig. 147).

Supposons d'abord les rayons inégaux. Tirons deux rayons parallèles AB eiah. Joignons B6 qui, suffisamment prolongé, rencontrera en un point 0 le prolongement de la ligne des centres ka ; car autrement AB et aft seraient égaux (154). Par le point 0 menons une tangente OT à la circonférence A; cette droite sera aussi tangente à la circonférence a.

En effet,àcausedes parallèles AB et a6,onaOA:Oa::AB:a6 (145). Si Ton mène au point de tangence T le rayon AT, ce rayon sera perpendiculaire à la tangente OT; menons aussi at perpendiculaire à cette tangente , et par conséquent parallèle à AT , nous aurons OA:Oa::AT:a^. Cette proportion ayant avec la précédente un rapport commun, on en déduit AB : a6 :: AT : at. Or, dans cette dernière proportion les antécédents sont égaux comme rayons d'un même cercle; il faut donc que l'on ait aussi ah=at. Le point t est donc sur la circonférence a, et la droite OT est perpendiculaire à l'extrémité du rayon at, c'est-à-dire qu'elle est tangente à la circonférence a.

Remarque I. Par le point 0 on peut mener deux tangentes à la circonférence A, qui toutes deux sont communes aux deux circonférences A et a.

Reharque II. Au lieu de mener les rayons AB et ah dans le même sens, on peut les diriger en sens contraire comme l'indique la figure 147 bis. Ladoite B6 coupe alors la ligne des centres Aa entre les points A et a ; et l'on obtient ainsi deux nouvelles tangentes communes.

On peut donc mener à deux circonférences données quatre tangentes communes, deux extérieures et deux intérieures.

Remarque IIL II peut arriver que le point 0 (fig. 147) soit situé à une grande distance des centres des deux cercles donnés, et tombe ainsi hors de la surface sur laquelle on opère. On a recours alors à la construction suivante.

Du point A (fig. 148) comme centre, avec un rayon égal à la différence des rayons des cercles donnés, décrivez une circonférence; par le pointa, menez-lui une tangente am. Joignez le point A au point de contact m, et prolongez la ligne de jonction jusqu'en T; menez at parallèle à AT , et joignez T^, qui sera une tangente commune extérieure.

En effet, par construction, mT est égal et parallèle à at\ donc aussi T^ est parallèle à ma (155) : mais ma est perpendiculaire

GÈOUÈTTLIE PLANE. 77

à km (iOS); donc T^ est perpendiculaire à AT, et par suite à sa parallèle ai; donc enfin T^ est tangente aui deui circonférences (iW).

Remarque IV. On démontrerait facilement que, si les deux circonférences données sont égales, les deux tangentes communes extérieures sont parallèles à la ligne des centres, et que les deux autres se coupent au milieu de cette ligne (fig. 149).

Les points de contact des tangentes communes extérieures sont alors les extrémités des diamètres perpendiculaires à la ligne des centres.

Revarque y. Lorsque les circonférences données sont extérieures l'une à l'autre, il y a, comme on vient de le voir, quatre tangentes communes, deux intérieures et deux extérieures (fig. 147, 148 et 149).

Lorsque les circonférences sont tangentes extérieurement , les deux tangentes intérieures se confondent en une seule et même droite perpendiculaire à la ligne des centres; il n*y a donc plus que trois tangentes communes (fig. 150).

Lorsque les circonférences sont sécantes, il n'y a plus que les tangentes extérieures (fig. 151).

Lorsque les circonférences sont tangentes intérieurement, ces deux tangentes extérieures se confondent en une seule et même droite perpendiculaire à la ligne des centres ; il n'y a donc plus qu'une tangente commune (fig. 152).

Enfin, îl n'y aurait aucune tangente conmiune possible , si Tune des deux circonférences était intérieure à l'autre.

1 73. Applicatioiis. On a besoin de mener des tangentes communes à deux circonférences, lorsqu'on veut dessiner une corde qui s'enroule sur plusieurs poulies (ûg. f 53j. Si la corde doit être extérieure d'une poulie à l'autre, comme cela a lieu de A en B, on mène une tangente commune extérieure aux circonférences des gorges des deux poulies, et l'on donne à la corde l'épaisseur convenable, en menant une parallèle à cette tangente. Si la corde doit être inté-rieure d'une poulie à l'autre , comme cela a lieu de B en G, on ne peut plus agir de même. Du centre de la poulie G, avec un rayon égal au rayon de la gorge de cette poulie, augmenté de l'épaisseur de la corde, on décrit une circonférence; on mène une tangente commune intérieure ^ cette circonférence el à celle de la gorge de la poulie B ; on donne ensuite ^ la corde l'épaisseur convenable, en menant une parallèle à cette tangente.

On opère d'une manière analogue pour dessiner la covrrote sans fin <pii com^ muoique le mouvement d'une roue à une autre (tig. 154); soit dans le môme sens, comme llndique la première figure : dans ce cas, la courroie est exté^ rieure; soit en sens contraire, comme l'indique la seconde figure ; dans ce cas, la courroie est intérieure. Bans Tun et l'autre cas , on raccorde les parties reclilignes du bord extérieur de la courroie par des arcs de cercle décrits du centre de chaque roue.

7S PREMIÈRE PUttlt.

DEUXIÈME SECTION