CHAPITRE PREMIER
MA f RtiJtoLIbS*
174. On donne éb général le nom de figufêplaHé à toute portion de plan terminée par des lignes. On l'applique ensuite par extension à tout assemblage de lignes tracées sur un plan ; mais le litre de cette section suppose le mot figure restreint au sens que nous venons d'in* diquer»
Il faut au moins trois lignes droite^ pour terminer en tous sens une portion de plan. Toute portion de plan terminée par trois lignes droites, telle que ABC (Qg. 155)) est ce qu'on nomme un triangle. Les droites âB, AC, BC qui le terminent se nomment ses côtés; et les sommets A, B, C des angles formés par les oôtés se nomment les sommBtê du triangle.
175. Théorèmb. Dans tout triangle^ lasùmm» des troiê angles équivaut à deux angles droits.
Soit ABC (fig. 156) un triangle quelconque. Par le sommet A menons une parallèle D£ au côté opposé BC. Les angles ABC et BAD sont égaux comme alternes-internes ; il en est de même des angles ACB et CA£. La somme des trois angles du triangle équivaut donc à la somme des trois angles BAD, CAB, CAE, c'estrà^re à deux angles droits ( 56 ).
Corollaire L II résulte immédiatement dé ce théorème que lorsque Ton connaît deux angles d'un triangle , on peut obtenir le troisième. Si Ton tire en effet une droite indéfinie AD (fig. 157); qu'en un point 0 de cette droite on fasse les angles AOB et BOC respectivement égaux aux deux angles connus du triangle; l'angle COD sera égal au troisième angle cherché : car la somme des angles AOB, BQC et COD équivaut à deux angles droits.
11 se pourrait que l'on ne donnât que la valeur numérique de deux des angles d'un triangle , c'est-à-dire le nombre de degrés , minutes et secondes que chacun d'eux renferme; pour déterminer la valeur du troisième, il faudrait faire la somme des deux premiers , et re-*
ÛfiOlâÊTBIE PIAJNC. 99
tiraûcbef eètte iômmê du nombre 1801*, qui exprime lâ vâlôui» de deux angles droitâ. Si Ton savait, par exemple, qu'un triangle â un angle de 13* 17' 49*' et Uû angle de 25^ 38' lâ*, la somme de ceô deux angles étant de 137^ 56' 2^, on en conclurait que le troisième angle du triangle a pour valeur l'excès de 180^ sur cette somme, c'est-àdire 22» 5' 58*.
CoROLUtRË It. 11 résulte eticofe du théol'ème précédent qu'tifi triangle ne peut avoir qu'un seul angle droit. Dans ce cas le triangle est £t rectangle. Le côté ÂC (fig. 158) opposé à l'angle droit d'un triangle rectangle ABC, se nomme Yh^ténuse de ce triangle.
La somme des deux angles aigus équivaut à un angle droit. On dit alors que ces deux angles sopt complémentaires, ou que chacun d'eux est le complément de l'autre.
La t«rme du trianglt rectangle est celle <ltie l'ondoilDe aux équerree pldinetè Les triangles rectangles abondent dans les assemblages de charpente, et notaai->> menl dans les cloisons ou pans de 5oic qui servent à former les distributions intérieures des malsons, et quelquefois même les foçades. On en trouve aussi dans tes lambris das appartements et dans les panneaux des portes; les grillée) les balcons ei autres ouvrages de serrurerie, en offrent aussi de nombreux exemples.
Enfin on fait en Géométrie un usage continuel de ces triangles.
CoROLLAïAB III. Un triangle ne pouvant avoir plus d'un angle droit I il ne saurait, à plus forte raison, avoir plus d'un angle obtus.
