CHAPITRE V

PBOTBlérélI MJ CXEGtB QUI DAPBZfDBNT DB GBLLIt MB P0LT90IIBB

mAevLUBB,

S9S. Nous avons vu que 8i Ton inscrit à un cercle un polygone régulier, et qu'on lui circonscrive un polygone semblable, la ctr^ conférence de ce cercle est toujours plus grande que le périmètre du polygone inscrit, et moindre que le périmètre du polygone circonscrit (276). Nous avons vu, en outre, que si l'on double le nonabre des côtés de ces polygones, le périmètre du polygone inscrit augmente (978), tandis que le périmètre du polygone circonscrit diminue (879). À mesure que le nombre des côtés augmente, ces deux périmètres approchent donc de plus en plus l'un de l'autre; et puisque la circonférence du cercle est comprise entre eux, chacun d'eux approche de plus en plus d'être égal à cette circonférence. Il est donc naturel de regarder cette circonférence elle-même comme le périmètre d'un polygone régulier d'un nombre infini de côtés infiniment petits. Cette manière de considérer les circonférences s'accorde d'ailleurs avec le point de vue sous lequel on envisage, en général, toutes les lignes courbes, et elle conduit immédiatement à des résultats importants.

n est facile de démontrer que la diflérenee entre le périmètre du polygone régulier inscrit, et celui du polygone semblable circonscrit, peut être rendue moindre q[ue toute quantité donnée , en mulUpUant suffisamment le nombre des cdlés.

Soient en eflét ABGDE et dbcde (fig. 230) ces deux polygones, P et p leurs périmètres, Om et Ot leurs apothèmes. D'après le théorème du n* S74, on aura

P:p::0m:0t ou P:p::0a:0i,

d'oii P— p:P::0a— Ot:Oa,

P-,=.m^2iï

Oa

Or, Oa est le rayon du cercle, quantUé constante ; P diminue à mesure que le nombre des côtés augmente ; de plus, dans le triangle aOt, on a ûa^Oi <at; d'où , ^ plus forte raison , Oa — Ot < am.

Mais am peut être rendu aussi petit que Ton veut, en mullipllant suffisamment le nombre des côtés ; donc le second membre de [1] peut lui-même être rendu aussi petit qu'on le voudra.

995. TniORÈn. Les circonférences des cercles sont entre elles comme leurs rayons ou cmnme leurs diamètres.

£n effet, d'après ce que nous venons de dire, on peut considérer deux cercles quelconques conune deux polygones réguliers

128 PRËMiËaE PARTIE.

semblables d'un nombre infini de côtés; en vertu du théorème du n"" S74 , les périmètres de ces polygones sont donc entre eux comme leurs rayons, c'est-à-dire, que les circonférences de ces cercles sont entre elles comme leurs rayons.

D*ailleurs, les diamètres étant le double des rayons, sont entre eux comme ces rayons ; ainsi les circonférences sont aussi entre elles comme leurs diamètres.

Corollaire I. Pour tracer une circonférence qui soit le double, le triple, etc., d'une circonférence donnée , il sufSt donc d'employer un rayon double , triple , etc.

Corollaire II. Soit AB (Gg. 243) une droite quelconque , partagée en un point C en deux parUes quelconques ; si sur la droite enUère el sur les deux parUes on décrit les demi-circonférences AmB, AnC, GpB, la demi-circonférence décrite sur la ligne enlière équivaudra à la somme des deux autres. Car on aura

AnC:CpB:: AG:CB,

d*oii AnG + CpB:AnC::AG + CB:AG ou ::AB:AG.

Mais on a aussi AmB : AnC :: AB : AC.

Ces deux proportions ayant trois termes communs, il faut que le premier soif égal de part et d'autre , et qu'on ait

AHC+CpB=^AmB.

