DE LA MESURE DES AIRES

3i6. Mesurer Taire d'une figure, c'est la comparer à une autre aire prise pour unité.

On choisit pour unité d'aire celle d'un. carré auquel on donne pour côté Tunité de longueur. Si, par exemple, Tunité de longueur est le mètre, Tunité d'aire est celle d'im carré qui a un mètre de côté, et qu'on appelle mètre carré.

Si l'on prend pour unité de longueur le décimètre, on prend pour unité d'aire un carré qui a un décimètre de côté, et qu'on appelle décimètre carré; et ainsi de suite.

Ainsi, en admettant que abcd (fig. 259) soit un carré dont le côté ab ait l'unité de longueur, mesurer l'aire d'un rectangle ABCD, c'est chercher combien de fois sa superficie ou son aire contient celle du carré abcd. Pour obtenir cette évaluation, on pourrait croire qu'il faut recouvrir la surface ABCD avec des carrés égaux à abcd^ et compter le nombre de ces carrés; mais on va voir qu'il n*est point nécessaire de recourir à cette opération , qui serait impraticable dans la plupart des cas.

317. THÉORtME. L'aire d'un rectangle a pour mesure le produit de sa hase par sa hauteur.

Soit ABCD (fig. 259) un rectangle. (On donne le nom de base à l'un quelconque de ses côtés, ordinairement à celui qui occupe le bas de la figure ; l'un quelconque des côtés adjacents à la base est alors ce qu'on nomme la hauteur.)

L'énoncé ci-dessus signifie que pour obtenir le nombre d'unités d'aire que contient la superficie du rectangle , il faut chercher le nooibre d'unités de longueur contenues dans sa base AB, le nombre

d'unités de longueur contenues dans sa hauteur AI), et multiplier ces deux nombres l'un par l'autre.

En effet , pour fixer les idées , supposons que ÀB contienne 7 fois l'unité de longueur ab^ et que la hauteur AD la contienne 5 fois. Divisons la base en 7 parties égales , et par tous les points de division menons des parallèles à la hauteur. Divisons la hauteur en 5 parties égales , et par tous les points de division menons des parallèles à la base. Les divisions de AB se trouvant précisément égales à ab ainsi que les divisions de AD , toutes ces divisions sont égales entre elles. D'ailleurs, à cause des propriétés des parallèles (134), toutes les parallèles à la base seront divisées en parties égales par les parallèles à la hauteur, et vice versa; de plus tous les angles de la figure seront droits. Le rectangle ABCD se trouvera donc partagé en petits carrés • égaux à abcd, c'est-à-dire en unités d'aire. Le nombre de ces unités est facile à obtenir. Car le rectangle ABCD se^^trouve partagé en autant de bandes horizontales qu'il y a d'unités de longueur dans AD, c'est-à-dire 6 bandes ; et chacune de ces bandes se compose d'autant de petits carrés qu'il y a d'unités de longueur dans AB , c'està-dire de 7 carrés. Le nombre total des carrés est donc 5 X7 ou 35, c'est-à-dire que le rectangle ABCD contient 35 unités d'aire.

On voit que pour obtenir ce nombre d'unités d'aire, on a multiplié 7, nombre d'unités de longueur contenues dans la base AB , par 5 , nombre d'unités de longueur contenues dans la hauteur AD , c'est-à-dire , en langage abrégé , que l'on a fait le prodiût de la base du rectangle par sa hauteur. D'ailleurs, les raisonnements que nous venons d'employer sont tout à fait indépendants du nombre d'unités de longueur contenues dans la hauteur et dans la base; ainsi le théorème est démontré pour tous les cas où la base et la hauteur contiendront chacune un nombre exact d'unités de longueur.

Or, si cette condition n'est pas remplie, rien n'empêchera de recourir à une unité de longueur de plus en plus petite, jusqu'à ce que cette unité soit contenue un nombre exact de fois dans la hauteur et dans la base ; et alors le théorème aura encore lieu.

Si la base et la hauteur sont incommensurables , on pourra toujours les rapporter à une unité de longueur assez petite , pour que cette unité soit contenue un nombre exact de fois dans chacune d'elles, à cela près d'un reste aussi petit que Ton voudra, et qui, dans la pratique, finira toujours par devenir inappréciable. On pourra donc considérer encore le théorème comme vrai dans ce cas.

Nous démontrerons bientôt, par des raisonnements indépendants de ce que nous venons de dire et de ce qui va suivre, un autre théorème qui donnera à celui-ci, dans le cas théorique de l'incom*

GÉOHÉTBII PLAHë. 143

mensiurable , toute la rigueur désirable ; mais nous tenions à présenter d'abord la proposition de la manière la plus frappante.