ComouàiRB IV. On appelle angle extérienr à uii triangle, un an-« gle tel que kOl (fig. 156) formé par un côté AG^ et par le prolongement CI de l'un des deux autres. Cet angle et l'angle CAD sont égaux comme alternes-internes; or, ce dernier est la somme dei angles BAC et £AD, ou, oe qui revient au même, BAC et CAB. Ainsi Tangle AGI équivaut à la somme des angles BAC et ABC ; c'estrà-dire que tout angle extérieur à nn triangle équivaut à la somme des deum angles intérieurs opposés,
176. Th£Ob£h£. Dans tout triangle ABC (fig. 155)^ chaque côté est plus petit que lu somme des deux autres, et plus grand que leur différence,
La première partie de cet énoncé est évidente, d'après la défini» tion de la ligne droite ; la seconde est une conséquence de la pre* mièire : car, si les trois côtés sont rangés, quant a leur grandeur, dans l'ordre AB, AC, BC, l'inégalité AB<AC-hBG donnera AC>àB— BC et BC>AB— AC; et l'inégalité AC<AB-f BC donnera AB>AC— BC.
CoROLLAilus. On voit que trois longueurs prises au hasard ne sont pas toujours propres à former les trois côtés d'un triangle. Si deux de ces côtés ont I>our longueur 3»» et 2^ par exemple, leur somme
5*" et leur différence 1"" seront des limites entre lesquelles il faudra nécessairement que le troisième côté soit compris.
Pour que trois longueurs puissent former un triangle , il suffit évidemment que la plus grande soit moindre que la sonune des deux autres.
177. Théorème. Si un triangle ACB (fig, 159) a detix côtés égaux CA et CB , les angles CBA et CAB , opposés à ces côtés égaux, sont égaux.
Car , si Ton joint le point C au milieu I du côté AB, la droite IG ayant deux de ses points à égale distance des extrémités de AB , sera perpendiculaire sur cette droite, et les angles CIA et CIB seront droits et par conséquent égaux. Il en résulte que si Ton plie la figure le long de IC comme charnière , le segment IB viendra se rabattre sur le segment lA ; et , comme ces segments sont égaux , le point B tombera en A. Les droites CB et CA coïncideront donc , ainsi que les angles CBI et GAI ; donc ces angles sont égaux.
Remarque L Lorsqu'un triangle a deux côtés égaux, il prend le nom de triangle isocèle. Le troisième côté se nomme la base du triangle , et le sommet de Tangle opposé à cette base est le sommet du triangle isocèle.
Quand on sait qu'un triangle est isocèle , il suffit de connaître Tun de ses angles pour déterminer les deux autres. Si Ton sait, par exemple , que la valeur de l'angle du sommet est de 36^", on en conclut que la somme des deux autres équivaut à 180* moins 36^ ^ c'est-à-^ire à 144'', et comme ils sont égaux, chacun d'eux vaut la moitié de 144*", c'est-à-dire 72r. Si l'on sait, au contraire , que l'un des angles à la base vaut 72"*, on en conclut que la somme des deux angles à la base vaut deux fois 72'», c'est-à-dire 144% et que par conséquent l'angle du sommet vaut 180* moins 144*, ou 36°.
Les frontons de TarchUecture sont des triangles isocèles ; les ifs dont on se sert dans les ilIuminaUons présentent également celte forme. On la retrouve encore dans les assemblages de charpente nommés fermes, qui supportent les combles des édifices , etc.
Remarque II. Un triangle isocèle peut être en même temps rectangle; c'est alors l'angle opposé à la base qui est droit (fig. 160). Dans un triangle isocèle rectangle , les deux angles aigus  et C sont égaux; et comme ils sont complémentaires, c'est-à-dire comme leur somme équivaut à un angle droit ou à 90*, chacun d'eux vaut la moitié de cette somme, c'est-à-dire un demi-angle droit ou 45''.
Remarque III. Lorsqu'un triangle a ses trois côtés égaux, on voit, d'après le théorème précédent , que ses trois angles sont aussi égaux ; chacun d'eux vaut donc le tiers de deux angles droits, ou de 180*», c'est-à-dire § d'angle droit , ou 60°.
