IH:AG::ID:AD

c'est-à-dire que IH est la moitié de AG. Donc IH est le côté d'un polygone régulier de même périmètre que le polygone proposé et d'un nombre de côtés double. D'ailleurs, puisque DA égale DC^ on a DI=DH. On peut donc regarder le point D comme le centre de ce polygone, d'après ce qui a été dit tout à l'heure relativement à la valeur de l'angle ADC.

Soit m le point de rencontre des droites IH et DB; ce sera le milieu de IH, puisque les parallèles AC et IH sont coupées proportionnellement par les droites DA, DB , DC, et que le point B est le milieu de AC. On aura donc Dm = r' et ID = R^ Ce sont ces deux longueurs qu'il s'agit de calculer.

Or la similitude des triangles ImD et ABD donne

Dt»:DB::Dl:DA,

c'est-à-dire que Dm est la moitié de DB. On a donc

^ BD BO-)-OD BO-fOA '*^=T=— 2— ==— T— '

ou '•--i- [i]i

c'est-à-dire que le rayon r' est moyen arithmétique entre les rayons r et R.

Maintenant, dans le triangle rectangle OID, la droite Im, parallèle à AB et par conséquent perpendiculaire à BD, étant abaissée du sommet de l'angle droit perpendiculairement sur l'hypoténuse, on a(a04,Coroll. II):

IB"=DmxOD; d'où ID = v/DmxOD = v^DmxOA,

ou R'=:V^7><1 [2],

c'est-à-dire que le rayon R' est moyen géométrique entre les rayons r'etR.

Ainsi, lorsqu'on connaît les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un polygone régulier quelconque , les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un polygone régulier de même périmètre, mais d'un nombre de côtés double, s'obtiennent, l'un par une moyenne arithmétique , l'autre par une moyenne géométrique.

305. Pour appliquer ces moyens de calcul à la recherche qui nous occupe , on prend pour point de départ un carré , dont on représente le périmètre par 8. Le rayon du cercle inscrit est alors 1 ,

Uk PBEMIfeBB PARTIB.

comme nous Vavoùs vu tout à Theure. Quant au rayon du cercle circonscrit, il est facile de l'obtenir; car si AB (fig. 246) est le demicôté du carré circonscrit , 0 son centre , AO son rayon , et OB son apothème , on a, par la propriété des triangles rectangles,

AÔ*=(5B»+Aff;

mais le périmètre du carré circonscrit étant représenté par 8, son côté est égal à 2 , et son demi*côté AB est égal à 1 , et puisque le rayon OB est aussi égal à 1, et que le carré de 1 est 1, on a

A0»=l+1=2, d'où A0=s/2.

Nous avons donc r=l et R=v/2. Si Ton met ces valeurs à la place de r et de R dans les égalités [1] et [2] du numéro précédent , les valeurs de / et de R' exprimeront les rayons des cercles inscrit et circonscrit au polygone régulier de même périmètre que lec^ré d'où nous sommes partis , mais d'un nombre double de côtés , c'està-dire de 8 côtés.

Si l'on met ces nouvelles valeurs à la place de r et de R dans les égalités [1] et [2], les valeurs qu'on en déduira pour r' et R' exprimeront les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un polygone régulier, ayant toujours le môme périmètre, mais deux fois plus de côtés que le précédent , c'est-à-dire 16 côtés.

En continuant ainsi, on formera le tableau suivant :

IfOHBHB DB CÔTÉS EATON DU CERCLE RATON DC CERCLE

dû polygone. inâcrii. circonicrii.

128 1,272983 I,2733tt7...

elc. etc. elc

On voit que, pour un polygone de 4096 côtés dont le périmètre équivaut à 8 , la différence entre les rayons des cercles inscrit et circonscrit est moindre qu'une unité du 6*" ordre décimal, et comme chaque circonférence est moindre que 8 fois son rayon, la différence entre les circonférences des cercles inscrit et eirconscrit est moindre que 8 unités du 6" ordre décimal , moindre par conséquent qu'une unité du 6" ordre. Si cette approximation paraît suffisante, on peut prendre le périmètre constant des polygones, lequel a été

GÊOMÉTRIfi PtANB. 155

supposé équivalut à 8 , pour l'une des deux circonférences , puisqu'il est compris entre elles , c'est-à-dire pour la circonférence dont le rayon est 1,273239... Ainsi une circonférence égale à 8 a un rayon égal à 1,273239... Le rapport entre cette circonférence et son diamètre y ou, ce qui revient au même, le rapport entre la demi-circonférence et le rayon est donc

rinWîF, ou f§?§§§g, ou 3,l4l59...

