CA' : CA :: CB' : CB, CA' : CA :: CB" : CB

et ainsi de suite ; et d'après le théorème du n^" 143 , on a aussi CA' : CA : : A'B' : AB , C A'' : CA : : A"B" : AB , et ainsi de suite. Cette propriété peut se démontrer d'une manière générale pour deux triangles équiangles entre eux.

195. Théorème. Si deux triangles ABC, abc (fig. 171) sont équiangles entre eux, les côtés opposés aux angles égaux sont pro~ portionnels.

GÉOMÉTRIE PtANE* 87

Soient en effet C^c, CAB=a et CBA==:A. Faisons coïncider les angles CetCy de manière que les autres angles égaux se correspondent; le c^té ab prendra la position de À'B' parallèle à AB; car l'angle CA'B n'étant autre chose que Tangle a , est égal à Tangle CAB ; et puisque les angles correspondants CA^ et CAB sont égaux, les droites A'B' et AB sont parallèles (00). On a donc, en vertu des théorèmes démontrés aux n"^ 137 et I4S,

CA':CA::CB :CB et CA':CA:: A'B'iAB,

ou , ce qui revient au même ,

caiCk:: cb :CB et ca:Ck::ab:kB.

106. Les triangles qui sont équiangles entre eux, et ont par suite leurs côtés proportionnels , sont ce que Ton appelle des triangles semblables. Les côtés opposés aux angles égaux portent le nom de côtés hamoloffues; les sommets des angles égaux sont pareillement des sommets homologties. Le théorème précédent peut donc s'énoncer de cette manière : deux triangles équiangles entre eux sont semblables.

Il est important de remarquer que ce sont les côtés homologues qui sont proportionnels.

107. L'idée de la ressemblance , ou , pour se servir du mot con« sacré en Géométrie, l'idée de lia similitude , nous est familière; et le mot semblable, appliqué à deux figures , nous représente sur-lechamp, et sans aucune étude préalable, deux figures, Tune plus grande , l'autre plus petite , ayant exactement la même forme , c'est-à-dire dont toutes les parties ont entre elles les, mêmes relations de position et de grandeur, bien que cette grandeur varie en passant d'une figure à l'autre.

La considération des figures semblables est une des plus impor* tantes de la Géométrie , et l'une des plus fécondes en applications utiles, comme nous le ferons voir bientôt.

Nous venons de prouver que de l'égalité des angles de deux triangles résulte la proportionnalité des côtés opposés à ces angles. L'égalité des angles est donc un caractère de similitude des triangles. Nous allons en faire connaître quelques autres.

i08. THÉonÈME. Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont un angle égal compris entre des côtés proportionnels.

Soient deux triangles ACB, acb (fig. 171), dans lesquels on suppose l'angle C égal à l'angle c, et tels qu'on ait entre les côtés qui comprennent ces angles la proportion CA : ca :: CB : cb. Prenons sur CA une longueur CA' égale à ca; et par le point A' menons A'B' parallèleà AB. Nousaurons, d'après lespropriétés des parallèles(157) CA : CA' :: CB : CB'. Si l'on compare cette proportion avec la pré-

cédenle, on voit que les trois premiers termes sont les mêmes; il faut donc que le quatrième soit égal de part et d'autre, et que Ton ait CB' = cb. Les deux triangles A'C'B' et aeb ont donc un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun ; donc ils sont égaux (iB5). Mais, à cause des parallèles MV et AB, les triangles ACB et A'CB' sont équiangles entre eux ; ils sont donc semblables, d'après le théorème précédent. Par conséquent , le triangle abc qui est égal à A'CB' est aussi semblable à ACB.

199. Théorème. Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont leurs côtés proportionnels.

Soient deux triangles ACB et acb (fig. 171) tels qu'on ait les proportions CA : ca :: CB : c6, et AB : «6 :: CB : cb. Prenons CA'= ca, et par le point A' menons A'B' parallèle à AB. £n vertu de ce parallélisme on aura