CHAPITRE III

DIS POLTOOmn BR «ÈliRAL.

S31. On nomme en général polygone toute surface plane ter* minée par des lignes droites. La fig. 202 représente un polygone : les droites AB, BC, CD, etc., qui la terminent, se nomment ses côtés; les sommets des angles FAB, ABC, BCD, etc., formés par ces côtés, sont les sommets du polygone. Toute droite, telle que AC, AD, AB, etc. , joignant deux sommets qui ne sont pas'les extrémités d'un même côté , porte le nom de diagonale.

Bans la Géométrie élémentaire on considère principalement les polygones convexes, c'est-à-dire qui n'ont point d'angles rentrants (212), ou dont une môme ligne droite ne peut rencontrer à la fois plus de deux côtés, sans qu'il soit nécessaire de les prolonger. On peut dire encore qu'un polygone est convexe quand tous les angles ont l'ouverture tournée vers l'intérieur. C'est toujours de cette espèce de polygone que Ton parle quand on n'exprime pas le con-traire.

Si dans un polygone convexe ABCDEF (fig. S02) on tire toutes les diagonales qui aboutissent à un même sommet A, on partage le polygone en triangles qui ont ce point A pour sommet commun. Chacun de ces triangles emploie l'un des côtés du polygone , à l'exception des deux triangles extrêmes ABC et AFE qui en emploient chacun deux. Il suit de là que le nombre de ces triangles équivaut au nombre des côtés du polygone diminué de deux.

Les polygones prennent des noms divers, suivant le nombre de leurs côtés :

Un polygone de 3 côtés porte le nom de triangle ;

4 de quadrilatère;

5 de pentagone;

6 d'hexagone;

7 A*heptagone;

8 d!oetogone;

9 i^ennéagone ;

10 de décagone;

12 de dodécagone;

15 de pentédécagone.

Pour tous les autres polygones on se contente d*énoncer le nombre des cAtés; et l'on dit un polygone de 11 , de 13, de 14, de 16, de 17 côtés, etc.

10& PRKMIÈRB PAnTIE.

93S. TofiOBàME. La somme totale defangles d*un polygone équivaut à autant de fois 2 angles droits que ce polygone a de côtés, moins deux.

Car si l'on tire toutes les diagonales qui aboutissent à un même sommet , on partage ce polygone en autant de triangles qu'il y a de côtés moins deux ; la somme des angles de tous ces triangles réunis forme précisément la somme des angles du polygone ; d'ailleurs la somme des angles de chaque triangle équivaut à 2 angles droits ; donc, etc.

CoROLLÂiRB I. Il suit de là que

La somme des angles d'un pentagone vaut 6 angles droits.

hexagone 8

octogone 12

décagone 16

etc. etc.

Corollaire U. Réciproquement : Si l'on connaît la somme totale des angles d'un polygone , on peut déterminer le nombre de ses côtés. Si , par exemple , cette somme équivaut à 26 angles droits, la moitié de ce nombre, ou 13, exprime le nombre des côtés du polygone diminué de deux ; ce nonîbre de côtés est donc 13+2 ou 15.

S33. Nous D0U6 sommes appuyés souvent sur ce principe que dettx figures sont égales quand elles peuvent coïncider; il peut être en effet admis comme un axiome.

Applications. Dans les arts on se fonde sur ce principe pour copier les figures. Quand, par exemple, les tailleurs de pierre, après avoir rendu plane la surface du bloc qu'ils doivent tailler, veulent déterminer les contours de cette surface. Us y appliquent un patron en carton , dont ils suivent tous les contours avec une pointe k tracer. La figure ainsi obtenue sur la pierre est égale a celle que présente le patron, puisque ces deux figures coïncident. Les ferblantiers, les chaudronniers, les serruriers, les charpenUers, etc., font usage du même moyen.

C'est encore d'après le même principe que Ton copie un dessin , soit en le calquant II la vitre ou à l'aide d'un papier liuilé, ou d'un papier transparent dit papier végétal, soit en piquant avec une aiguille tous les contours du modèle , l'appliquant sur la feuille où l'on veut tracer la copie, et frappant alors sur le modèle avec un sachet de toile rempli de fusain pulvérisé. La poussière du fusain , en passant au travers des trous d'aiguille du modèle , laisse sur la feuille placée au-dessous une trace que l'on repasse ensuite au crayon , et qui reproduit avec fidélité tous les contours du modèle, puisque les deux figures peuvent coïncider.

254. Il existe pour les polygones en général, comme pour les triangles et les quadrilatères , certains caractères auxquels on peut reconnaître leur égalité : nous déduirons ces caractères des conditions nécessaires et suffisantes pour déterminer un polygone.

