l4l6.144-Mi

m. Phoblèmb. L'aire d'un secteur est de 32 décimètres carrés, et son angle au centre est de 48"* ; quel est le rayon du cercle auquel il appartient?

La même formule donne encore

oçw,..3,l416.R«.48> ^^ "" 360

d'où l'on tire a. = g^^=76-,3M2,

En extrayant la racine carrée , on trouve

R= 8^,74 ou 0«,874.

331. Un segment AMBA (fig. 268) est la différence entre un secteur AOBMA et un triangle isocèle AOBA. Si l'on évalue successivement l'aire du secteur et celle du triangle, et qu'on retranche le second résultat du premier, on aura l'aire du segment.

L'aire du segment est susceptible d'une expression simple qu'il est bon de connatlre. Du point B abaissons BH perpendiculaire sur le rayon AO; celte per^ pendiculaire est ce qu'on nomme le sinut de l'angle AOB, ou de l'arc AMB. L'aire

du triangle AOB aura pour mesure — ^ — • L'aire du secteur a d'aiUeurs pour

AOxAMB mesure . L'aire du segment a donc pour expression

AOxAMB AOxBH AOx(AMB— BH) 5 2— **" 2 '

gêomAtbib plane. ISS

G'esl-àh-dire qu'un segment a pour meture la moitié du produU du rayon par la différence entre l'are qui lui sert de hase et le sinus de cet are,

Kehjluque. Cette expression est relative à un segment moindre qu'un demicercle. Sll s'agissait d'un segment plus grand qu'un demi-cercle, on trouverait qu'il a pour mesure la moitié du produit du rayon par la somme de l'arc et de son sinus.

332. Si Ton voulait obtenir l'aire de l'espace compris entre deux cordes parallèles et les arcs qu'elles interceptent , on remarquerait que cet espace est la différence entre deux segments.

333. La couronne circulaire, comprise entre deux circonférences concentriques OA et OB (fig. 269] est la différence entre les cercles qui ont pour rayon OÂ et OB. L'expression de son aire est donc

wXÔÂ*— icxÔP ou icx(5a"— ÔB^,

c^est-^Hdlre <]u'elle a pour mesure le produit du rapport de la circonférence au diamètre par la différence des carrés des rayons des deux cercles.

334. L'aire du trapèze circulaire KBha (fig. 250] est susceptible d'une expression remarquable.

Désignons par A le plus grand des deux arcs , par R son rayon , par a le plus petit arc, par r son rayon, par nie nombre de degrés de l'angle au centre commun aux deux secteurs dont la différence forme le trapèze circulaire. L'expression de l'aire de celui-^i sera

«" ^(R'-r^ ou ^(R+r)(R-r).

OH encore

Or

(«Rn , 'Krn\ ^ .

l/expresâon de Taire du trapèze circulaire peut donc s'écrire

c'est-à-dire que l'aire du trapèxe circulaire a pour mesure la moitié du pro* dtttï de la somme des deux arcs qui lui servent de base par la différence de leurs rayons.

Si l'on donne le nom de hauteur du trapèze circulaire à la différence des rayons de ses arcs, on peut dire que l'aire de ce trapèxe a pour mesure la moitié du produit de sa hauteur par la somme de ses bases parallèles, ou le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses hases parallèles, expression analogue à celle de Taire du trapèze rectiligne.

335. Pour évaluer pratiquement Taire d'une figure terminée par une ligne courbe quelconque, on emploie une méthode analogue è celle dont on se sert dans Tarpentage pour mesurer Taire d'un polygone. On tire une sécante AB (flg. 270) dans le sens de la plus grande étendue de la figure. Cette sécante ou directrice divise la courbe en deux parties. Sur chacune d'elles on prend une série de points assez rapprochés pour que les arcs qui séparent ces points se confondent sensiblement avec leurs cordes. De tous les points de division on abaisse alors des perpendiculaires sur la directrice; et la figure se trouve décomposée en une série de trapèzes rectangulaires, terminée de part et d'autre par des triangles rectangles.

336. Dans Tarpentage, quand le terrain se trouve terminé par une courbe irré^lière , on emploie une méthode plus prompte que celle que nous venons dindiquer, mais, ^ la vérité, moins approximative. Elle consiste \ couper la

I8t PRBMIÈKB PâlITIB.

eouFbe par det éfùWm AB, BG, CD, etc. (fig. 371), de manière que la teinne des segments qui tombent en dehors du polygone ABCDEF ainsi formé, compense, 2i vue d'ceilf celle des segments qui demeurent au dedans de ce polygone. On mesure alors Taire du polygone d'après l'une de4 méthodes que nous avons données (3)4, 3SB) , et le résultat exprime l'aire demandée , avec d'autant plus d'exactitude que le choix des c6tés du polygone a été fait d'une manière plttl heureuse, et que Tarpenteur est plus exercé.