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S7tt. Problè». Étant donnés le nombre des côtés funpolfç&nê régulier, et la langueur d'un de ses côtés, construire ce polygone.

Traçons une circonférence quelconque» divisons»la en autant de parties égales que le polygone proposé doit avoir de côtés. Soient ùy 6, c, dy e (fig. 219), les points de division. Tirons les droites Oa, 06, Oc^ 0(2, Oe, Tirons encore a6, et prenons sur cette droite, à partir du point a, une longueur ak égale au côté donné du polygone à construire. Menons kB parallèle à Oa. Du point 0 comme centre , avec OB pour rayon , décrivons une circonférence , qui coupera le prolongement des droites Oa, Oc, etc. , aux points A, C, etc. Joignons ces points consécutivement par les droites AB, CD, etc. , le polygone ABCDE sera le polygone demandé.

Car, les angles au centre a06, bOc^ cOdj etc., ayant pour mesure les arcs égaux a&, bc^cd, etc., sont égaux. Donc les arcs AB, BC, CD, etc., qui peuvent aussi servir de mesure à ces angles, sont égaux , et ABCDE est un polygone régulier qui a le nombre de côtés demandé. De plus , comme on a Oa=Ob , et OA = OB, il en résulte la proportion Oa : OA :: Ob : OB. Ainsi AB est parallèle h ab (140); la figure AB^ est donc un parallélogramme, et Ton a AB = ak; c'est-à-dire que le côté du polygone ABCDE est égal au côté donné. Ce polygone remplit donc toutes les conditions du problème.

Remarque. Il ne serait pas nécessaire de recourir à cette construction si le polygone régulier demandé était un triangle équilatéral ou un carré. Dans le premier cas, on tracerait une droite AC (fig. 161 ) égale au côté donné; des points A et C comme centres , avec AC pour rayon , on décrirait deux arcs de cercle qui se couperaient en B, au troisième sonmiet du triangle.

Nous avons vu au n*" 287 comment on construit un carré.

276. Paoblèms. Étant donné un polygone régulier mnp« etc. (fig. 217) inscrit à un cercle, circonscrire à ce cercle un polygone régulier d*vn même nombre de côtés.

Par tous les sommets ?», n^p^ etc., du polygone donné menons des tangentes ; ces tangentes seront les côtés du polygone demandé (272).

RnuRQUE. L'arc mn est plus grand que sa corde; mais ce même arc est moindre que la ligne brisée mBn qui l'enveloppe. Si Ton

répète ce raisonnement pour tous les arcs np^pq^ etc., on verra que la circonférence du cercle est plus grande que le périmètre du polygone inscrit, mais moindre que le périmètre du polygone circonscrit. Ce résultat est indépendant du nombre de côtés des polygones.

277. Si Ton veut que le polygone circonscrit ait ses côtés parallèles à ceux du polygone inscrit, on opère d'une autre manière. Soit àbcdc (fig. 220) le polygone inscrit : on abaisse du centre sur les côtés les perpendiculaires om, on, op, og, or; ces perpendiculaires divisent en deux parties égales les arcs ab^bc^cd^ de, ea ; or, ces arcs étant égaux , leurs moitiés sont égales -yinb-^-bn, c'est-àdire mn équivaut donc kmb'\-amy c'est-à-dire kab. En répétant ce raisonnement, on verrait que la circonférence est divisée aux points m , H , p , g , r, en un môme nombre de parties égales qu'aux points a, 6, r, d, e. Si donc par les points m, n, p, 9, r, on mène à cette circonférence les tangentes A.B, BC, CD, DE, ÊÂ, le polygone ABCDE qui en résultera sera régulier et aura le môme nombre de côtés que le polygone donné. De plus , ils auront leurs côtés parallèles deux à deux ; car AB, par exemple, étant perpendiculaire à l'extrémité de om, puisqu'elle est tangente au point m, est parallèle à ab, qui est aussi perpendiculaire à om.

Remarque. On reconnaît sans peine que les trois points 0, a, A, sont en ligne droite. Car si l'on joint oA , les deux triangles rectangles roA et k.om ont l'hypoténuse Ao commune, et le côté or=om ; ils sont donc égaux, et l'on a l'angle roA = Ao?n. Donc Ao divise l'angle rom en deux parties égales ; cette bissectrice passe donc par le milieu de l'arc rm qui sert démesure à l'angle rom, c'est-à-dire par le point a. On prouverait de même que les trois points o , 6 , B, sont en ligne droite; et ainsi des autres.