Un triançle de cette espèce (fig. 161) est dit équilatéral, à cause
deVégalité de ses côtés, ou équiangle, à cause de Tégalité de ses angles.
On emploie les triangles équilatéraux dans plusieurs espèces de carrelages; nous reviendrons sur ce sujet. Les meubles à trois pieds , tels que les guéridons, sont quelquefois munis d'une tablette inférieure qui sert à réunir les pieds et à leur donner plus de rigidité ; cette tablette a la forme d'un triangle équilatéral.
Remarque IV. La démonstration du théorème précédent prouve en même temps que la droite qui joint le sommet d'un triangle isocèle au milieu de la base est perpendiculaire sur cette base. Et comme par un point extérieur à une droite on ne peut abaisser sur celte droite qu'une seule perpendiculaire , il en résulte que si du sommet d'un triangle isocèle on abaisse une perpendiculaire sur la base, cette perpendiculaire divisera la base en deux parties égales.
178. Thêoe&ms. Dans un triangle quelconque, à un plus grand côté est opposé un plus grand angle.
Soit ACB (hg. 162), un triangle quelconque, dans lequel on suppose àC>>CB. Il en résulte immédiatement que le point C est situé hors de la perpendiculaire élevée sur le milieu I de ÂB , et à la droite de cette perpendiculaire. Celle-ci coupe donc le côté AC en un certain point 0. Joignons OB. Les obliques OA et OB étant égales, puisque leurs pieds sont également distants du pied de la perpendiculaire 01, le triangle AOB est isocèle, et, en vertu du théorème précédent, on a l'angle OBI=OAL Or, l'angle CBI est évidemment plus grand que OBI , qui n'en est qu'une partie ; il est donc aussi plus grand que Tangle OAI.
179. Théorème. 5* deux angles d'un triangle sont égaux, les côtés opposés à ces angles sont égaux, et le triangle est isocèle.
Car, si ces côtés étaient inégaux, les angles opposés seraient inégaux aussi, en vertu du théorème précédent, ce qui est contraire à la supposition,
180. Théorème. Dans un triangle quelconque, à un plus grand angle est opposé un plus grand côté.
Soit, dans le triangle ABC (fig. 155), l'angle C plus grand que l'angle A , je dis que le côté AB , opposé à l'angle C , est plus grand que le côté BC, opposé à l'angle A. Car, si cela n'était pas, il faudrait qu'on eût, ou AB=BC, et alors les angles opposés à ces côtés seraient égaux (177), ou BC>AB, et alors l'angle A opposé au côté BC serait plus grand que l'angle C opposé au côté AB (178), résultats également contraires à la supposition. Donc il faut qu'on ait AB>BC.
181. Théorème. Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont leurs trais côtés égaux chacun à chacun.
Soient les deux triangles ABC , DEF (fig. 163), qui ont AB = 1>E,
82 PBEMIÈRE PABTIE.
AC=DF, et BC=EF. Je dis que ces triangles peuvent coïncider, et sont par conséquent égaux.
Portons, en effet, le triangle DEF sur le triangle ABC, de manière que DE coïncide avec son égal AC , et que les points E et B soient situés d'un même côté de AC. Les côtés £D et BA étant égaux, les points E et B se trouveront à une même distance du point A, et par conséquent sur la circonférence que Ton décrirait du point A comme centre avec AB pour rayon. Les côtés EF et BC étant égaux , les points E et B se trouveront de môme sur la circonférence que l'on décrirait du point C comme centre avec CB pour rayon. Or, deux circonférences distinctes ne peuvent avoir qu'un point commun d'un môme côté de la ligne des centres ; il faudra donc que les points E et B coïncident. Par suitfe , les deux triangles coïncideront dans toutes leurs parties.
Corollaire. Un triangle est déterminé quand on connaît ses trois côtés.