CoKOLLUBX. Dans le cas où le rectangle proposé est un carré, la base et la hauteur sont égales , et pour obtenir le nombre d'unités d*aire contenues dans la superficie de ce carré, il suffit de multiplier par lui-même le nombre d'unités de longueur que contient l'un de ses côtés. Si, par exemple, le côté de ce carré contient 2 unités de longueur, sa superficie contiendra 2X2, on 4 unités d'aire. Si le côté du carré contient 3 unités de longueur, sa superficie contiendra 3X3, ou 9 unités d'aire, et ainsi de suite.

C'est pour cela qu'on donne en arithmétique le nom de carré au produit d'un nombre par lui-même.

318. Cette observation nous permet de faire comprendre comment se subdivisent les unités d'aire.

Un centimètre valant 10 millimètres, un centimètre carré vaut 10 X 10 ou 100 millimètres carrés.

Un décimètre valant 10 centimètres , un décimètre carré vaut 10 X 10 ou 100 centimètres carrés.

Un mètre valant 10 décimètres , un mètre carré vaut 10 X 10 ou 100 décimètres carrés.

Un décamètre valant 10 mètres , un décamètre carré vaut 10 X 10 ou 100 mètres carrés.

Un hectomètre valant 10 décamètres, un hectomètre carré vaut 10 X 10 ou 100 décamètres carrés , et ainsi de suite.

Rappelons ici que, dans la mesure des terres , l'hectomètre carré prend le nom d* hectare ^ le décamètre carré le nom i'are, et le mètre carré le nom de centiare.

Rehabque. Dans le système métrique, les difiërentes unités d'aire se convertissent sans calcul les unes dans les autres ; il suffit , pour opérer cette conversion, d'un simple transport de virgule. Ainsi, 16— ,651973 reviennent à 1665'»«"'°%1973, ou à 166519'^"*%73 ou à 16e51973'"""-'«. De même 273654'-« reviennent à 2736^«*"*S64, ou à 27'»«'^«,3654, ou à 27 hectares 36 ares et 54 centiares.

319. Applications. Comme application de ce qui précède, nous allons résoudre quelques problèmes numériques.

I, — Problème. Le plancher d'une salle carrée a 5°*,23 de longueur, quelle est sa superficie ?

Le côté du carré contient 623 centimètres ; la superficie contient coDséqueniment 623 X 523, ou 273529 centimètres carrés; ce qui revient à 27"»*' 36'***^°*'* 29**°*•^

IL — Pboblèmb. La toile d'un tableau, de forme rectangulaire, a 4-23 de largeur, sur 2»,6l de hauteur; queUe est sa superficie ?

La largeur est de 423 centimètorea ; la hauteur est de 261 centÎT

ikll PBBUIËBE PARTIE.

mèires ; la superficie demandée est donc 423 X ^i , ou 1 10403 centimètres carrés, ce qui revient à ii«»c4dec.c gcem.c

m. — Problèhe. Quelle est la superficie d'un champ de forme rectangulaire de 24'*'**",7 de] longueur, sur 13^**^,3 de largeur f

La base du rectangle a 247 mètres ; sa hauteur a 133 mètres. La superficie de ce rectangle est donc de 247 X 133, ou 32851 mètres carrés; ce qui revient à 3 hectares 28 ares et 51 centiares.

320. THSOBtMB. L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Soit âBCD (fig. 200) un parallélogramme. (L'un deses cdtés, ordinairement celui qui occupe le bas de la figure, se nomme sa base; sa hauteur est la distance entre la base ÂB , et le côté DG parallèle à cette base, distance qui se mesure par la longueur de la perpendiculaire Bm, commune à ces deux lignes.)

L'énoncé ci-dessus signifie que, pour obtenir le nombre d'unités d'aire contenues dans la superficie du parallélogramme ABCD, il faut chercher le nombre d'unités de longueur contenues dans la base ÂB , le nombre d'unités de longueur contenues dans la hauteur Bm, et multiplier ces deux nombres Tun par l'autre.

Pour le prouver, menons par le point À une parallèle à Bm ; cette parallèle rencontrera en un point n le prolongement de CD. La figure ÂBmn est un parallélogramme rectangle. On a, d'après cela, An=Bm; on a, de plus, AD=BC; d'ailleurs, les angles nkD et mBC sont égaux, comme ayant leurs côtés parallèles chacun à chacun , et dirigés dans le même sens ; donc les triangles ÂnD et BmC sont égaux , comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun.