278. Proelémb. Étant donné un polygone régulier inscrit à un cercle, inscrire à ce cercle un polygone régulier d'un nombre de côtés double.

Soit ABCDE (fig. 221 ) le polygone inscrit donné. Divisons les arcs AB, BC, etc., chacun en deux parties égales, aux points m, n, etc.; joignons Am, mB, Bn, nC, etc.; le polygone qui en résultera remplira les conditions du problème. Car tous les arcs Am, ?/2B, Bn, nC, etc., seront égaux, et en nombre double de celui des arcs AB, BC, etc. (267).

Remarque. La droite AB est plus courte que A^n -|- mB ; de même la droite BC est plus courte que Bn -|- nC ; et ainsi de suite. Il en résulte que le périmètre ABCDE est moindre que le périmètre kmBnCpDqEr. Ainsi quand on double le nombre des côtés d'un polygone inscrit , son périmètre augmente.

279. Problème. Étant donné un polygone régulier circonscrit à

GiOMÉTBlE PLANE. i^t

vn cercle, eireonserire à ce cerck un polygone régulier d'nn notn^ hre de eûtes double.

Soient m, n, p, g, r (fig. 222 ), les points où le polygone circonscrit donné touche la circonférence. Divisons en deux parties égales chacun des arcs mn, np^ pq^ qr, rm. Par les points de division a, b, c, d, €, menons des tangentes : le polygone qui en résultera remplira les conditions du problème; car tous les arcs ma^an^nh^ bp, etc., seront égaux, et en nombre double de celui des arcs mn , np, pq, etc., c'est-à-dire en nombre double de celui des côtés du polygone donné (272).

BnfAaQDE/ La droite hk est moindre que Ah-}- kk. Si l'on répète cette observation pour tous les angles du polygone donné, il sera facile d'en conclure que le périmètre du polygone obtenu est moindre que le périmètre du polygone donné. Ainsi , quand on double le nombre des côtés du polygone circonscrit, son périmètre diminue.

MO. Problème. Étant donné un polygone régulier inscrit d'un nombre pair de côtés, inscrire au même cercle un polygone régulier d'un nombre de côtés sous^double.

Soit AnîBnCpDqEr (fig. 221) le polygone donné; joignons les sommets de deux en deux par les droites AB, BC, CD, DE, EA ; le polygone ainsi obtenu satisfera aux conditions du problème ; car les arcs Am, mB, Bn, nC, etc., étant égaux, il en est de môme du double de ces arcs, et par conséquent des arcs AB, BC, etc. (267).

281. Problème. Étant donné un polygone régulier circonscrit, d'un nombre de côtés pair, circonscrire au même cercle un poly-^ gone régulier d'un nombre de côtés sous-double.

Soit hkxyzuvtsl (fig. 222) le polygone donné. Prolongeons les côtés de deux en deux, par exemple to, yz^ wv, ts^ Ih; le polygone ABCDE, qui en résultera, satisfera aux conditions du problème ; car les arcs ma, an, nb, bp, etc., étant égaux, il en sera de même du double de ces arcs, et par conséquent de mn, np.pq, etc. (272).

282. On voit, par ce qui précède, que lorsqu'on sait inscrire à une circonférence un polygone régulier d'un certain nombre de côtés, on peut lui inscrire un polygone régulier d'un nombre de côtés double ; rien n'empêche alors de doubler encore le nombre des côtés, et ainsi de suite. Si le polygone qu'on sait inscrire a un nombre pair de côtés , on peut inscrire un polygone régulier d'un nombre de côtés sous-double. Enfin, sachant inscrire un polygone régulier quelconque, on sait circonscrire à la môme circonférence un polygone semblable. Tout se réduit donc à savoir inscrire les polygones réguliers , c'est-à-dire à savoir diviser la circonférence en parties égiales. Nous avons vu que, dans la pratique, cette division peut toujours s'effectuer à l'aide d'un tâtonnement que l'adresse ou l'habitude abrègent. Mais il est des cas nonibreux où cette divisio»

122 PREUlkRE PARTIS.

s*opère d*ùne manière rigoureuse et sans tâtonnements, en 8*appuyant sur quelqu'une des propriétés du polygone régulier qu'on se propose d'inscrire ; c'est ce que nous allons faire voir.