182. Problème. Étant donnés les trois côtés d'un triangle, construire ce triangle.
Soient M , N, P (fig. 164) les trois côtés donnés. Sur une droite indéfinie prenons une longueur AB égale à M; du point A comme centre , avec un rayon égal à N , décrivons un arc de cercle ; du point B comme centre, avec un rayon égal à P , décrivons un second arc de cercle , qui coupera le premier au-dessus de AB en un certain point C; car si les trois côtés donnés remplissent les conditions nécessaires pour former un triangle, la distance des centres AB sera plus petite que la somme des rayons, et plus grande que leur diflférence (i76). Il ne reste plus qu'à tirer CA et CB, et ACB sera le triangle demandé ; car, en vertu de la construction , on a
AB=M, AC=N et BC=P.
Remarque. Les deux arcs de cercle décrits se couperaient également au-dessous de AB en un point C, et le triangle ACB satisferait aux conditions du problème; mais les triangles ACB et ACB sont égaux , en vertu du théorème précédent. On peut remarquer seulement que leurs parties sont disposées dans un ordre inverse; on dit dans ce cas que les deux triangles sont symétriques ou égaux par symétrie.
La position qu'ils occupent sur la figure mérite d'être remarquée: les sommets C et C sont sur une môme perpendiculaire au côté comnaun AB , et à égale distance de ce côté , car , si l'on joint CC, on voit que la droite AB, ayant deux de ses points à égale distance des extréniités de CC, est perpendiculaire sur le milieu de cette droite (7o). Nous verrons bientôt cette particularité de position se généraliser.
GÉOMÉTRIfi PLANE. 63
185. Thsorèmb. Deux triangles sont égaux quand ils ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun.
Soient les triangles ABC, D£F (ûg. 163) dans lesquels on suppose FaDgle À égal à Tangle D , et de plus ÂB=::D£ et AC =DF. Si l'on transporte le triangle DËF sur le triangle ABC , de manière que les angles D et A coïncident, c'est-à-dire que les côtés DE et DF prennent respectivement les directions AB et AC , à cause des égalités ci-dessus le point E tombera en B , et le point F en C ; les deux triangles coïncideront donc dans toute leur étendue, et sont par conséquent égaux.
Corollàirb. Un triangle est déterminé lorsqu'on connaît deux de ses côtés ainsi que Tangie qu'ils comprennent.
184. Problème. Étant donnés deux côtés d'un triangle, ainsi que V angle qu'ils comprennent, construire le triangle.
Soient Met N (fig. 165) les côtés donnés, et K l'angle qu'ils doivent comprendre. Tirons deux droites indéfinies AX , AY , qui fassent entre elles un angle égal à K. Prenons sur l'une AB=M, et sur l'autre AC=N ; joignons BC ; le triangle ABC satisfera aux conditions du problème.
Remarouï. On aurait pu porter la longueur M sur le côté AY, et la longueur N sur le côté AX; mais le triangle résultant eût été égal au triangle ABC , en vertu du théorème précédent.
188. Problème. Étant donnés les deux côtés d'un triangle, ainsi que l'angle opposé à l'un d'eux, construire le triangle.
Soient M et N (fig. 1 66) les deux côtés donnés , et K l'angle opposé au côté N. Traçons d'abord deux droites indéfinies AX et AY, qui fassent entre elles un angle égal à l'angle K. Prenons sur l'une d'elles une longueur AB=M. Du point B comme centre, avec un rayon égal à N, décrivons un arc de cercle, qui coupera généralement AY en deux points C et C. Joignons BC et BC; les deux triangles ABC et ABC' rempliront tous deux les conditions du pro^ bième.
Revarque I. On voit qu'un triangle n'est pas complètement déterminé quand on connaît deux de ses côtés et l'angle opposé à l'un d'eux.
Remarque II. Abaissons du point B sur AY la perpendiculaire BI :
Si le côté donné N était moindre que cette perpendiculaire, l'arc de cercle ne couperait point AY ; ainsi le triangle serait impossible.
