CHAPITRE IV
DBS POLT«on8 Etevunti.
&6B. Il existe une classe de polygones qui mérite une attention particulière : c'est celle des polygones qui ont tous leurs angles égaux et tous leurs côtés égaux , et auxquels on donne pour cette raison le nom de polygones réguliers.
n convient d*abord de remarquer que l'on ne peut pas construire un polygone régulier en se donnant arbitrairement la valeur de l'un de ses angles. Car, la somme totale des angles de ce polygone devant être égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a de côtés moins deux, et tous les angles étant égaux, chacun d'eux a pour valeur la somme dont nous parlons, divisée par le nombre total des angles du polygone, ou , ce qui revient au même , par le nombre de ses côtés. D'après cette observation , on trouve que la valeur de Tangle d'un polygone régulier doit être :
Pour le triangle équilatéral ia=pi2 ou | d'angle droit ;
lecarrré ^*=p^ ou 1 angle droit;
le pentagone régulier Htz^^n ou f d'angle droit;
l'hexagone régulier (fczjuta ou |
l'octogone régulier ia=^22<a ou |
le décagone régulier Ofirsuii ou f
le dodécagone régulier.. . . ^'^ff^^' ou |
le pentédécagone ^'^^7^^^^ ou f|
Et, en général, si Ton représente par n le nombre des côtés d'un polygone régulier, la valeur de chacun de ses angles, exprimée en angle droit et fraction d'angle droit, sera is=iij<x^
266. Thâorème. Deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont des figures semblables.
En effet, d'après ce que nous venons de dire, la valeur de l'angle de ces polygones ne dépendant que du nombre des côtés, qui est le même pour tous deux, les angles de ces polygones sont égaux ; d'ailleurs leurs côtés sont évidemment proportionnels , puisqu'ils sont égaux pour chaque polygone ; ces deux polygones sont donc semblables (84»).
Corollaire. Il en résulte que leurs périmètres sont entre eux comme leurs côtés (841).
207. Théorème. 5t l'on divise une circonférence en un certain nombre de parties égales, et qu'on joigne par des cordes les points de division consécutifs A, B, C, D, etc. (flg. 216), la figure qui en résulte est un polygone régulier.
En effet, les cordes AB, BC, CD, etc., sous-tendant des arcs égaux, sont égales. De plus, les angles ABC, BCD, CDE, etc., sont égaux comme inscrits dans des portions égales de la circonférence. Le polygone ABCDEFG a donc tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux, c'est donc un polygone régulier.
Corollaire. Pour construire un polygone régulier d'un nombre de côtés déterminé, quand la longueur de ses côtés est arbitraire , il suffit donc de décrire à volonté une circonférence, de la diviser en autant de parties égales que le polygone doit avoir de côtés, et de joindre deux à deux par des cordes les points de division consécutifs.
268. Théorème. Tout polygone régulier est inscriptible au cercle. Par trois sommets consécutifs A, B, C, d'un polygone régulier
ABCDEFG (fig. 215), faisons passer une circonférence. Du centre 0 de cette circonférence , abaissons sur BC la perpendiculaire 01, qui divisera la corde BC en deux parties égales (97, Corel. I) ; puis joignons AO et OD. Si Ton fait tourner le quadrilatère ABIO autour de 01 comme charnière jusqu'à ce qu'il vienne se rabattre sur le quadrilatère OICD, les angles BIO et CIO étant droits, la ligne IB suivra la direction de IC ; et comme IB=IC, le point B tombera en C. Les angles ABI et ICD étant égaux, puisque le polygone proposé est régulier, la ligne BA suivra la direction de CD ; et comme AB=CD, le point A tombera en D. Les droites OA et OD auront donc les mêmes extrémités, et coïncideront ; donc elles sont égales, et par conséquent le point D est sur la circonférence décrite du point 0 comme centre, avecOA pour rayon, c'est-à-dire sur la circonférence qui passe par les trois points A, B, C. Ainsi donc , la circonférence, qui passe par trois sommets consécutifs d'un polygone régulier, passe aussi par le sommet suivant, et par conséquent par tous les sommets du polygone ; c'est-à-dire que ce polygone est inscriptible au cercle.
269. Remarque L Le centre du cercle circonscrit à un polygone régulier est ce qu'on nomme le centre de ce polygone ; et Ton nomme rayon de ce même polygone la droite qui joint son centre à l'un de ses sommets, c'est-à-dire le rayon du cercle circonscrit.
270. Remarque IL L'angle formé par deux rayons consécutifs OA , OB (flg. 216), d'un polygone régulier, est ce qu'on nomme Vangle au centre de ce polygone. Cet angle a la même valeur quels que
GÊOMÉTRIB PLANE. ii7
soient les deux rayons consécutifs que Ton considère ; ainsi , par exemple, COD=AOB ; car les arcs CD et ÀB, qui servent de mesure à ces angles , sont égaux , puisqu'ils sont sous-tendus par des cordes égales.
