AI: IO::IO:OA

c'est-à-dire que le rayon AO est divisé au point I en moyenne et extrême raison. Or, AB = IO ; donc le côté du décagone régulier inscrit est égal à la plus grande des deux parties du rayon divisé en moyenne et extrême raison.

Pour diviser une circonférence en 10 parties égales , il faut donc partager son rayon en moyenne et extrême raison (i7i),et porter dix fois de suite sur cette circonférence une ouverture de compas égale à la plus grande des deux parties du rayon ainsi divisé.

Corollaire. Si Ton joint de deux en deux par des cordes les sommets du décagone régulier ABCDEFGHKL, on obtient le pentagone régulier inscrit ACEGE.

Si, au contraire, on double successivement le nombre des côtés, on inscrira les polygones réguliers de 20, 40, 80, 160 côtés, et ainsi de suite.

Reharqcr. Soient AB(fig. 227) la 6* partie de la circonférence, et AC la 10* partie de cette circonférence , arcs que nous savons obtenir rigoureusement d'après ce qui précède. La différence CB de ces deux arcs équivaudra à ^ — -J^, c'est-à-dire à ^ ou ^^ de la circonférence ; la corde de l'arc BC sera donc le côté du pentédécagone régulier inscrit.

En doublant le nombre des côtés , on inscrirait successivement les pcrfygones réguliers de 30, 60, 120, 240 côtés, et ainsi de suite.

28S. Si l'on avait à diviser une circonférence en 360 parties ou degrés, on pourrait réduire de beaucoup, à l'aide de ce qu'on vient de voir, le nombre des

12& PREUlliRE PARTIE.

tâtonnemenU nécessaires. Car d'a1>ord , sachant inscrire rigoureusement le polygone régulier de 120 côtés, ou, ce qui revient au même, trouver la 120* partie de la circonférence , le tiers de celte 120* partie, qui s'obtiendrait par tâtonnement sans beaucoup de peine, en serait la 360« partie, c'est-à-dire l'arc d'un degré.

On pourrait encore diviser la circonférence rigoureusement en 3 parties; diviser par tâtonnement chacune de ces 3 parties en 3 autres; on aurait ainsi la 9* de la circonférence. On sait en obtenir la 10" partie exactement; la différence de ces deux arcs vaudrait ^—îV ou ^ de la circonférence; et en prenant le quart par deux bisseclions successives qui peuvent s'effectuer rigoureusement (IIS) , on aurait la 360* partie de la circonférence, ou l'arc d'un degré.

287. En récapitulant ce qui précède, on volt que Ton sait inscrire rigoureusement et sans tâtonnement aucun , les polygones réguliers dont le nombre de côtés est exprimé par Tun des nombres:

3, 4, 6, 6, 8, 10, 12, 16, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 64, 80, 96, 120, 128, 160, 192, 240, 256, 320, 384, 480, 512, etc.

Remarquons toutefois que, dans la pratique, on n'obtient pas toujours par ces procédés, fondés sur des principes rigoureux, toute Texactitude qu'ils semblent promettre. Le nombre des opérations nécessaires pour diviser, par exemple , le rayon en moyenne et extrême raison, multiplie tellement les chances d'erreur, qu'avec tout le soin possible il n'en résulte pas une exactitude plus grande que par l'emploi d'un tâtonnement bien dirigé : dans beaucoup de cas même le tâtonnement aurait l'avantage. Mais toutes les fois qu'il s'agira de diviser une circonférence en 3, 4, 6, 8, 12 parties égales, les méthodes exactes seront en même temps celles qui conduiront le plus promptement au résultat.

288. Par des méthodes trigonométriques^ on peut calculer le côté d'un polygone régulier d'espèce déterminée, quand on connaît le rayon du cercle inscrit Si l'on prend pour unité le rayon de ce cercle , on en déduit pour le côté de chaque polygone régulier inscrit la valeur suivante :

Nombre des c6tég. Longueur du o6té.

etc. etc.

GÊOMÊTAIIÎ PLAME. 125

Pour obtenir a l'aide de celle table la longueur du eôlé d'un polygone régulier d'espèce déterminée dont on connaît le rayon, il aulRt de multiplier ce rayon par le nombre correspondant t'n^ de la table. Par exemple, dans un cercle dont le rayon aurait 5", le côté de Toctogone régulier inscrit aurait 5-xO,7664, c'est-à-dire a-,8î7.

Si Ton connaissait au contraire le côté d'un polygone régulier d'espèce déterminée et quil s'agit de trouver son rayon, il faudrait diviser le côlé donné par le nombre correspondant tiré de la table. Si , par exemple, on veut construire un pentagone régulier dont le côlé ait 4*, il faudra llnscrire dans une circonférence dont le rayon ait , ^1^^^^ , c'est-à-dire 3",402 environ.

!Ces calculs sont fondés, comme on voit, sur ce que deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont des figures semblables, et que leurs côtés sont proporlionnels à leurs rayons.

289. Applications. La forme des polygones réguliers se reproduit souvent dans les constructions. Les bassins qui ornent les jardins ont souvent la forme d'un hexagone ou d'un octogone régulier. Les tapis de verdure, les parterres présentent quelquefois la même forme. 11 y a des salons, dits octogones, dont le plancher et le plafond sont des octogones réguliers ; le plancher des kiosques est presque toujours un hexagone ou un octogone régulier.

Mais c'est surtout dans le carrelage et le parquetage des appartements qu'on emploie le plus souvent ces figures.