Un polygone ABCDEF (fig. 202) est déterminé lorsqu'on connait

GÉOMÉTRIE PLANE. i05

tùus ses côtés, et toutes les diagonales AC^ ÀD^ AE, etc., qui aboutissent à un même sommet. Car tous les triangles ABC, ACD, ADE , etc., se trouvent déterminés chacun par ses trois côtés.

Un polygone ABGDEF (Og. 202) est déterminé lorsqu'on connaît tous s£s côtés, et tous ses angles consécutifs ABC, BCD, etc., à l'exception des trois derniers DEF, EFA, FAB. Car le triangle ABC se troave déterminé par l'un de ses angles B, et les côtés qui le comprennent ; par suite le triangle ACD se trouve déterminé par l'angle ACD et les côtés qui le comprennent ; et tous les triangles consécutifs sont déterminés de la même manière , à l'exception du dernier AFE qui se trouve déterminé par ses trois côtés.

On peut varier d'un grand nombre de manières différentes les données nécessaires et suffisantes pour déterminer un polygone ; on trouvera toujours que le nombre de ces données doit être 2n — 3, si n représente le nombre des côtés du polygone. En sorte que pour un pentagone il faut 10— 3, ou 7 données; pour un hexagone il en faut 12 — 3, ou 9, et ainsi de suite. Nous examinerons encore le cas suivant.

Un polygone ABCDEF (fig. 203) est déterminé lorsqu'on connaît un de ses côtés AB et tous les angles que fait ce côté avec les côtés et les diagonales qui aboutissent à ses extrémités. Car chaque sommet C, D, E, F du polygone se trouve lié au côté donné AB par un triangle dans lequel on connaît ce côté AB et les deux angles adjacents (186). Tous les sommets du polygone sont donc déterminés, et par suite le polygone lui-même.

Rem ABQUS. Chacune des conditions précédentes fournit un caractère d'égalité pour les polygones ; le lecteur en trouvera facilement les énoncés (voy. la Remarque II du n** 214).

Des polygones semblables.

255. Deux polygones^ABCDE , abcdeiRg. 204) composés d'un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés, sont ce que Ton appelle deux polygones semblables. Les sommets des angles égaux se nomment sommets homologues; les côtés ou les diagonales qui joignent des sommets homologues , sont des côtés ou des diagonales homologues ; enfin , les triangles semblables, considérés par rapport aux polygones dont ils font partie , sont des triangles homologues,

256. Théorèmb. Deux polygones semblables ABCDE, abcde (fig. 204), ont leurs angles égaux cliacun à chacun, et leurs côtés homologues pn^ortionnels.

En effet, les triangles homologues ABC et abc étant semblables,

^an-

106 PREMlfcRB PARTIE.

les angles B et 6 sont égaux ; on a les proportions

AB:aft::BC:ft(? [1], et BC:bc::kC:ac [2],

et de plus les angles BCA et bca sont égaux.

Les triangles homologues ACD et acd étant semblables» les wgles ACD et acd sont égaux. L'angle BCD , qui est la somme des angles BCA et ACD , est donc égal à l'angle bcd qui est la somme des angles bca et acd. La similitude de ces mêmes triangles donne la proportion

kC : ac:: CD :cd [3].

En comparant les proportions [2] et [3], on voit qu'elles ont un rapport commun ; on en déduit donc

BC: bc:: CD :cd.

En continuant ainsi , on démontrerait de même régalité de tous les autres angles des deux polygones, et la proportionnalité de tous leurs côtés homologues.

237. Théorème. Si deux polygones ABCDE, abcde (flg. 2(M), ont leurs angles égaux chacun à chacun et leurs côtés homologues proportionnels, ces polygones sont semblables.

En effet, si Ton a B = 6, et AB : a6 :: BC : bc^ les deux triangles ABC et abc ont un angle égal compris entre cêtés proportionnels, et sont par conséquent semblables (198). Il en résulte que les angles BCA et bca sont égaux ; et comme les angles BCD et bcd sont égaux aussi par supposition , Tangle ACD, qui est la différence des angles BCD et BCA, est égal à Tangle acd, qui est la différence des angles bcd et bca. D'ailleurs, delà similitude des triangles ABC et abc on déduit

BC:ôc:: AC:ac,

et par supposition , on a

BC:6c?:: CD :cd.

Ces deux dernières proportions ayant un rapport commun , on en tire

kC: ac M CD :cd.