294. Applications. 1. Quand on construit des roues dentées , qui doivent engrener Tune avec l'autre , il est nécessaire de déterminer les diamètres des circonférences primUives (142, I), de manière que les vilesses de rotation soient dans un rapport donné. Supposons , par exemple , que l'une des deux roues doive faire 5 lours quand l'autre en fera 3 ; comme , par l'efTct du conlact de ces roues , le mouvement relatif de leurs circonférences primiUves est le même que si elles se développaient l'une sur l'autre, il faudra que 5 fois la circonférence de la première équi vaille à 3 fois la circonférence de la seconde , ou , en nommant C et G' ces circonférences, qu'on ait Cx5=Cx3 , d'où l'on tire

mais, en vertu du théorème précédent, si Ton nomme R et R' les rayons de ces circonférences , on aura

CîC «sRzR;

donc , à cause du rapport commun ,

C'est-à-<lire qu*il faut que les rayons de ces roues soient en raison inverse des vitesses qu'elles doivent avoir.

Il en serait de même si les roues, au lieu d'être dentées, se communiquaient mutuellement le mouvement par le simple contact ou \ l'aide d'une courroie sans fin.

11. Quand une voiture se meut sur le sol , en ligne droite par exemple , tous les points de la circonférence de ses roues viennent tour à tour appuyer sur le terrain , comme si ces circonférences s'y développaient continuellement. Il en résulte que , dans un temps donné , chaque roue fait d'autant plus de révolulions que sa circonférence est moindre ; en sorte que leurs vitesses sont en raison inverse de leurs circonférences, ou, ce qui revient au même d'après le

GÉOMÉTRIE PLAM£. 129

théorème précédeni , eu raison inverse de leurs diamètres ou de leurs rayons. Si, par exemple, les diamètres des roues de devant et des roues de derrière sont entre eux comme 2 est à 3 , les vitesses de ces mêmes roues sont entre elles comme 3 esl \ 2.

C'est pour celte raison que les roues de devant usent beaucoup plus leurs essieux , et ont plus souvent besoin de réparations que les roues de derrière.

fiOS. Dans les cercles égaux , nous avons vu qu'un même angle au centre est mesuré par des arcs égaux. Il n*en est plus de môme dans des cercles différents : les arcs qui, dans des cercles inégaux, servent de mesure à un même angle au centre sont ce qu'on appelle des arcs semélables.

Théorème. Les arcs semblables sont entre eux comme leurs râpons.

Soient AB et ab (fig. 244) deux arcs semblables, c'est-à-dire servant de mesure aux angles égaux kOB=aob, dans les cercles dont les rayons sont ÀO et ao. On aura d'abord (41) :

AB : cire AO : : AOB : 4 angles droits ,

et ab : cire ao::aob:4 angles droits.

Puisque AOB=aoft, ces deux proportions ont un rapport commun; les deux autres rapports sont donc en proportion, et l'on a

AB : circAO ::ab: circao, ou AB :ab:: cire AO : cire ao.

Mais , d'après le théorème précédent , on a

cire AO : cire ao : : AO : ao ;

donc, à cause du rapport commun entre cette proportion et la précédente,

ABiab:: kOiao.

ÎM. Applications. L.orsque deux roues sont montées sur le même axe , leur titetse angulaire est la même, c'est-à-dire que leurs rayons décrivent des angles égaux dans le même temps. Mais il n'en est pas de même de la vitesse efTective des différents points de leurs circonférences. Les arcs décrits par ces points dans le même temps correspondent à des angles au centre égaux : ce sont donc des arcs semblables ; et ces arcs sont proportionnels à leurs rayons. Ainsi , les vitesses des circonférences de deux roues solidaires ou montées sur le même axe, sont entre elles comme les rayons de ces roues.

En général , la vilesse d'un point quelconque d'une roue , qu'il soit pris à sa circonférence ou en dedans de celle circonférence, esl proportionnelle à la distance de ce point à l'axe de rotation.

C'est en combinant ce principe avec celui des engrenages , qu'on parvient a obtenir les vitesses de rotation considérables qui sont nécessaires dans plusieurs fabrications , et notamment dans les filatures.

2^7. Théorème. Les angles au centre qui correspondent à des arcs de même longueur sont en raison interse des rayons de ces arcs,

Soient R et R' les rayons , l la longueur commuiie des deux ares , « et a' les angles au centre qui leur correspondent. On aura par le théorème du n* 41 ,

l:circR::a:4droits,