AB:DB::DB:BC

On se trouve ainsi conduit par une autre voie à la construction

GÊOMÉTDIË PLANE. 91

que nous avons indiquée au n? 168 pour trower un0 moyenne proportionnelle entre deux longueurs données.

200. Le corollaire II fournit une nouvelle solution du même problème. Sur une droite indéfinie portons de À en C (fig. 143) une longueur égale à la plus grande des deux lignes données; portons de A on B une longueur égale à la plus petite. Sur ÀC comme diamètre décrivons une demi-circonférence; au point B élevons une perpendiculaire qui coupera la demi-circonférence en un point D ; joignons ÂD ; ce sera la moyenne proportionnelle demandée. Car, si Ton tire DG, le triangle ÂDC étant rectangle en D, et la ligne DB étant une perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit sur rhypoténuse, on aura AB : AD :: AD : A.C. Ainsi AD sera une moyenne proportionnelle entre AC et AB, c'est-à-dire entre les deux longueurs données.

207. La propriété énoncée dans le corollaire III est une des plus fécondes de la Géométrie ; et nous la verrons se reproduire sous une forme plus saillante encore.

Pour le moment faisons remarquer que cette propriété permet de calculer l'un quelconque des côtés d'un triangle rectangle, quand on connaît les deux autres. Car, soit ABC (fig. 158) un triangle rectangle en B, on aura AC'=ÂB*-f-^) ^'^^ Ton tire

ÏB'=ÂC'— BC*, ou bien BC'=IC^— ÂF.

Supposons, par exemple, que Ton ait, l'unité de longueur étant d'ailleurs quelconque, AB=6 et BC=8; il en résultera AC'=36-|-64=100; et AC=v^ï()Ô=10.

Si l'on connaissait AC et BC, on aurait

ÂB*=100— 64=36, d'où AB=v^=6.

S^Fon connaissait AC et AB, on aurait

BC'=100— 36=64, d'où BC=v/64=8.

208. La môme propriété peut servir à élever une perpendiculaire à une droite donnée. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'élever au point B (fig. 158) une perpendiculaire à BC. Prenons BG égal à 4 unités de longueur, l'unité étant d'ailleurs arbitraire. Du point B comme centre avec un rayon égal à 3 unités de longueur, décrivons un arc de cercle; du point C comme centre avec un rayon égal à 5 unités de longueur, décrivons un second arc de cercle. Ces deux arcs se couperont en un certain point A ; car le nombre 4 est moindre que la somme des nombres 3 et 6 , et plus grand que leur différence. Joignons donc AB ; ce sera la perpendiculaire demandée.

En eflet, si l'on joint AC, onauraÀG=5, AB=3, etBC=4; d'où

AC*=25; ÂS'=9 et BC=16.

Or 26=9 + 16; donc ÏC*=Â5'+BC\

Le triangle ABC jouit donc de la propriété d'un triangle rectangle en B; il faut en conclure que l'angle B est droit; car un triangle rectangle dans lequel les côtés de l'angle droit seraient 3 et 4 , aurait pour hypoténuse ô, et serait par conséquent égal au triangle ABC

On peut, sur le terrain, employer un moyen analogue pour élever les perpendiculaires, quand elles ne doivent pas avoir une grande étendue. Imaginons un cordeau AB (flg. tiè), de 12 mètres de long, divisé par des nœuds, C et D, de façon que AC ait 3 mètres, et CD 4 mètres; DB en aura 5. Réunissons les bouts A et B par un même nœud 0 ; puis tendons ^ la fois les trois parties OC, OD, CD du cordeau ; le triangle OCD sera rectangle en C. Le cordeau ainsi ployé est donc une équerre dont on pourra se servir pour élever des perpendiculaires ; pour cela on tendra la partie CD du cordeau sur la droite donnée , au moyen de deux piquets , de manière que le point C coïncide avec le point par lequel la perpendiculaire doit être élevée. On tendra ensuite le cordeau par le nœud ; et l'on plantera un piquet au point où ce nœud correspondra : ce piquet sera situé sur la perpendiculaire demandée. Au lieu de donner 12 mètres au cordeau, on pourrait ne lui donner que 12 demi-mètres, ou 12 parUes égales quelconques.

209. Théorème. La bissectrice BI (fig. 176) de l'un des angles d'un triangle ABC , divise le côté opposé AC, en deux segments AI et CI proportionnels aux côtés adjacents AB et CB.

Pour le prouver, abaissons des points A et C les perpendiculaires km et Cn sur la bissectrice et sur son prolongement. Les triangles rectangles Ami et Cnl, ayant un angle aigu égal, AIw =CIn, sont éqiiiangles entre eux , et par conséquent semblables; on a donc la proportion

AI:IC::Am:nC.

Mais les triangles rectangles AmB et CnB, ayant un angle aigu égal, ABm=9?{BC, puisque Bl est la bissectrice de l'angle ABC, ces triangles sont aussi équiangles entre eux , et par suite semblables ; on a donc

Aw:nC::AB:BC.

Les deux proportions précédentes ayant un rapport commun, on en déduit Ai : IC :: AB : BC , ce qui exprime la propriété énoncée.

Corollaire. Dans un triangle isocèle , la bissectrice de Tangle du sommet divise la base en deux parties égales , puisque les côtés adjacents sont égaux.

Cette conséquence peut aussi se déduire de ce que la droite qui

GÉOMÉTRIE PLASfE. 03

joint le sommet d'un triangle isocèle au milieu de la base, divise ce triangle en deux triangles rectangles égaux.

Triangles inscrits et circoiiscrils.

210. Un triangle peut avoir par rapport à une circonférence deux positions qui méritent d'être remarquées.

Le triangle peut avoir ses trois sommets sur la circonférence (fig. 177) ; dans ce cas il est dit inscrit à la circonférence , et la circonférence est dite circonscrite au triangle.

L'inspection de la figure 177 confirme ce que nous avons dit au n** 175, sur la somme des trois angles d'un triangle. Car, les angles A , B , C , ayant respectivement pour mesure la moitié des arcs BC , ÂC , àB , la somme de ces trois angles a pour mesure la moitié de la somme de ces arcs, c'est-à-dire la moitié de la circonférence. Cette somme équivaut donc à deux angles droits.

Pour circonscrire une circonférence à un triangle , il suffit de faire passer une circonférence par ses trois sommets (98).

2ii. La circonférence peut être, au contraire, intérieure au triangle et tangente à ses trois côtés (fig. 178); dans ce cas c'est la circonférence qui est inscrite au triangle, et le triangle est circonscrit à la circonférence.

Si par le centre 0 de la circonférence inscrite à un triangle , on mène des rayons aux points de langence, ces rayons seront perpendiculaires sur les tangentes, c'est-à-dire sur les côtés du triangle; et comme ces rayons sont égaux, il en résulte que ce centre est également distant des trois côtés du triangle. Il doit donc se trouver à Ja fois sur la bissectrice de chacun des trois angles du triangle (78).

Pour obtenir le centre de la circonférence inscrite à un triangle ABC , il faut donc diviser en deux parties égales deux des angles du triangle. Le point 0 , où les bissectrices AO et BO se rencontrent, est le centre cherché. Le rayon de cette circonférence est la perpendiculaire 0^ , abaissée du point 0 sur l'un quelconque des côtés du triangle.

Ce que nous venons de dire prouve en même temps que les trois bissectrices des angles d'un triangle concourent en un môme point.

9& PBSMIËBE PABTIE.