Les deux triangles ACD et acd ont donc un angle égal compris entre côtés proportionnels ; ces deux triangles sont donc semblables. En continuant ainsi , on démontrerait de même la similitude des autres triangles. Les deux polygones proposés sont donc composés d'un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés ; ce sont donc des polygones semblables.

958. Remabquk. Si l'on applique ces notions de similitude aux

GÊOMÈTRIK PLANE. 107

quadrilatères, on Terra que : Deuœ paralUlogrammet $ant sembla-blés lorsqu'ils ont un angle égal compris entre côtés prcportionnels.

Deux rectangles sont semblables lorsqu'ils ont deux côtés a^ja* cents proportionnels.

Deux losanges sont semblables lorsqu'ils ont un angle égal.

Deux carrés sont toujours des figures semblables.

259. Théorème. Deux polygones ABCDEF, abcdef (fig. 203), sont semblables, lorsque les angles formés par deux côtés homolo^ gués, kR, ab, avec les côtés et avec les diagonales qui aboutissent à leurs extrémités, sont égaux chacun à chacun.

Eq effet, par supposition, les angles ABC et abc sont égaux, ainsi que les angles BAC et bac\ les triangles ABC et abc sont donc équiangles, et par conséquent semblables. U en résulte la proportion

AC:a(?:: AB:a6.

Par une raison analogue, les triangles ABD et abd sont semblables et fournissent la proportion

AD:a<f:: AB:aft.

Cette proportion ayant avec la précédente un rapport commun , on en déduit

AC:ac:: AD: ad.

D'ailleurs Tangle DAC , qui est la différence des angles DAB et CAB , est égal à Tangle dac^ qui est la différence des angles dab et cab. Les deux triangles ADC et adc ont donc uu angle égal compris entre côtés proportionnels, et sont par conséquent semblables.

En continuant ainsi, on démontrerait de même la similitude des triangles AËD et aed^ et celle de tous les autres triangles homologues. Les deux polygones proposés sont donc composés d'un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés; ces polygones sont donc semblables.

240. On pourrait déterminer beaucoup d'autres conditions de similitude entre les polygones, mais celles des n*>* 257 et 239 suffisent pour justifier les procédés suivis dans les applications. D'ailleurs on peut remarquer que les conditions d'égalité se changent en conditions de siaiilitude lorsqu'à l'égalité des lignes homologues on substitue leur proportionnalité.

Remarquons aussi que l'égalité des angles formés, tant par les côtés que par les diagonales , entraîne la proportionnalité de ces côtés et de ces diagonales, et vice versa. En sorte que Ton peut dire généralement que l'égalité des angles entraîne la proportionnalité des lignes homologues , et réciproquement. La proposition cesserait d'être vraie si Ton ne considérait que les angles formés parles

941. ThAobèue. Les contours oti périmètres de deux polygones semblables ÀBCDE, abcde (fig. 204)^ sont entre eux comme deux côtés homologues ou deux diagonales homologues quelconques.

Désignons par P et ;i les périniètres de ces polygones. En vertu de leur similitude on aura :

AB:a6 :: BC : bc\: CD : cd :: DE : de :: EA: (?a.

Mais, dans une suite de rapports égaux, la somme des antécédents est à la somme des conséquents comme un antécédent est à son conséquent; on a donc

AB+BC+CD+DE+EA:a6+6c+cd+(fe + (?a::AB:a6,

ou V\p\:k&\ab.

D'ailleurs on a AB : ab : : BC : (c : : AC : oc : : CD : cd, etc.

Donc P : p :: AB : aô :: BC : 6c :: AC : ac :: CD : cd, etc.

S4S. Problème. Construire un polygone semblable à un polygone donné ABCDE (fig. 204) sur une ligne ab donnée comme homologui du côté AB.

Menons les diagonales AC, AD. Faisons Tangle abc = ABC, et l'angle frac=BAC ; les droites bc et ac ainsi menées détermineront avec ab un triangle abc qui sera semblable à ABC (196). Faisons Tangle acd=kCl) et Tangle cad=:CAD; nous déterminerons un triangle acd, semblable à ACD.

En continuant ainsi, on formera un polygone composé de triangles respectivement semblables à ceux qui composent le polygone donné, en même nombre et semblablement situés. Le second polygone sera donc semblable au premier.

245. Lorsque le polygone donné est tracé sur le terrain , et qu'il s'agit de construire sur le papier un polygone semblable, on emploie généralement une autre construction. Soit ABCDEF (fig. 203) le polygone donné ; on prend sur le papier une ligne quelconque ab comme homologue de AB. On mesure les angles ABC, ABD, ABE, ABF,BAC, BAD, BAE, BAF; et Ton fait sur le papier les angles abc y abdy abe, abf, bac, bad, bae, baf, respectivement égaux aux premiers ; les points de rencontre des droites ac et bc, adeibd, ae et be, a/et bf, sont les sommets d'un polygone abcdef, semblable au polygone donné, en vertu du théorème du n"» 259.