Or c'est ce rapport, constant pour tous les cercles (S98), que nous avons désigné par w; on a donc ^=3,14159...

Par des méthodes plus expéditives, mais qui ne sont point élén^ntaires , on a calculé le rapport de la circonférence au diamètre, jusqu'à la 140" décimale. Voici les 10 premières :

ic =3,1415926535...

504. On a cherché à exprimer ce rapport sous une forme fractionnaire simple. La plus simple des expressions de ce genre est le rapport indiqué par Archimède, ic=y=3,142... Ce rapport, comme on peut voir , est trop fort d'un peu plus d'un millième; mais cette approximation suffit dans presque toutes les applications des arts.

Si l'on veut un rapport plus rapproché , on peut prendre celui qui porte le nom de Métius , 7t=î-6| = 3,1415929... Ce rapport est, comme on voit , exact jusqu'aux millionièmes. Il est , de plus , facile à retenir; car si l'on écrit deux fois de suite sur une môme ligne chacun des trois premiers chiffres impairs, et qu'on en fasse deux groupes de trois chiffres , on obtient les deux termes de ce rapport

30tf . Afin de familiariser le lecteur avec l'emploi de ces divers rapports, nous allons résoudre quelques problèmes numériques relatifs à la mesure de la circonférence.

I. Problème. Le diamètre d'une pièce de 40 francs est de 26 millimètres, quelle est la longueur de sa circonférence ?

Pour résoudre cette question, il suffit de multiplier le diamètre 26*^ par le rapport de la circonférence au diamètre (298). Pour avoir le résultat à moins d'un lO"* de millimètre, on peut ici faire usage du rapport d' Archimède, la circonférence cherchée équivaut donc à 26"*° X", ou à 81™, 7 environ.

II. Problême. Trouver le diamètre d'un àassin circulaire dont la circonférence a 82™,7.

Puisque, pour obtenir la circonférence d'un cercle quand on a son diamètre , il faut multiplier ce diamètre par le rapport ic ; réciproquement si c'est la circonférence qui est donnée, en la divisant

par le rapport ir on aura son diamètre. Pour obtenir le quotient à moins d'un centimètre, prenons le rapport de Métius, nous aurons, pour la valeur du diamètre cherché, 82",7:f||, ou82"",7Xiç|» ou enfin 26",32.

IIL Prorlème. Le rayon de l'équateur est de 6376984"^ quel est le chemin décrit par chacun des points de sa circonférence dans l'espace d'une seconde ?

Le diamètre de Téquateur étant équivalent à deux fois 6376984" ou à 12753968'", on aura sa circonférence en multipliant ce nombre par le rapport de la circonférence au diamètre. Pour obtenir le produit à moins d'un mètre, servons-nous des huit premières décimales de la valeur de ^ indiquée plus haut ; la circonférence cherchée sera 12763968™ X 3, 14159265, ou 40067772'», en négligeant les fractions de mètre. Tel est le chemin que parcourt en 24 heures chacun des points de Téquateur. Pour en déduire le chemin qu'il parcourt en une seconde, il faut diviser ce nombre de mètres par le nombre de secondes contenues dans 24 heures , c'est-à-dire par 86400. En effectuant la division, on trouve pour quotient 46â™,7 environ.

IV. Prorlème. Le diamètre des roues de derrière d'une voiture est de l'",2; celui des roues de devant est 0"*,8; combien de tours fait chacune de ces roues, quand la voiture parcourt un espace d'un kilomètre?

Pour calculer la circonférence de la roue de derrière, multiplions 1"*,2 par le rapport 3,1416 (quand on ne prend que quatre décimales, on augmente la quatrième d'une unité, à cause du chiffre suivant, 9, que l'on néglige; c'est un moyen d'atténuer l'erreur). Le produit est 3"',7699.., ou 3'",77. Divisons maintenant 1^" ou 1000", par celte circonférence , le quotient exprimera le nombre de tours faits par la roue dont nous parlons. Ce quotient est 265,2... Ainsi la roue de derrière fait un peu plus de 265 tours par kilomètre.

Nous pourrions opérer de même pour la roue de devant ; mais les nombres de tours doivent être entre eux en raison inverse des diamètres des roues, et en désignant par x le nombre de tours faits par la roue de devant , on doit avoir

ou 2:3:: 265,2 :a?.

On tiredelà a?=^i^=397,8.

Ainsi la roue de devant fait près de 398 tours par kilomètre.

308. La rectification des arcs de cercle se déduit facilement de celle des circonférences. Si l'on désigne par A la longueur d'un arc , par N le nombre de degrés , minutes et secondes dont il se compose,

GtoMÉTBlB PLANI. 137

et par C la longueur de la circonfér^ce à laquelle il appartient, on aura évidemment:

Ontiredelà A=Cx^=^,

en désignant par R le rayon.

