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Si donc le côté, et à plus forte raison sa moitié, sont infiniment petits, la différence entre le rayon et rapothème sera, à plus forte raison, infiniment petite. II en résulte que le rayon d'un cercle, quand on considère celui-ci comme un polygone régulier d'un nombre infini de côtés infiniment petits, peut être pris indifféremment pour le rayon ou pour Tapothème de ce polygone. Et puisque Taire cTun polygone régulier a pour mesure la moitié du produit de son périmètre par son apothème , on peut dire que Taire d'un cercle a pour mesure la moitié du produit de sa circonférence par son rayon.

Corollaire. Si Ton appelle R le rayon d'un cercle , et que ir désigne toujours le rapport de la circonférence au diamètre, 2irR exprimera la circonférence (298); d'après le théorème précédent. Taire de ce cercle sera donc exprimée par

^^L^S^ ou ij.BxR ou irR«,

c'est-à-dire que Paire d'un cercle a pour mesure le rapport de la ctrconférence au diamètre multiplié par le carré du rayon.

Remarque. Dans un cercle dont le rayon est 1, Taire est donc exprimée par n X 1 , ou par it. Ainsi le rapport n de la circonférence au diamètre , qui désigne la demi-circonférence dont le rayon est 1, désigne aussi Taire du cercle dont le rayon est 1 , c'est-à-dire que, par exemple, un cercle dont le rayon a l"", a pour superficie 3™%141592

528. Applications. ^ I. Problème. Un bassin de forme circulaire a 21°',6 de diamètre, quelle est sa superficie?

Le diamètre étant 2l",6 , le rayon est 10'>»,8 ; le carré de ce nombre est 116'"%64. Multiplions ce carré par le rapport 3,1416, nous obtiendrons pour Taire demandée 366"»-%43, à moins d'un décimètre carré.

GtOMÉTRIl PLAKI. 451

n. PKOBLtMB. Le diamètre d*une pièce de 40 francs étâné de 26 millimètres, quelle est la superficie de l'une de ses faces?

Le rayon de oette pièce est de 13 millimètres; le carré de ce nombre est 169 millimètres carrés. Multiplions ce carré par le rapport-^, nous obtiendrons pour Taire demandée 531 millimètrea carrés, et une fraction négligeable, ce qui revient à 5 centimètres carrés et 31 millimètres carrés,

in. Problème. Quel rayon faut-il donner à un cercle pour que sa superficie soit de 6 mètres carrés ?

Puisqu'on obtient Taire d'un cercle en multipliant le carré du rayon par le rapport de la circonférence au diamètre , m divisant l'aire d'un cercle par ce rapport on obtiendra le carré de son rayon, Divisons donc 6°'*'' par^^ ou, ce qui revient au môme, multi^^ plions-le par ^, nous aurons pour résultat l^^dOQ!. Puisque ce nombre exprime le carré du rayon , en en extrayant la racine carrée nous aurons ce rayon lui-même. On trouve ainsi que ce rayon vaut 1",38.

IV. Problème. Quelle est, en Hêtres carrées, l'aire du cercle qui a pour circonférence l'équateur?

Cette circonférence étant composée de 360 degrés , dopt chacun vaut 25 lieues, équivaut à 9000 lieues. Son diamètre vaut donc aTïfîôîre ou2864«*"«»,7890. Le rayon équivaut donc à 1432"«"",3945, La circonférence, multipliée par le rayon, dorme pour produit 12891550 lieues carrées environ ; Taire cherchée , qui a pour mesure la moitié de ce produit , équivaut donc à 6445775 lieues carrées.

329. Théorème. L'aire d'un secteur a pour mesure la moitié du produit de Varc qui lui sert de base par le raxjon.

Par une démonstratiop entièrement semblable à celle du n*" 41 , on ferait voir que deux secteurs de même rayon sont entre eux comme les arcs qui leur servent de bases.

Cette proposition admise , désignons par a l'arc d'un secteur, par R son rayon , par S sa superficie. Le cercle lui-même n'étant autre chose qu'un secteur dont la base est la circonférence , on apra

S: cercle R;: a:circR ou 8:TrR«::o:2icR,

d ou 1 on tire S = ^ v. ="2" '

c'esM*dira que Taire du secteur a pour mesure la moitié du produll de son rayon par l'arc qui lui sert de base. Remarque. Si n désigne le nombre de degrés de l'arc du secteur,

on a (506)

A:2icR::»:360;

152 PBBmËBB PABTIB.

on peut donc écrire aussi

S:irR«::n:360, d'où S=^.

550. Applications. —I. PaoBLÈMS. Quelle est, sur un cercle de 10" de rayon. Faire d'un secteur dont l'angle au centre est deJb'^'t

On aura, en employant la dernière expression,

II. Problème. Dans un cercle de 12 centimètres de diamètre , çueUe valeur faut-il donner à l'angle au centre d'un secteur, pour que son aire soit équivalente à ôO®"'?

La même formule donne