Problème. Inscrire au cercle un hexagone régulier

Soit AB (fig. 224) le côté d'un hexagone régulier inscrit; tirons les rayons OA, OB. Le triangle AOB est isocèle, ainsi les angles AOB et OBA sont égaux. L'angle au centre AOB ayant pour valeur I d'angle droit (270), la somme des deux autres équivaut à 2 angles droits moins | d'angle droit, c'est-à-dire à ^ d'angle droit; et, puisqu'ils sont égaux, chacun d'eux vaut la moitié de cette somme ou f d'angle droit. Le triangle OAB est donc équiangle , et par suite équilatéral. Le côté AB de l'hexagone inscrit est donc égal au rayon OA.

Pour diviser une circonférence en 6 parties égales , il suffît donc de porter 6 fois sur cette circonférence une ouverture de compas égale à son rayon.

Corollaire. Si Ton joint de deux en deux, par des cordes, les sommets de l'hexagone régulier ABCDEF, on aura le triangle équilatéral inscrit ACE.

En doublant, au contraire, le nombre des côtés, on inscrira successivement les polygones réguliers de 12, 24, 48,96 côtés, et ainsi de suite.

Bemarque. Soit AB ( fig. 225) le quadrans ; portons de A en C une ouverture de compas égale au rayon OA; l'arc AC, d'après ce que nous venons de voir , sera le 6* de la circonférence ; l'arc CB équivaudra donc k{ — ^, c'est-à-dire à ^f^ ou ^ de cette circonférence. La corde de l'arc CB sera donc le côté du dodécagone régu< lier inscrit. Cette remarque permet d'éviter la bissection des arcs que sous-tendent les côlés de l'hexagone régulier.

On verrait de même que , si AI est la moitié du quadrans , c'est-àdire la 8* partie de la circonférence, l'arc IC équivaudra à ^ — ^, c'est-à-dire à ^ ou ^ de cette circonférence , et que , par conséquent, la corde de l'arc IC est le côté du polygone régulier inscrit (le 24 côtés.

GÊOMfiTMB PLANE. 195

98it. PBOBLÈn. Inscrire au cercle un décagone réffuNer.

Soit AB (fig. 226) le côté du décagone régulier inscrit. Tirons les rayons OA, OB; le triangle AOB sera isocèle, et les angles OAB, OBA égaux. L'angle au centre AOB équivaut à | d'angle droit (270), la somme des deux autres équivaut donc à 2 angles droits moins f d'angle droit , c'est-à-dire à | d'angle droit ; et, puisqu'ils sont égaux, chacun d'eux vaut la moitié de cette somme, ou ^d'angle droit. Chacun de ces angles est donc le double de l'angle AOB. Divisons l'un d'eux, OBA par exemple, en deux parties égales par la droite BI ; chacun des angles ABl, IBO vaudra | d'angle droit; le triangle IBO sera donc isocèle ; il en sera de môme du triangle ABI, car l'angle en A valant f et l'angle en B valant {, il en résulte que l'angle AIB vaut | comme l'angle A

On aura donc AB = BI = 10.

Mais BI étant la bissectrice de l'angle ABO, on a (S09) dans le triangle AOB :