C:C'::D:iy
ou, en changeant les moyens de place, C;D::C':D', C C
ou 5=5,.
C'est-à-dire, que le rapport entre une circonférence et son dia-mètre est une quantité constante , quelle que soit cette circonférence. En sorte que si cette quantité constante était déterminée une fois pour toutes , en multipliant le diamètre d*un cercle quelconque par cette quantité , on aurait sa circonférence.
On désigne ordinairement par la lettre grecque ic (prononcez pi) le rapport de la circonférence au diamètre. Si Ton représente alors par R le rayon d'un cercle quelconque, 2R sera son diamètre, et 2RX^, ou, ce qui revient au môme, 2icR exprimera sa circonférence.
899. La quantité iz est comprise entre les nombres 3 et 4. En effet, la circonférence est plus grande que le périmètre de Thexa* gone inscrit, lequel est égal à 6 fois le rayon, ou à 3^ois le diamètre ; on a donc
C>3D, d'où g ou it>3.
D*un autre côté , la circonférence est plus petite que le périmètre du carré circonscrit. Or, si mnpq (fig. 223) est ce carré, on voit
OÊOMfiTRU PLAUB. iSl
qu'on a iftn= AB, et que par conséquent son périmètre équivaut à 4 (ois le diamètre. On a donc
C<4D, d'où g ou ir<4.
Ainsi it est compris entre 3 et 4.
Nous allons faire yoir comment on a pu déterminer sa valeur , du moins par approximation.
500. Lehmb. Étant donné le périmètre d'un polygone régulier, on peut toujours trouver un polygone régulier ayant ce périmètre, et tel que les circonférences inscrite et circonscrite à ce polygone diffèrent entre elles de moins d'une quantité donnée quelconque d.
Appelons P le périmètre donné ; concevons qu'on le divise successivement en 4, 8, 16, 32 parties , et ainsi de suite , jusqu'à ce que chacune de ces parties soit plus petite que le quart de la quantité donnée d. Soient alors n le nombre de ces parties , et AB (fig. 318) l'une d'elles. Imaginons que l'on construise sur AB un polygone régulier de n côtés; son périmètre sera égal à P, c'est-à-dire au périmètre donné.
Soient OA et OH son rayon et son apothème , ou , ce qui revient au même, les rayons des cercles inscrit et circonscrit. On aura, en vertu du théorème du n* S93 ,
drcOA:circOH::OA:OH; d'où l'on tire
drcOA— circOH : circOH :: OA— OH: OH;
et par suite
' i\L • Aw circOHx(0^"-OH) .,cire OA— cire 0H= gg • [1 J.
Une circonférence étant moindre que 4 fois son diamètre , ou que 8 fois son rayon , on a
circ0H<0Hx8, d'où ^^^^<S [2].
IVon autre côté , dans le triangle AOH , on a
OA— OH<AH, c'est-à-dire OA— OH<iAB.
Or, par hypothèse, on a
AB<^, d'où 4AB<g;
donc, à plus forte raison, on aura
13S PBEHIÈBE PABTIE.
Multiplions membre à membre les inégalités [2] et [3], l'inégalité subsistera encore dans le même sens , et l'on aura
circOHx(OA— OH) ^d^^ OH ^l^^'
Mais, en vertu de la relation [1], le premier membre de cette dernière inégalité équivaut à cire OA — cire OH, et d'ailleurs le second membre équivaut à d ; on peut donc écrire
cire OA — cire OH < d ,
c'est-à-dire que la différence entre les circonférences circonscrite et inscrite est moindre que la quantité donnée d.
Corollaire. Le périmètre du polygotie étant nécessairement compris entre la circonférence du cercle inscrit et celle du cercle circonscrit, il résulte de ce qui précède que la différence entre ce périmètre et l'une de ces circonférences, est, à plus forte raison , moindre que la quantité donnée d.
Ml. Par conséquent, si l'on savait calculer les rayons des cercles inscrits et circonscrits à une série de polygones réguliers de même périmètre, mais d'un nombre de côtés toujours croissant, en multipliant suffisamment le nombre de ces côtés , on finirait par arriver à deux circonférences , l'une inscrite et Tautre circonscrite, différant entre elles d'aussi peu que l'on voudrait. La différence de leurs rayons deviendrait , à plus forte raison , moindre que toute quantité assignée , et l'on pourrait prendre le périmètre conslant des polygones pour la longueur de la circonférence correspondante à l'un de ces deux rayons. 11 serait alors facile de déduire de là ie rapport de la circonférence au diamètre , avec telle approximation que l'on voudrait. C'est ce que nous allons faire.
502. Problème. Connaissant les rayons vetKdes cercles inscrit et circonscrit à un polygone régulier, calcvler les rayons r' etJi' des cercles inscrit et circonscrit à un polygone régulier de même périmètre, mais d'un nombre de côtés double.
Soit AC = a (fig. 245) le côté du polygone donné , 0 son centre, B le milieu du côté AC; on a OB=r et OA=:R. Prolongeons OB d'une quantité OD égale à OA, et joignons DA et DC. Le triangle AOD étant isocèle, l'angle DAO est égal à l'angle ODA : l'angle AOB, extérieur à ce triangle, et qui équivaut, comme on sait (i 75, Coroll . IV), à la somme des angles OAD et ODA, est donc ie double de l'angle ODA. De même l'angle BOC est le double de ODC ; donc AOC est le double de ADC. L'angle ADC équivaut donc à l'angle au centre d'un polygone régulier dont le nombre des côtés est double de celui du polygone proposé.
Cela posé, du point 0 abaissons 01 perpendiculaire sur AD; le
GÉOMÉTRIE PLANE. iSS
triangle ÂOD étant isocèle , le point I sera le milieu de AD. Menons IH parallèle à ÀC ; nous aurons