La somme de tous les angles au centre d'un même polygone, équivaut à 4 angles droits (59). Pour obtenir la valeur de Tangle au centre dans un polygone régulier, il faut doue diviser 4 angles droits par le nombre des côtés de ce polygone. On trouve ainsi que la valeur de l'angle au centre , exprimée en fraction d'angle droit , est :
Pour le triangle équilatéral de | d'angle droit ;
le carré de 1 angle droit;
le pentagone régulier , de ^ d'angle droit ;
l'hexagone de | ou f
l'octogone de | ou |
le décagone de -^ ou {
le dodécagone de ^ ou ^
le pentédécagone de ^
etc. etc.
L'angle au centre est le supplément de l'angle formé par deux côtés consécutifs ; car le premier ayant pour valeur | et le second ^==^ ; si l'on fait la somme, on trouve ^^V~^ eu 2 angles droits.
271. Remarque III. Les rayons OÀ, OB, OC, etc., menés à tous les sommets d'un polygone régulier, le partagent en autant de triangles qu'il y a de côtés. Tous ces triangles sont isocèles, et égaux entre eux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun.
II résulte de cette égalité de triangles , que les angles ABO et CBO sont égaux ; ainsi le rayon OB divise en deux parties égales l'angle ABC du polygone ; le rayon OC divise pareillement en deux parties égales l'angle BCD; et ainsi des autres.
S7S. Théorème. Si l'on divise une circonférence en un certain nombre de parties égales, et que par tous les points de division, m, ïi, p^ etc. (fig. 217)^ on mène des tangentes à cette circonférence, la figure qui en résulte est un polygone régulier.
En effet : joignons mn^ np^ etc. Les triangles mBn, nCp, etc., anront les bases égales, mn=np=etc,^ comme cordes sous^tendant des arcs égaux. De plus, les angles adjacents à ces bases, formés chacun par une tangente et une corde aboutissant au point de tan* gence, auront pour mesure la moitié de chacun des arcs égaux mn, np, etc., et seront par conséquent égaux. Les triangles considérés sont donc égaux , comme ayant un côté égal adjacent à des angles égaux. Il en résulte l"" que tous les angles, B, C, D, etc., sont égaux ; 2" qu'on a wB = Bn=nC = Cjp=?etc. DoncBC, double de Bw,
118 PBBlflÈRB PABTfB.
égale CD, double de Cp; et ainsi de suite. Le polygone ÀBCDEF a donc tous ses angles égaux et tous ses côtés igànx : donc c'est un polygone régulier.
Corollaire. Pour construire un polygone régulier, d'un nombre de côtés déterminé , quand la grandeur de ses côtés est arbitraire, on peut donc décrire à volonté une circonférence , la diviser en autant de parties égales que le polygone doit avoir de côtés, et mener par tous les points de division des tangentes à cette circonférence.
975. ThborAiie. Tout polygone régulier est circomcriptible au cercle.
Soit ABCDEF (fig. 217) un polygone régulier, et soit 0 le centre du cercle qui serait circonscrit à ce polygone. Les côtés AB, BC CD, etc., seraient des cordes de ce cercle, et puisqu'elles sont égales, les perpendiculaires abaissées du point 0 sur ces cordes seraient égales (99). Si donc, du point 0 comme centre, avec Tune de ces perpendiculaires pour rayon, on décrivait une circonférence, elle passerait par le pied de chacune de ces perpendiculaires, c'est-à-dire par le milieu de chacun des côtés donnés, et serait tangente en ce point à ce côté (i02). Donc le polygone proposé serait circonscrit à cette circonférence.
Remarque h La perpendiculaire abaissée du centre d'un polygone régulier sur l'un de ses côtés, soit 01 (fig. 215), se nomme Y apothème du polygone. D'après ce que nous venons de voir, tous les apothèmes sont égaux.
Rehàrque il Ce qui précède fait voir facilement que dans un polygone régulier tout est symétrique de part et d'autre d'un même rayon ou d'un même apothème. Les apothèmes et les rayons (prolongés) sont donc autant d'axes de symétrie.
274. TBéoRiME. Les périmètres de deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés , sont entre eux comme les rayons ou comme les apothèmes de ces polygones.
Soient AB (fig. 218) un côté de l'un des polygones, OA son rayon, OH son apothème, ab^ ao^ oh^ les lignes homologues dans le second polygone. Puisque ces polygones ont, par supposition, le même nombre de côtés, leurs angles FAB et fab sont égaux (96IS); leurs moitiés OAB et oab sont donc égales (271). Les triangles rectangles AOH, ooA, ayant un angle aigu égal, sont équiangles, et par conséquent semblables ; on a donc :
AH:aA::AO:ao::OH:oA.
Mais si Ton désigne par V eXp les périmètres de ces polygones, on a, en vertu du corollaire du n<» 266,
P:/>:;AB-aô,
GtOlIÊTRIB PUIIB. ilO
etparoonséquent f:p::^AB:^abf
c'est-à-dire , P: jp : : AH : ûA.
k cause du rapport commun entre cette dernière proportion et la première , on a donc :