S44. Applications. Cette construction est fréquente dans le lever des plans. Lever le plan d'un terrain , c'est tracer en petit sur le papier une figure semblat>!e à celle que ce terrain présente. Soit ABCDEF (fig. 203) le polygone que forme le terrain. On mesure l'un de ses côtés AB; on prend sur le papier une longueur ah qui ait avec AB un rapport connu , qui contienne , par exemple , autant de millimètres que AB contient de mètres. On mesure les angles ABC, ABD, etc., BAC, BAD, etc., à l'aid« du gcaphomître, du cercle répétiteur ou de

la boussole , suivant les circonslances el suivant le degré d'exactitude qu'on veul oblenir; on fait sur le papier, à l'aide du rapporteur, des angles abc, ahd, elc, bac, had, etc., respectivement égaux aux angles mesurés sur le terrain; elle polygone abedef ainsi déterminé est le plan du polygone ABCDEF. Tous les angles du plan sont égaux à leurs homologues du terrain; et toutes les lignes du plan sont proportionnelles à leurs homologues du terrain , c'està-dire contiennent autant de millimètres que celles-ci contiennent de mètres , si l'échelle de réduction adoptée est d'un millimètre par mètre.

24S. On arrive plus promptement au résultat au moyen de l'instrument qu'on appelle la p{anc/ie(te. H se compose d'une tablette en bois, parfaitement dressée, et reposant par son centre sur un support ïk trois pieds. La lablette est liée au support parun genou avis, qui permet de lui faire prendre toutes les positions possibles à l'égard de ce support. Pour se servir de la planchette, il faut que sa surface soit dirigée horizontalement; c'est-à-dire qu'une bille qui y serait placée ne lende à rouler d'elle-même dans aucun sens : nous verrons plus tard comment on y parvient, et le véritable sens du mot hoHxontaUment, La surface de la planchette est recouverte d'une feuille de papier bien tendue. Pour y tracer des droites dans la direction des rayons visuels menés de l'œil vers les objets remarquables du terrain, on emploie une alidade, semblable à celle du graphomctre, munie également de pinnules, mais entièrement libre, et pouvant être placée sur la planchette dans toutes les directions possibles. On se sert de l'alidade elle-même comme d'une règle pour tracer des droites sur la planchette dans la direction indiquée par les pinnules-, et si cette direction doit passer par un point donné sur la planchette, on se contente d'y faire passer l'un des bords de l'alidade. On néglige ainsi la distance de ce bord à la ligne déterminée par les Gis de pinnules, c'est-à-dire la moitié de la largeur de l'alidade; mais cette demi-largeur est en elTet négligeable par rapport aux distances sur lesquelles on opère.

Pour lever un plan au moyen de la planchette , on trace sur le terrain une droite ÀB -fig. 205) qui sert de base à l'opération. On en trace une autre ab sur la planchette, et on lui donne un rapport connu avec AB , la millième partie par exemple, ou 1 millimètre par mètre. On porte la planchette au point A; et on la dispose de manière que le point a soit situé précisément au-dessus du point A (une petite masse de plomb suspendue au point a par un fil facilite cette opération , ainsi que nous le verrons par la suite) et qu'en dirigeant l'alidade suivant ab, ou aperçoive le point B derrière les fils des pinnules. On trace ensuite les droites aE, aD, aC, en dirigeant l'alidade vers les points du terram que l'on veut fixer sur le plan -. pour tracer ces lignes plus commodément, on plante au point a une aiguille contre laquelle on appuie le bord de l'alidade dans toutes ses positions. Cela fait, on transporte la planchette au point B; on la dispose de manière que le point b soit précisément au-dessus du point B , et qu'en dirigeant l'alidade suivant ab on aperçoive le point A derrière les fils des pinnules. Dans cette nouvelle position de la planchette, les droites ae, ad, act sont restées parallèles à elles-mêmes, puisque la droite ab n'a pas changé de direction. On trace alors des droites bC, &D, &E, en dirigeant de nouveau Talidade vers les points précédemment observés. Les intersections de ces droites avec les premières déterminent sur le papier les sommets c, d, c, d'un polygone abcde semblable à celui que forment sur le terrain les points A, B, C, D, E.