Si N était précisément égal à BI , cet arc de cercle serait tangent au point I, il n'y aurait qu'une solution du problème, et cette solution serait un triangle rectangle ABI.
Si N est plus grand que IB , mais moindre que AB , il y a deux solutions du problème.
Si N est précisément égal à AB, Tare de cercle coupe ÂY aux points À et a; ainsi, il n'y a qu'une solution : c'est le triangle ÀBa.
Si N est plus grand que AB , l'arc de cercle coupe AT en deux points C" et C" situés, l'un sur AY lui-même, l'autre sur son prolongement AY'. Il n'y a donc qu'une solution, c'est le triangle ABC"; car dans le triangle KBC'\ ce n'est point l'angle donné XAY qui est opposé au côté BC" ou N , mais bien son supplément XAY^
Lorsque l'angle donné est obtus , il n'y a jamais qu'une solution possible. Nous examinerons tout à l'heure le cas où l'angle donné est droit.
186. Théorème. Deux triangles sont égaux Lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun. (Un côté est dit adjacent à deux angles , quand ces angles ont leurs sommets aux extrémités de ce côté.)
Soient ABC et DEF (fig. 163) deux triangles dans lesquels on suppose AC = DF, A = D, et C=F. Transportons le triangle DEF sur le triangle ABC , do manière que le côté DF coïncide avec son égal AC. Les angles A et D étant égaux, le côté DE suivra la direction AB, et le point E tombera quelque part sur AB. Les angles C et F étant égaux , le côté FE suivra la direction CB, et le point E tombera quelque part sur CB. Le point E devant se trouver à la fois sur AB et sur CB, ne pourra tomber qu'à leur intersection B. I^es deux triangles coïncideront donc dans toute leur étendue , et sont par conséquent égaux.
Corollaire. Un triangle est déterminé lorsqu'on connaît l'un de ses côtés et les angles adjacents à ce côté.
Remarque I. Ces angles sont dits adjacents h ce côté, mais ils ne sont point adjacents entre eux comme les angles supplémentaires que forment deux droites qui se rencontrent.
Remarque IL Un triangle est déterminé lorsqu'on connaît un de ses côtés et deux quelconques de ses angles ; car si ces deux angles ne sont point adjacents au côté donné, on détermine facilement le troisième , et la question rentre alors dans le cas précédent.
t87. Prorlème. Étant donnés deux angles d'un triangle et l'un de ses côtés, construire le triangle.
Si les angles donnés ne sont point tous deux adjacents au côté donné, déterminons d'abord le troisième angle, comme il a été dit au n° I7i$, corollaire L Cela fait, sur une droite indéfinie prenons une longueur AC (fig. 167) égale au côté donné; aux points A et C faisons les angles CAD et ACE respectivement égaux aux angles adjacents à ce côté. Les côtés AD et CE se rencontreront en un certain point B ; et ACB sera le triangle demandé.
Remarque. Pour que le triangle soit possible , il faut que la somme des deux angles donnés soit moindrcque deux angles droits.
GÉOMÉTRIE PtANE. 85
Si les deux angles donnés étaient tous deux adjacents au cdté donné, et que leur somme fût précisément égale à deux angles droits, les lignes AD et CE seraient parallèles (90), et le triangle serait impossible. Il le serait à plus forte raison si la somme de ces deux angles surpassait deux angles droits.
188. Théorème. Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont Vhypoténuse égale et un côté égal.
Soient deux triangles ABC , DEF (fig. 168), rectangles Tun en B , TautreenE, et dans lesquels on suppose AC = DFet AB = DE. Transportons le triangle DEF sur le triangle ABC , de manière que le côté DE coïncide avec son égal AB. Les angles A et E étant droits, le côté £F prendra la direction de BC. Il faudra alors que le point F tombe en C ; car s'il n'y tombait pas , les obliques AC et BE auraient leors pieds inégalement distants du pied delà perpendiculaire AB, et seraient par conséquent inégales, ce qui est contraire à la supposition.
