CA:CA'::CB:CB'::AB:A'B

Mais, par hypothèse, on a aussi

CA : ca :: CB : cb :: AB : ab.

Dans ces suites de rapports, les antécédents CA , CB , AB sont les mêmes , et les conséquents C A' et ca sont égaux par construction. I) en résulte que les autres conséquents doivent être égaux deux à deux : savoir, CB'=c6 et A'B'=a6.

Les deux triangles A'B'C et abc sont donc égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Et comme le premier A'B'C est semblable à ABC (195), il faut que le second abc soit aussi semblable à âBC.

Remarque. On voit que , dans les triangles , de la proportionnalité des côtés résulte l'égalité des angles.

200. Théorème. Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont leurs côtés parallèles chacun à chacun.

En effet, soient A, B, C les angles du premier triangle; A', B', C ceux du second; ces angles seront deux à deux égaux ou supplémentaires (94). Or si Ton avait A+A'=180°, B=B', C=C', la somme totale des angles ne serait pas la même dans les deux triangles. Si l'on avait A+A'=180^ b4-B'=180*' et C = C', la somme totale des six angles surpasserait 360^. Il en serait de même à plus forte raison si l'on avait en môme temps A -j- A' = 180°, B + B' = 180® etC + C'=180^.

Donc il faut qu'on ait A= A', B =B', C= C; et les triangles sont par conséquent semblables.

Remarque. Ce sont les côtés parallèles qui sont les côtés homologues , puisqu'ils sont opposés à des angles égaux.

GÊOMÊTBIB PLANE. 89

5K)1. Thèorèvi. Deux triangles sont semblables hrsqti'ils ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun.

Car leurs angles sont alors égaux chacun à chacun , en vertu du théorème du n*" 95. On pourrait faire en effet ici la même obser vation que dans la démonstration précédente.

Remarque. Ce sont les côtés perpendiculaires entre eux qui sont les côtés homologues, puisqu'ils sont opposés à des angles égaux.

212. Applications. L'emploi des triangles semblables permet d'évaluer avec une approximalion suffisante les distances inaccessibles.

]. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'évaluer la distance des points A el B (fig. 1*2}, séparés par un obstacle qu'on ne peut franchir. On choisit sur le terrain un troisième point D, tel que la dislance BD soit directement mesurable. On mesure au graphomètre les angles ABD et ADB formés par la droite BO, que l'on nomme la base de l'opération , avec les rayons visuels BA et DA menés des extrémités de la base au point inaccessible.

On tire entité sur le papier une droite indéfinie sur laquelle on porte une longueur bd qui ait avec BD un rapport connu , qui contienne , par exemple , autant de millimètres que BD contient de mètres. Aux points 6 et d, on fait des angles respectivement égaux à ceux qui ont été mesurés au graphomètre ; on forme ainsi un petit triangle abd semblable au triangle ABD ; car ces triangles son! équiangles entre eux. On mesure ab , et le nombre de millimètres que contient celle longueur exprime le nombre de mètres contenus dans la dislance inaccessible AB. Car, en vertu de la similitude des deux triangles, on a AB : ab :: BD; W. Or BD=Wx lOOO; donc AB = o&X lOOO.

Au lieu de représenter les mèlres par des millimèlres, on pourrait employer toute autre échelle ; mais celle-ci est une des plus commodes et des plus usitées.

II. Supposons mainlenant qu'il s'agisse d'évaluer la dislance de deux points inaccessibles A et B (flg. 173). On trace sur le terrain une droite CD que l'on mesure avec soin; on trace sur le papier une droite cd qui ail avec CD un rapport connu , qui conUenue , par exemple , autant de millimèlres que CD contient de mèlres. On mesure au graphomètre les angles ACD , ADC , et l'on fait sur le papier les angles acd, adc égaux aux angles mesurés. 11 en résulte un triangle aed semblable au triangle ACD; et Ton a, comme on vient de le voir tout à l'heure , AC=ac x 1000.

On mesure au graphomètre les angles BDC, BCD, et Ton fait sur le papier les angles bcd, bde, égaux aux angles mesurés. 11 en résulte un triangle bcd, sembbble au Uiangle BCD; et l'on a BC=r bc x lOOO.

Mais l'angle aeb, qui est la différence des angles acd et bed, est égal à l'angle ACB , différence des angles ACD et BCD. D'ailleurs on a AC : ac :: BC : be. Les deux triangles ABC et abc ont donc un angle égal compris entre des côtés proporUonnels , et sont par conséquent semblables (108). Il en résulte AB: ab :: ACroc; et puisque AC=acx 1000, on a aussi AB=a6xiOOO. Si donc on mesure ab , le nombre de millimètres contenus dans celle longueur exprimera le nombre de mètres contenus dans la dislance inaccessible AB.

203. Le lever des plans offre une application continuelle de la théorie des triangles semblables. Celte opération consiste à représenter en petit la |iosit1on mutuelle des points remarquables d'un terrain. Après avoir marqué sur le plan deux points ^ volonté pour représenter deux des points du terrain , on détermine la position d'un troisième point en le liant aux deux premiers par un triangle, el en faisant sur le plan un triangle semblable. La position de tous les autres points se détermine de la même manière; nous reviendrons en détail sur cesi^jet

90 PB£MliRE PARTIC.

204. ThJm)aèmb. Si du sommet B{ûg. 174) de l'angle droit d'un triangle rectangle ABC , on abaisse une perpendiculaire BD sur l'hypoténuse, on partage le triangle en deux autres , semblables au triangle total, et par conséqtœnt semblables entre eux.

En effet , les deux triangles ABD et ABC sont tous deux rectangles f et ont Tangle aigu A commun; ils sont donc équiangles entre eux, et par conséquent semblables.

Les deux triangles BDC et ABC sont tous deux rectangles, et ont Tangle aigu C commun ; ils sont donc équiangles entre eux, et semblables par conséquent.

Donc aussi les deux triangles ABD et BDC, tous deux équiangles avec le triangle total ABC , sont équiangles entre eux, et par auite semblables.

Corollaire I. En comparant les deux triangles ABD et BDC, ou