MP

et en effectuant les calculs indiqués, on obtiendra:

Aire ABCDEFG=19671— ,05— i [1621— + 820— + 3662-%82 + 3814—, l« + 1083— ,78 4- 1809— ,78] = 19671— ,05— 1^71 !■-,»♦,

= 1967 1— ,05— 6855— ,77 = 13315— ,28 ; = 1 hectare 33 ares et 15 centiares.

5516. Théorème. L'aire d'un polygone régulier a pour mesure la moitié du produit de son périmètre par son apothème.

En effet, si du centre 0 d'un pdlygone régulier ABCDEF (fig. 267) on mène à tous les sommets les rayons OÂ , OB, OC , etc., on partage ce polygone en autant de triangles isocèles égaux que ce polygone a de côtés (271). L*aire de l'un quelconque de ces triangles, du triangle AOB par exemple, a pour mesure la moitié du produit de sa base ÂB par sa hauteur Om, qui n'est autre que l'apothème du polygone. L'expression de cette aire est donc

ABxOm

Si n désigne le nombre des côtés du polygone, son aire aura donc pour expression -^ , ou , ce qui revient au même , puis-

GÉOMÊTBIB PLANE. U9

qu^oii ne change pas un produit en changeant Tordre de ses facteurs, KExnxOm Or , âB Xn , c'est-à-dire Tun des côtés répété autant de fois qu'il y a de côtés, c'est le périmètre du polygone; désignons ce périmètre par P, l'expression de l'aire du polygone deviendra

VxOm 2 '

c'est-à-dire la moitié du produit de son périmètre par son apothème.

Remarque I. SU s'agissait d'obtenir la superficie d'une pièce d'eau dont la forme fût celle d'un polygone régulier, on ne pourrait pas mesurer directement son apothème; mais il serait facile d'en obtenir la longueur.

Sur le milieu m de l'un des cdtés AB, on élèverait une perpendiculaire nUy, Connaissant le nombre des cdtés du polygone , on en déduirait la valeur de l'angle FABdu polygone. La moitié de cette valeur serait celle de l'angle OAm. On Terait alors au point A un angle mAO' égal à OAm ; les triangles rectangles m AO' et mAO seraient égaux comme ayant un côlé commun et un angle aigu égal ; donc Om' serait égal à Tapothème Om.

Remàhqde n. Il y a quelques polygones réguliers dont on peut facilement calculer l'apothème , connaissant la longueur du côté.

Soient, par exemple, AB (fig. 267) le côté d'un hexagone régulier, O son centre, Om son apothème; si l'on tire ÀO, on aura , dans le triangle rectangle ÂmO,

Mais âO étant égal à AB, puisque le polygone est un hexagone régulier (284), il s'ensuit que AO est le double de km , et queÂÔ' estégaIà2.AmX2.Âm, ouà4.Âm'. Onadonc

d'où résulte 3.Â5w'=15m\ et Om=AmX^;

c'est-à-dire que, pour obtenir l'apothème d'un hexagone régulier, il faut multiplier la moitié de son côté par la racine carrée de 3, ou^ ce qui revient au môme , multiplier son côté par la moitié de la racine carrée de 3.

Remarquons , en passant, que ces relations sont fondées uniquement sur ce que le triangle AOB est équilatéral. Ainsi , dans un triangle équilatéral, la perpendiculaire abaissée de Vun des sommets sur le côté apposé équivaut à ce côté multiplié par la moitié de la racine carrée de 3.

iSO PKBMIÊKI PAIITIB.

Mesure de l'aire des flgures curviligoes.

327. TiBORÈiis. Vaire d'un c$rcle a peur mesure Iq moitié du produit de $a cireonférmce par son rayon.

Nous avons vu (S9S) qu'un cercle peut ôtre oonsidéré oomme on polygone régulier d'un nombre infini de côtés infiniment petits. Dans un polygone régulier quelconque , la moitié du côté est plus grande que la différence entre le rayon et l'apothème ; car si AH (fig. 318) est le demi-côté, AO le rayon, OHserarapotbème, et le triangle AOH donnera (1 76)