IO:DC::AO:A

et, puisque AO est la moitié de AC , la droite 10 est aussi la moitié de DC. On prouverait de même que OH est la moitié de A6.

On à donc IH=iAB+îDCt*=«KAB+DC)

ou la demi-somme des bases.

Le point 0 étant le milieu de AC, le point I est aussi le milieu de AD, et le point H le milieu de CB (156). La droite ISL, égale à ta demi-somme des bases, peut donc s'obtenir enjoignant les milieux des côtés non parallèles.

APPLICATION. Une pièce de terre a la /orme d'un trapèze, dont la hauteur est de 97 mètres, et dont les bases ont respectivement 231 mètres et 145 mètres; on demande sa superficie. La somme des deux bases est 376 mètres, dont la moitié est 188 mètres,* multiplions cette demi-somme par la hauteur 97 mètres carrés, nous trouverons pour produit 18236 mètres carrés, ou 1 hectare 82 ares et 36 centiares. .

523. Ce qui a été dit au n*" 521 fournit les moyens d'évaluer Faire d'un polygone quelconque; car, tout polygone pouvant se décomposer en triangles, il suffit de calculer séparément Taire de chacun d'eux et de faire ensuite la somme de toutes ces aires. Cette décomposition en triangles peut s'opérer de plusieurs manières.

On peut , comme l'indique la figure 263 , mener par un même sommet A toutes les diagonales AC , AD, AE ; on abaissa alors, du point B, une perpendiculaire sur AC, c'est la hauteur du triangle ABC ; du point C une perpendioulaire sur AD , c'est la hauteur du triangle ACD ; et ainsi de suite. On mesure ces perpendicttltiras , amsi que les diagonales AC , AD, A£, et l'on a les élémenlB néoessaires pourcalculer Taire du polygone ABCDJSF.

GtoMtmn »umu f AT

On peut, QomtTie Tindique la figure 264, imaginer le polygone décomposé en triangles par des lignes menées d'un même point intérieur 0 à tous les sommets; il n*est pas nécessaire de tirer réellement ces lignes. On abaisse du point 0 des perpendiculaires sur tous les côtés du polygone; on mesure ces perpendiculaires, ainsi que les côtés AB, BC, CD, etc., du polygone, et Ton a tous les éléments nécessaires pour calculer sa superficie.

Si4. Dans l'Arpentage, on emploie une méthode qui diminue de beaueoup le nombre des opérations \ efftdueT sur le terrain.

Soit ABCDEP6 (fie. 365] le polygone dont on se propose d'évaluer la super* flde. On plante des jalons à tous les sommets du polygone» si aucun d'eux n'est déterminé par quelque objet qui puisse servir de point de mire. Par les deux sommets les plus éloignés , A et E, on Ure la droite AE, li laquelle on donne le nom de directrice. De tous les sommets B , C, D, F, G, on abaisse sur celte directrice les perpendiculaires Bm, Cn, Dp, Fg, Gr* Le polygone se trouve ainsi divisé en triangles rectangles et en trapèzes rectangulaires. Ce mode de déco mposition offire» entre autres, l'avantage de n'avoir à transporter l'équerre d'arpenteur que le long de la directrice pour déterminer les points m, r, n, g, p. En outre, après la décomposition opérée, on n'a plus aucune autre ligne à tirer pour évaluer l'aire de chacune des parties dont le polygone se compose.

On mesure à la chaîne les perpendiculaires Bm, Gn, Dp, F^, Gr; et les difTérentes parties Am, mr, m, ng, qp, pE de la directrice. On a alors

ABm=|AmxBmi BmnG=:imfix(Bm-f Gn),

et ainsi des autres, ce qui donne t

Aire ABCDEFG=i [AmxBm-f mnx (B»i+Cn)-fiV X(C« + Dp) -h pEx Dp

+ Eqx¥q + qrx{¥q + Gr) + rkx.Gr].

Application. Si Von suppose qu'on ait trouvé les valeurs suivantes:

Afn=20-,5; mii=60-,8; «p=:2ST-,Ij pE«ai-,8; qE=s65-,7; rq=73-,6j Ar=40-,4; Bm«27-,î; €«^62"; I)p=4S-,6, Fq[=r6a-,1; Gr=48-.9.

on aura, en effectuant successivement les opérations indiquées,

Afare ABGDEFG » J [65T— ^+ 47T6—,7e + SS&S— ,05 + lISS-'Me-f 846S— ,97 + 81<»-%60 + ie7é-%W] ,

OU Aire ABCDEFO =cr lt37|"^giginsfte*"*,92:=^ 1 hectare 3S afes S7 cenUares

(on augmente le cbllAre des unités de centiares, ^ cause du chiffré suivant, 9, que Ton néglige).

Besarque. La longueur du calcul précédent tient surtout aux multipllcaUons 9i effectuer. On peut en diminuer le nombre , en remarquant que l'expression de i'alre du polygone peut s'écrire comme U suU i

Aire ABGDEFG = i [(Am + mn) xBm + (*»»n + np)xC»i + (np + pE)Xl)p + (Eq + qr) X Fq + («r + rA) x Gr].

En adoptant les valeurs précédentes , on trouverait alors : Aire ABGDEFG = H2191"%''^+«^W"80+8867-%15+8029—.58+5674-%C0] ^lAlljfMà ^ 1 hecUre 28 ares 67 centiares.

m. u pe^ «Priver que ilUérienr du polygone soit inaccesiiMe > en ■ recours ; ce cas à la méthode suivante ;

i/i8 PREMIÈRE PARTIE.

Soit ÀBGDEFG (fig. 266) le potygone proposé. Après avoir planté des jalons à tous les sommets , on prolonge l'un des c6lés , par exemple GF. Des sommets extrêmes A et E on abaisse sur le prolongement de GF les perpendiculaires AM et EN, que Ton prolonge au delà des points A et E. Du sommet G, le plus éloigné de GF, on abaisse sur les droites AM et EN prolongées une perpendiculaire commune PO. On forme ainsi un grand rectangle MNOP, dans lequel le polygone proposé se trouve en quelque sorte inscrit.

La méthode consiste à évaluer Taire de ce rectangle , et à retrancher Taire de la partie comprise entre le polygone et les côtés du rectangle ; le reste exprime évidemment Taire du polygone. Pour cela, de tous les sommets du polygone qui ne »ont point situés sur quelqu'un des côtés du rectangle, on abiaisse des perpendiculaires Bm, Dn sur ces côtés. On mesure à la chaîne ces perpendiculaires, ainsi que les longueurs AM, Am, Pm, PC, 00, On, nE, EN, FN, FG, MG. 11 est facile alors d'évaluer le rectangle MNOP, les triangles rectangles AMG , AmB» DEn, ENF» et les trapèzes rectangulaires PCBm, COnD. On a

AircABCDEFG = MNxMP — HAMxMG + AmxmB + Pmx(mB + PG) + Oftx(CO + Dn) + DnxnE + ENxNF].

Afpugatioii. Si Ton suppose qu'on ait trouvé les valeurs suivantes :

mB=20-; Dn = 22-,3; MA=50-,7; Am=41-; mP=37-,8; PC=76-,9; CO = 75-; On=39-,2; •iE=48-,6; EN=41-,7; FN=48-,4; MG=30-,

11 en résultera: MN=PO=76-,9+75-=l6i-9,