Î46. Lorsque l'on se sert de la planchette pour des opérations d'une grande étendue, on remplace par une lunette les pinnules de l'alidade. On ne marque dans ce cas sur le plan que les points les plus remarquables ; el pour oblenir des détails, on fait de nouvelles opérations parlielles, de nouveaux plans sur une échelle plus grande , qu'on reporte ensuite sur le plan général en les réduisant dans un rapport convenable, ni ,..,.

Î47. La méthode que nous venons de faire connaître est la plus expéditive

110 PREMIÈBE PARTIE.

de loutes eellei qui supposent l'emploi de la planchette. Il faut remarquer toutefois qu'elle n'est point susceptible d'une Irès-grande rigueur. Un point est toujours mal délerminé par l'intersection de deux droiles, lorsque ces droites se rencontrent sous un angle très-aigu» parce qu'en raison de leur épaisseur, le lieu de leur rencontre est par le fait une sorte de losange , dans lequel il est assez difficile de distinguer le véritable point d'intersection. Pour éviter, autant qu'il est possible, cet inconvénient, il faut prendre la base d'opération AB aussi grande qu'on le peut, et faire en sorte qu'elle ne soit pas plus petite que le cinquième ou le sixième de la plus grande des lignes qu'on peut mener de l'une de ses extrémités aux différents points du terrain.

Il faut également avoir soin de choisir cette base de manière qu'il ne se trouve aucun point remarquable du terrain sur son prolongement ou près de ce prolongement; car pour un pareil point la construction serait illusoire.

248. Lorsque les différentes lignes qui forment le contour du terrain peuvent être mesurées à la chaîne, on peut obtenir le plan comme il suit ;

On trace une ligne ah (flg. 204) pour représenter l'un des côtés AB du polygone; et on la prend égale à une fraction connue de AB, a la millième partie par exemple. On mesure l'angle ABC à l'aide de la planchette , ou de toute autre manière; on fait l'angle abc = ABC-, on prend bc égal à la millième partie de BC. On mesure l'angle BCD, et l'on fait l'angle bcd = BCD; on prend cd égal à la millième partie de CD. En continuant ainsi , on obtient un polygone semblable au polygone proposé ; car ils ont leurs angles égaux et leurs cOtés homologues proportionnels. Celte méthode exige qu'on transporte successivement la planchette à tous les angles du polygone ; et ce transport offre de grands inconvénients, à cause des précautions qu'il faut prendre pour assurer a chaque station la position horizontale de la planchette. On a cependant recours à cette méthode, quand l'Intérieur du polygone n'est pas commodément accessible.

249. Lorsque l'mtérieur du polygone offre un point 0 (fig. 206] , d'où l'on puisse découvrir tous les points remarquables du terrain, et dont les distances à ces points puissent être mesurées à la chaîne , on transporte la planchette en ce point, de manière qu'il soit précisément au-dessous d'un point 0 marqué d'avance sur la planchette. On trace à l'aide de l'alidade les droites Oa, 0&, Oc, Od, Oe dirigées vers les points A, B, C, D, E, du terrain que l'on veut fixer sur le plan. On prend sur ces droites , à partir du point 0, des distances'proportionnelles aux distances OA, OB, OC, OD, OE, mesurées préalablement à la chaîne; on donne, par exemple, à chacune des droites Oa, 0&, etc. , autant de millimètres que les distances correspondantes OA, OB, etc., ont de mètres. On joint les points a, b, c, d, «, et la figure ahcde est un polygone semblable au polygone ABCDE; car, d'après la construction, les triangles aOb et AOB ont un angle égal compris entre côtés proportionnels, et sont par conséquent seml)lables (198); il en est de même des autres triangles pris ainsi deux à deux ; les deux polygones sont donc composés d'un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés; ces polygones sont donc semblables.

250. Remarque I. On néglige dans tous les opérations précédentes, comme dans celles que l'on fait à l'aide du graphomèlre ou de la boussole, la hauteur de l'instrument employé, et l'on raisonne comme si la planchette ou le limbe du graphomèlre ou de la boussole , reposaient immédiatement sur le sol. La hauteur de l'instrument est en effet très-petite par rapport aux distances que l'on a à considérer ; mais nous verrons par la suite que d'autres raisons justifient pleinement cette manière d'agir.