Mais , si de la figure totale* ABCn on retranche le triangle AnD , il reste le parallélogramme ABCD; si de la même figure totale ABCn on retranche le triangle BmC , il reste le rectangle ÂBmn. Or, si d'une même quantité on retranche alternativement deux quantités égales, les restes sont égaux. Ainsi, les figures ÂBCD et ÂBmn, différentes de forme , sont équivalentes en superficie. L'aire du parallélogramme a donc pour mesure la mesure de l'aire du rectangle, c'est-à-dire AB x Bm, ou le produit de la base AB du parallélogramme par sa hauteur Bm.

ÂPPLiCATiON. Supposons que dans un parc il se trouve une prairie ayant la forme d'un parallélogramme, dont la base ait 3'**'"", 17, ou 317 décimètres, et la hauteur 1^*«^*«>,85, ou 186 décimètres : la superficie de cette prairie sera de 317 X 185, ou 58645 décimètres carrés, ce qui revient à 5 décamètres carrés, 86 mètres carrés et 45 décimètres carrés.

521. THiORÈVB. L'aire d'un triangle a pour mesure la moitié du produit de sa base/>ar sa hauteur.

GÉOMfiTRUS PLANE. US

(Chaque côté d'un triangle peut être pris pour sa base; sa hauteur

est la longueur de la perpendiculaire abaissée de Tun des sommets

SUT le côte opposé pris pour base. Si, par exemple, on prend le

c6té AB (fig. 261 ) pour la base du triangle ÂBC, sa hauteur sera la

perpendiculaire CD, abaissée du sommet C sur la base.)

L'énoncé ci-dessus signifie que, pour obtenir le nombre d'unités d*aire contenues dans la superficie d'un triangle, il faut cberdier le nombre d'unités de longueur contenues dans la basede ce triangle, le nombre d'unités de longueur contenues dans sa hauteur, multiplier ces deux nombres l'un par l'autre, et prendre la moitié du produit.

Pour le prouver, menons Cm parallèle à AB, et Bm parallèle à AC ; la figure ABmC sera un parallélogramme. Mais les triangles ACB et mBC, qui ont le côté CB commun, les angles ACB=mBG comme alternes-internes, et les angles À3C = mCB par la môme raison, sont égaux, comme ayant un côté égal adjacent à des angles égaux chacun à chacun. Donc l'un d'eux, ABC, est la moitié du parallélogramme ABmC.

Or, Vdîre de ce parallélogramme a pour mesure le produit de sa base AB, qui est aussi celle du triangle , par sa hauteur CD , qui est aussi la hauteur du triangle. Celui ci a donc pour mesure la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Rbmirqui. Pour diviser un produit par 2 , il sufSt de diviser par 2 l'un de ses facteurs ; on peut donc , pour obtenir l'aire d'un triangle , multiplier sa base par la moitié de sa hauteur, ou sa hauteur par la moitié de sa base. Cette observation peut servir à abréger le calcul, quand l'un des deux facteurs est un nombre pair.

Application. Supposons que la base d'un triangle ait ll'«,4 ou 114 décimètres, et la hauteur 8'°,7ou87 décimètres, on pourra multiplier la moitié de la base, ou 57 décimètres, par la hauteur. On trouvera ainsi que Taire du triangle équivaut à 4959 décimètres carrés, ou 49 mètres carrés 59 décimètres carrés*

3S2. Théorèmb. L*aire d'un trapèze a pour mesure le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses bases.

(On nomme hauteur d'un trapèze la distance de ses côtés parai* lèles, c'est-à-dire la longueur de la perpendiculaire commune à ces deux côtés, lesquels prennent le nom de bases. )

L'énoncé ci-dessus signifie que, pour trouver combien la superficie d'un trapèze contient d'unités d'aire, il faut chercher combien les bases parallèles contiennent d'unités de longueur, ajouter les deux nomibres obtenus, prendre la moitié de la somme, et la multiplier par le nombre d'unités de longueur contenues dans la hauteur du trapèze.

En effet, soit ÂBCD (fig. 262) un trapèze. Menons la diagonale kC »

140 PRBMIÈAB PARTIE.

elle divisera le trapèse en deux Iriangles. Lé premier, ÂBG, aura pour mesure ^ABxA, en désignant par h sa hauteur ^ qui est aussi celle du trapèze. Le second, ÀCD, aura pour mesure ^DCx A, puisque sa hauteur est également celle du trapèze* L*&ire de céluin^i aura donc pour mesure

iÂBxA+iDCXA,

ou i(AB+DC)XA,

c'eât-à-dire la detoi-somme des bases multipliée paf la hâutèUr.

ftEMARQUE. Il est facile de trouver sur la figure une Ugne précisément égale à la demi-somme des bases. Pour cela, par le milieu 0 de la diagonale ÀC , il suffit de mener une parallèle IH aux deux bases. En effet , 10 étant parallèle à DC , on aura (145)