Corollaire I. Un triangle rectangle est déterminé lorsqu'on connaît son hypoténuse et Tun des côtés de Tangle droit.
Corollaire II. Ce théorème peut servir à démontrer que les deux tangentes AI et AI' (fig. 61) menées à une même circonférence par un point extérieur, sont égales entre elles. Car le point 0 étant le centre de cette circonférence , 01 et Or les rayons qui aboutissent aux points de tangence , les triangles AIO et AI'O sont tous deux rectangles, l'un en I et l'autre en V ; ils ont l'hypoténuse AO commune , et les côtés 01 et 01' égaux comme rayons d'un môme cercle. Ces triangles sont donc égaux , en vertu du théorème précédent ; et il en résulte AI = AI'.
180. Problème. Étant donnés l'hypoténuse d'un triangle rectangle et l'un des côtés de F angle droit y construire le triangle.
Ce problème n'est autre chose que celui du n° iOSS, dans le cas particulier où l'angle donné est droit. Le côté opposé à l'angle donné est ici l'hypoténuse. Traçons donc deux droites perpendiculaires entre elles Aï et AY (fig. 169). Sur l'une d'elles prenons une longueur AB égale au côté donné de l'angle droit. Du point B comme centre , avec un rayon égal à l'hypoténuse donnée , décrivons un arc de cercle , qui coupera AY en deux points C et C, situés de part et d'autre du point A. Les triangles ABC et ABC satisferont aux conditions du problème.
Ces deux triangles sont égaux, en vertu du théorème précédent. i90. Théorème. Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal.
Car, comme le second angle aigu est déterminé quand on connaît le premier, puisqu'ils sont complémentaires, il s'ensuit que le»
80 PBEMliîBE PARTIE.
deux triangles ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun , et sont par conséquent égaux (186).
191. Deiuc triangles isocèles sont égaux lorsqu'ils ont un côté égal et V angle du sommet égal, ou un angle à la base égal.
Car, dans Tun ou l'autre cas , ils ont aussi leurs autres angles égaux chacun à chacun (177, Remarque I), et rentrent par conséquent dans le cas du n*" 186.
192. Deux triangles isocèles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale , ou lorsqu'ils ont un côté de l'angle droit égaL
Car ils ont nécessairement leurs angles égaux chacun à chacun (177, Remarque II) , et rentrent encore dans le cas du n"" 186.
195. Deux triangles équilatéraux sont égaux lorsqu'ils ont un côté égal. Cela résulte du théorème démontré au n^" 187.
Des triangles semblables.
• 194. Lorsque Ton ne donne que les angles d'un triangle , ce triangle cesse d*étre déterminé. En effet, les trois angles donnés doivent valoir en somme deux angles droits pour que le triangle soit possible. Si donc on tire une droite quelconque AB (fig. 170), qu'aux points A et B on fasse des angles égaux à deux des angles donnés, le triangle ABC ainsi déterminé satisfera aux conditions du problème ; car son troisième angle C sera évidemment égal au troisième angle donné. Mais de plus, si Ton mène à la droite AB des parallèles quelconques A'B', A"B", etc., les triangles A'B'C, A''B"C, etc. , satisferont également aux conditions du problème; car, d'après la propriété des angles correspondants, tous ces triangles ont leurs angles égaux chacun à chacun. On exprime cette circonstance en disant que ces triangles sont équiangles entre eux.
On voit donc que les angles d'un triangle ne suffisent pas pour le déterminer; il faut, pour déterminer un triangle, que parmi les données se trouve au moins la longueur d'un côté.
Les triangles A'B'C, ABC, A"B"C, etc., qui sont équiangles entre eux, ont en outre leurs côtés proportionnels; car, d'après le théorème démontré au n° 137, on a