251. Remarque II. Quoique la réduction la plus commode consiste, comme nous l'avons dit, à représenter chaque mètre par un millimètre, on sent que ce rapport ne saurait être employé dans toutes les circonstances, et que, suivant la grandeur du terrain, el celle qu'on veut donner au plan, il faut souvenl avoir

GÊOIIÉTBIE PLANE. 111

reeoan à une autre échelle. Mais , comme remploi du double décimètre , tel qu'on le trouve tout divisé dans le commerce, dispense du soin de construire une ècUelle, il est bon de représenter le mètre ou le décamètre par un nombre exacide millimètres, toules les fois que cela est possible. Dans les opéralions du cadastre , on emploie fréquemment une longueur de 4 millimèlres pour représenter un décamètre. Dans les plans partiels que Ton lève pour obtenir les détails d'un plan plus considérable , on peut, au contraire, suivant l'occasion, prendre 2, 3, 4, 5 millimèlres pour représenter un mètre.

SSS. Reuarqvb m. Bien que les constructions et les procédés qui précèdent se fondent sur des propositions qui n'ont élé démonlrées que pour les poly*gones convexes, elles s'appliquent néanmoins sans restriction à des polygones quelconques. On conçoit, en effet, qu'un polygone qui a des angles rentrants puisse, par des diagonales convenablement choisies, être partagé en plusieurs polygones convexes; et puisque les procédés dont nous parlons s'appliquent ii chacun d'eux en particulier, ils s'appliquent évidemment à leur ensemble. La eineonstance des angles rentrants rend seulement dans certains cas le choix de là base plus difficile.

tHZ. La considération des polygones semblables donne également les moyens de copier une figure quelconque, en la réduisant dans un rapport déterminé. On fiiîl usage pour cela de plusieurs procédés.

Soit le polygone ABCD (flg. 207) qu'il s'agit de copier, en réduisant aux |, par exemple , la longueur de 9es côtés. Prenons dans le plan de ce polygone un point 0 quelconque : menons AO, BO, GO, DO; sur ces lignes, prenons oO=iAO;bO=:iBO;cO=!CO; dO=:Sl>0; et joignons aè , hCyCd.da, Le po« lygone abed remplira les conditions du problème. Car les triangles aOb , AOB, ont un angle égal compris enire cétés proportionnels, et sont par conséquent semblables! il en est de même des triangles hOc et BOG; cOd et COD; dOa et DOA. Si on tire les diagonales hd et BD, les triangles hOd et BOD seront aussi semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels. U résulte de Ik que l'on a a&=JAB; &e=:|BG; cd^fGD; da^^DA; &d=JBD; les triangles bad et BAD ont donc leurs côtés proportionnels et sont «emblahies; il en est de même des triangles bcd et BGD ; les deux polygones abcd et ABGD sont donc composés d'un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés; donc ils sont semblables.

Cetle démonstration s'étendrait de la même manière à des polygones d'un nombre quelconque de côtés.

Au lieu de porter les distances Oa, 0&, etc., sur les droites correspondantes OA, OB, etc., on aurait pu les porter sur le prolongement de ces droites, en OdT, Ol/t Ocf, Od!, Les polygones a'ir'c'd' et ABCD eussent encore élé semblables par les mêmes raisons.

Le point 0 est ce qu'on nomme un centré de fimiltlude.

2»4. RuABQUB. La construction précédente n'est point particulière au cas des polygones convexes, et s'appliquerait également à des polygones quelconques. Elle s'appliquerait encore à des figures composées de lignes courbes; car toute ligne courbe peut être considérée comme une ligne brisée d'un nombre infini de côtés infiniment petits.

US. Ce procédé exige uniquement que les droites OA et Oa , OB et Ob , etc., coBserrent entre elles un rapport constant. On a construit un instrument fondé sur ce principe • et à l'aide duquel on peut copier immédlalement une figure quelconque, en la réduisant dans un rapport donné. Cet instrument se nomme pantagraphe, ^

Deux règles ON, AN (fig. 208), sont liées ensemble au point N, de manière a tourner librement l'une sur l'autre. Deux autres règles aM, oP, liées de la même manière au point a, sont en outre assemblées avec les premières, au mof en de chevUles M, P, qui leur permettent également de tourner. Ces quatre

règles sont disposées de telle sorte que les points 0, a et A soient en ligne droite, et que les longueurs aM , NP soient égales, ainsi que les longueurs UN, aV. li résulte de ces dernières relations que la figure aMNP est un parallélogramme (248), et que les droites aM et AN sont parallèles. Les triangles OaM et OAN sont donc semblables , et Ton a

Oa:OA::OM:ON.

Mais, quelque position que prennent les règles, la figure aMNP sera toujours un parallélogramme; les relations ci-dessus subsisteront donc toujours, et comme les longueurs OM et ON demeurent invariables, leur rapport demeure constant, et ce rapport étant toujours celui des distances Oaet OA, celles-ci restent toujours proportionnelles.