C'est-à-dire que pour obtenir la longueur d'un arc, il faut multiplier celle de la circonférence à laquelle il appartient par le rapport entre le nombre de degrés dont il se compose, et 360 degrés.

On lire aussi de la même proportion

N-.360-Xê-— 2;jR—

C'est-à*dire que pour obtenir la valeur d'un arc en degrés et frac-» tions de degré , lorsque sa longueur est connue, ainsi que celle de la circonférence à laquelle il appartient, il faut multiplier 360* par le rapport entre la longueur de Tare et celle de la circonférence. Nous allons appliquer ces principes à des exemples numériques.

307. I. Problème. Un cercle méridien (instrument d'astronomie) a 0°*,92 de diamètre; quelle est sur sa circonférence la longueur d'un arc de \S^2&2

La circonférence de ce cercle a pour longueur 0"',92X 3,141 ou 2"',890. Si Ton désigne par x la longueur de l'arc proposé, on aura donc

IL Problème. Quel est, sur la même circonférence j tare gui a 1" de longueur.

Appelons X la valeur de cet arc en degrés et fractions de degré, nous aurons la proportion

2«,89:l"::360*:ic; d'où ir=360^XiAir, ou x= 124« 34'2",9 environ.

III. Problème. Deux lieux situés sous Véquateur sont à 5^ 17' de distance en longittide, exprimer cette distance en myriamètres.

La circonférence de l'équateur étant de 40067772"", si nous désignons par X la distance demandée, nous aurons :

360* : 5*17' :: 40067772~ : X , ou bien 21600' : 317' : : 40067772» : x.

On tire de là :

X = 490fl^772.x9t7 =588032™ environ ,

ou a?=58»y',8.

lY. Problème. Sous le 47* degré de latitude, chaque degré de longitude vaut 75782 mètres; quel est le rayon de ee parallèle?

Si Ton multiplie par 360 la valeur de chaque degré , on aura la longueur de la circonférence entière ; on trouve ainsi 27281520". Pour avoir le diamètre de cette circonférence, il faut la diviser par le rapport 3,1415926...., ce qui donne pour quotient 8683978" environ. Le rayon demandé est la moitié de ce quotient, c'est-àdire 4341989".

308. Remarque I. Si Ton n'avait à sa disposition aucune mesure, et qu'on voulût obtenir une longueur égale à la circonférence d'un cercle tracé sur le papier ou sur un tableau , on arriverait à une approximation suffisante , en remarquant que le rapport d'Àrchimède, ^, équivaut à 3 j; ce qui veut dire que la circonférence équivaut, approximativement, à 3 fois son rayon plus la septième partie de ce rayon. Cette valeur est un peu trop forte, mais Terreur ne s'élève pas à 2 millièmes, c'est-à-dire à un 500* du rayon, et cette approximation est suffisante dans les cas ordinaires. Nous ferons connaître plus tard une construction qui donne une valeur beaucoup plus approchée.

309. Remarque II. Il peut arriver qu'on ait à mesurer sur le terrain une circonférence dont le rayon est inconnu, et dont on ne peut distinguer le centre. C'est ce qui arriverait, par exemple, s*îl s'agissait de mesurer la circonférence du pied d'une tour, d'un bassin, etc. Voici comment on pourra opérer pour se procurer le rayon.

Prenez , sur la circonférence donnée , deux points k et B (fig. 247), à volonté. De ces points comme centres, avec une même longueur de cordeau pour rayon, décrivez deux arcs de cercle qui se coupent en un point M; déterminez de la même manière un second point N, en changeant seulement la longueur du cordeau. Tirez la droite MN : cette droite prolongée irait passer par le centre 0 ; car, d'après la construction, elle a deux de ses points à égale distance des extrémités de la corde AB, et est par conséquent perpendiculaire sur le milieu de cette corde. Menez de la même manière une seconde droite DI qui aille passer par le centre. Au point C, intersection de MN avec la circonférence donnée, élevez CH perpendiculaire à CM. Sur le prolongement de cette perpendiculaire prenez CK=CII. Enfin menez KL parallèle à DI.

La droite CL sera égale au rayon CO. Car les deux triangles OCH et LCK seront égaux comme ayant un côté égal CK=CH , adjacent à deux angles égaux chacun à chacun , savoir, OCH = LCK comme droits, et OHC==LKC comme alternes-internes. On n'aura donc qu'à mesurer la droite CL, et l'on aura le rayon cherché.

GÊOMÊTIIB PUNB. \19