La somme de tous les angles formés autour d'un même point étant égale à quatre angles droits , pour pouvoir couvrir un parquet avec des polygones réguliers égaux , il faut que l'angle de chacun de ces polygones soit une partie aliquote de quatre angles droits. C'est ce qui a lieu pour le triangle équilatéral ; car son angle, qui vaut l d'angle droit , est la 6* partie de 4 angles droits. Cela a lieu également pour le carré, puisque son angle étant droit , est le quart de 4 angles droits. Cela a lieu encore pour l'hexagone régulier, parce que son angle , qui vaut i d'angle droit , est le tiers de 4 angles droits. On peut donc former un parquet avec des triangles équilatéraux assemblés 6 à 6 ^flg* 228) ; avec des carrés assemblés 4 à 4 (fig. 199 et 229) ; ou avec des hexagones réguliers assemblés 3 à 3 (flg. 230).

On ne pourrait pas employer des pentagones réguliers, parce que l'angle de ces polygones, qui vaut | d'angle droit, n'est pas une partie aliquote de 4 angles droits. On le pourrait encore moins avec des polygones d'un nombre de côtés supérieur à 6, parce qu'alors trois des angles de ces polygones feraient une somme plus grande que quatre angles droits. Hais on obtient de nouvelles dispositions en employant conjointement plusieurs espèces de polygones réguliers. Ainsi l'on recouvre un parquet avec des octogones et des carrés (flg. 231); avec des hexagones et des triangles équilatéraux (flg. 232); avec des dodécagones et des triangles équilatéraux (flg. 233).

Quelquefois aussi on emploie conjointement des polygones réguliers et d'autres polygones qui ne le sont point , mais qui sont seulement disposés avec régularité. C'est ainsi que l'on recouvre un parquet avec des hexagones réguliers et des losanges (flg. 234), ou avec des octogones, des carrés et des trapèzes rectangulaires (fig. 235).

On est obligé de tracer une série de triangles équilatéraux , disposés comme dans la figure 228, lorsqu'on veut dessiner la base d'une pile triangulaire de boulets. On donne pour côté à ces triangles le diamètre des boUlets ; et de chaque sommet comme centre , avec un rayon égal à la moitié de ce côté , on décrit des circonférences qui se touchent mutuellement comme l'indique la figure 236, puisque partout la dislance des centres est égale h la somme des rayons. Il y a des vitraux , composés de vitres circulaires, qui offrent une dis- IK>sillon analogue.

126 paElilËRB PABTIE.

290. Outre le tracé des polygones réguliers, beaucoup d'autres circonstances nécessitent la di^lon de la circonférence en parties égales. Nous avons déjà vu que celte division est indispensable pour graduer le limbe des instruments destinés à la mesure des angles.

Pour dessiner la rose des vents, qui figure dans les boussoles, il Taut tracer une circonférence et la diviser en 32 parties égales. Les 32 points de division sont les sommets des pointes ou flèches qui désignent les 32 aires du vent, c'est-à-dire ses 32 directions pr'mcipales. On donne ordinairement à la rose des vents la disposition qu'indique la figure 237 : les côtés des flèches sont tous tangents à une même circonférence , concefUriqw à celle dont nous avons parlé tout à l'heure, c'est-à-dire ayant même centre. Les flèches qui répondent aux quatre points cardinaux nord, sud, est, ouest, couvrent toutes les autres ; celles qui correspondent aux quatre points intermédiaires nord-est , nord-ouest, sudest, sud-ouest, sont en partie cachées par les précédentes, mais couvrent toutes les autres. Les flèches intermédiaires entre les huit que nous venons de nommer, sont en partie cachées par elles; elles répondent aux huit aires suivantes: nord-nord-est (c'est-à-dire direction intermédiaire entre le nord et le nord-est;, puis nord-nord'Ouest , sud-sud-est, sud-sud-ouest , est~nord-est , est-sud-est, ouest^nord'ouest , ouest-sud-ouest. Les seize autres flèches ne montrent que leur pointe ; elles répondent aux aires intermédiaires entre les seize précédentes, et qui portent les noms suivants : nord-est-quarl^nord, c'est-à-dire entre le nord et Vest, au quart de la distance à partir du nord; puis nordrest^uart-est , c'està-dire entre le nord et Vest, au quart de la dislance à partir de Vest; et ainsi des autres. La distance entre deux aires de vent consécutives est ce qu'on nomme un rhumb.

291. On a recours à la division de la circonférence en parties égales, pour tracer les étoiles, les rosaces qu'on emploie comme ornement dans les arts.

Dans la figure 238, la circonférence est divisée en 6 parties égales, et les arcs intérieurs sont décrits des points de division comme centres, avec le rayon même du cercle.

Dans la figure 239, la circonférence est divisée en 12 parties égales; elles arcs intérieurs sont décrits comme dans la figure précédente.

Pour exécuter la rosace de la figure 240, on trace du même centre deux circonférences difrérentes, indépendamment de celles qui forment le bord et la partie centrale. On divise la circonférence extérieure en 12 parties égales , et l'on mène des rayons aux points de division. On exécute alors dans chaque angle le dessin indiqué par la figure; et l'on donne ainsi à la rosace cette régularité qui la rend agréable à rœil, et que l'on ne pourrait oblemr sans cette méthode.

On dessinera de la même manière Vimposte, ou dessus de porte, représenté par la figure 241, et la croix de la Légion d*honneur, représentée par la figure 242.

etOMÈna kahi. 127