Si donc le point 0 reste fixe , et qu'avec une pointe placée en A on suive les contours d'une figure ABC, une pointe placée en a tracera sur le papier une figure semblable abCy réduite dans le rapport de ON à OM.

Afin de pouvoir changer ce rapport à volonté, on perce les quatre règles de trous équidistants, qui permettent de raccourcir à volonté l'une des deux longueurs aM ou NP, et d'allonger l'autre, de quantités proportionnelles, en sorte que le point a reste toujours sur la droite OA.

2j6. Il existe un autre procédé fort commode pour copier une figure en la réduisant dans un rapport donné.

On enveloppe la figure donnée dans un carré ABCD (fig. 209) que Ton partage par des parallèles aux côtés en un certain nombre de carrés égaux. S1I s'agit de réduire toutes les lignes de la figure dans le rapport de 5 k 3 , par exemple , on prend une droite ab , égale aux | de AB ; et l'on construit sur celte droite un carré abcd (227), que l'on partage en autant de carrés égaux que le premier. Pour éviter la confusion , on désigne par des lettres semblables M, N, P, etc., et m, n, p, etc., les colonnes de carrés parallèles à AD et ad, et par des cliiffres semblables, les bandes de carrés parallèles à AB et à ab.

Si l'on veut maintenant fixer sur la copie la position d'un point 0 du modèle, on remarque que ce point est situé dans un carré qui appartient à la fois à la colonne S et à la bande 2. Ce point devra donc être figuré sur la copie dans le petit carré qui appartieut a la colonne « et à la bande 2 ; et si les carrés ne sont pas trop grands, il suffira d'un peu d'habitude et de coup d'oeil pour fixer sans erreur sensible la position de ce point. On obtiendra d'une manière analogue tous les autres points de la copie.

257. Nous avons supposé jusqu'ici que la copie était une réduction du modèle; les mêmes procédés seraient applicables s'il fallait, au contraire, accroître le modèle dans un rapport donné. Mais il est utile de remarquer que les opérations sont toujours moins exactes dans le second cas que dans le premier; parce qu'en réduisant une figure, les erreurs tendent ^ diminuer, tandis qu*en augmentant les proportions de cette figure , les erreurs tendent à s'accroître.

258. Remarque. La méthode des carreaux peut être employée pour copier une figure en conservant sa grandeur véritable; il suffit pour cela de faire le second carré égal au premier.

259. On emploie aussi pour le même objet un procédé qui porte le nom de tricage. Soit à copier un polygone ABCDEFG (fig. 210). Le procédé en question consiste à mener par les sommets du polygone un système de parallèles AA', BB', ce, etc., toutes d'égale longueur. Les extrémités A', », C, b\ E', h\ G' de ces parallèles déterminent un polygone égal au polygone proposé. Car, d'après la construction, la figure ABB'A' est un parallélogramme (249), et il en résulte AB=A'B'. On prouverait de même que tous les cdtés du second polygone sont respectivement égaux à ceux du premier. On en peut dire autant des diagonales, caria figure AA'FT, par exemple, est aussi un parallélogramme , et Ton a AF = AF\ Les deux polygones ont donc leurs c6lés égaux et leurs diagonales

6É0UÉTRI£ PLANE. Ii3

égales ; ils peuvent donc se décomposer en un même nombre de Inangles ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Ces triangles, et par suite les polygones qu'ils composent , sont donc égaux entre eux. On copierait a l'aide de ce procédé toute autre figure quelconque.

Des polygones symétriques.

860. Supposons que de tous les sommets d'un polygone ABGDË (fig. 211) on abaisse sur une même droite XY les perpendiculaires Âm, Bn, Cjp, Dg, £r; qu'on prolonge ces perpendiculaires de quantités égales mk', nV.pdy gD', rE'; et qu'on joigne par des droites consécutives les points A', B', C, D', £^ On formera un second polygone qui aura toutes ses parties égales à celles du polygone ABCDE. Car, si l'on plie la figure le long de XT comme charnière, de manière que la figure k^'GÏÏY/ vienne s'appliquer sur le plan de la figure ABCDE , les angles Amn, k'mn étant droits, la ligne k!m prendra la direction km\ et, puisque ces lignes sont égales par construction , le point A' tombera en A. De même le point B' tombera en B, le point G en C, etc., et les deux i)oIygones, ayant tous leurs sommets communs, coïncideront dans toute leur étendue. Us ont donc tous leurs éléments égaux.

Néanmoins, on peut remarquer que le mouvement que nous venons de faire faire au second polygone pour s'appliquer sur le premier, était indispensable pour opérer ia superposition. De quelque manière que Ton fit tourner le polygone AB'C'D'E' dans son plan, sans le renverser comme nous l'avons fait, on ne pourrait jamais le faire coïncider avec le polygone ABCDE. C'est que, dans la position qu'ils occupent sur la figure, toutes leurs parties sont égales, il est vrai, mais disposées dans un ordre précisément inverse.

Deux polygones de ce genre sont ce que l'on appelle des polygones symétriques; et, lorsqu'ils ont la position indiquée par la figure, la droite XY est ce qu'on nomme un axe de symétrie par rapport à ces polygones.

861. Théorème. Deux polygones composés des mêmes éléments disposés dans un ordre inverse , peuvent toujours être placés de manière à avoir un axe de symétrie,

Soît, en effet, ABCDE (fig. 211) l'un de ces polygones. Tirons dans son plan une droite quelconque XY ; de tous les sommets du polygone, abaissons des perpendiculaires sur cette droite , et prolongeons ces perpendiculaires de quantités égales à elles-mêmes , puis joignons leurs extrémités comme nous l'avons fait tout à l'heure. Le polygone A'B'C'iyE', d'après ce que nous venons de voir, aura tous ses éléments égaux à ceux du polygone ABCDE , mais disposés

lia PREMIÈRE PARTIE.

dans un ordre inverse. Ce polygone Â'B'CiyE' est donc égal au second polygone proposé , et Ton peut amener celui-ci à coïncider avec A'B'C'D'E'. Dans cette position mutuelle , les deux polygones proposés auront un axe de symétrie , qui sera la droite XT.

262. Remarque. C'est en raison de ce théorème que Von conserve le nom de symétriques aux polygones formés des mêmes éléments disposés dans un ordre inverse , lors môme que ce^ polygones sont placés de manière à ne pas avoir d'axe de symétrie. Dans ce cas, il y a simplement symétrie déforme; dans le cas où les deux polygones ont un axe de symétrie, il y a en même temps symétrie de forme et symétrie déposition.

265. Toute ligne qui divise une figure en deux parties symétriques, c'est-à-dire superposables en pliant la figure le long de cette ligne, est un axe de symétrie de cette figure. Il existe des axes de symétrie dans un grand nombre de figures.

Dans un triangle isocèle, la droite qui joint le sommet au milieu de la base est un axe de symétrie , puisqu'elle divise ce triangle en deux triangles rectangles égaux.

Dans un triangle équilatéral, il y a, par conséquent, trois axes de symétrie.

Dans le trapèze isocèle ABCD (fig. 212), la droite IH qui joint les milieux des bases parallèles est un axe de symétrie. Car, d'après la nature de ce quadrilatère , les côtés AD et BC sont égaux ; d'ailleurs les angles D et C sont égaux aussi (216) , les deux quadrilatères ÀIHD et BIHC sont donc égaux comme ayant un angle égal et leurs quatre côtés égaux chacun à chacun (214, Rem. II). C'est pour cette raison que l'on donne à ce trapèze le nom de trapèze symétrique.

Dans un rectangle, les droites qui joignent les milieux des côtés opposés sont des axes de symétrie.

Dans un losange , les diagonales sont des axes de symétrie.

Dans un carré, qui est à la fois un rectangle et un losange, il y a donc quatre axes de symétrie.

Dans un cercle , tous les diamètres sont des axes de symétrie, etc.

264. Applications. La symétrie de forme se retrouve dans une foule d'objets. Il y a symétrie de forme : enlre les figures gravées sur un cachet et rempreinle que ce cachet laisse sur la cire ; entre la face supérieure des caractères d'imprimerie, et l'empreinte qu'ils laissent sur le papier; entre le dessin tracé sur le cuivre» l'acier, ou la pierre lithographique, et ce même dessin transporté sur le papier par le tirage ; entre les veines des deux parUes d'une planche feadue dans son épaisseur, etc.

11 y a symétrie de forme et de position entre les deux ailes de la plupart des façades d'architecture; entre les deux battants d'une porte cintrée, d'une grille, etc. ; entre les veines des deux piëces de placage qui forment d'ordinaire le devant d'un secrétaire, d'une armoire; entre les deux morceaux de drap qui forment le dos d'un habit, etc. Quand on découpe un morceau de papier plié en deux, on obtient en le développant une figure qui est symétrique par

GtoMtTBU PJUUIC lis

npport ftu pli. La porte en lattes (fig. 218) eit aTmétrique par rapport à la ligne de jonction des deux battants. On emploie dans les ornements de Tarchitecture des figures nommées palmeîUs (Og. 214), qui ont également un axe de symétrie, etc.» etc.