INTRODUCTION

Enfin , bien que Tidée de point se rattache à la limite des lignes, on peut considérer les points indépendamment des lignes auxquelles ils appartiennent , et imaginer même des points qui n'appartiennent à aucune ligne.

5. On peut, par la pensée, faire passer dans Tintérieur d'un corps une infinité de surfaces diiërentes; c'est-à-dire que l'on peut, d'une infinité de manières différentes, diviser un corps par la pensée en deux parlies qui aient pour limite commune une de ces surfaces. On réalise jusqu'à un certain point cette abstraction quand on divise un corps à l'aide d'un instrument tranchant; mais cet instrument a toujours une épaisseur appréciable , tandis que les surfaces à l'aide desquelles nous divisons les corps par la pensée doivent être considérées comme n'ayant rigoureusement aucune épaisseur.

On peut aussi diviser mentalement une surface par une infinité de lignes différentes, et l'on réalise cette abstraction jusqu'à un certain point en traçant réellement une ligne sur celte surface ; mais cette ligne tracée a toujours une largeur appréciable, tandis que les lignes à l'aide desquelles nous divisons une surface par la pensée n'ont rigoureusement aucune largeur.

Enfin, les points que nous marquons sur une ligne ont toujours une étendue appréciable , tandis que l'on peut concevoir sur une même ligne une infinité de points différents, n'ayant rigoureusement aucune étendue.

4. Il existe des lignes d'une infinité d'espèces différentes; mais il en est une qui mérite une attention particulière : un fil tendu , quand on fait abstraction de son épaisseur, en offre une image assez précise. Cette espèce de ligne est ce qu'on nomme une ligne droite, ou par abréviation une droite. On en donne la définition suivante : La ligne droite est la ligne la plus courte qu'on puisse mener d'un point à un autre.

Quoique cette définition semble assigner des bornes à la ligne droite, rien n'empêche de prolonger indéfiniment cette ligne par la pensée au delà des deux points qui lui servent de limites ; et c'est toujours d'une ligne droite indéfinie que l'on parle, quand on n'exprime pas formellement le contraire.

Une ligne composée de différentes portions de ligne droite, forme ce que l'on nomme une ligne brisée; les portions de ligne droite dont elle se compose sont ses côtés.

Une ligne brisée composée d'une infinité de cdtés infiniment pe-

1NTKO0UCT1OW. S

tits, OU , en d'autres termes , une ligne dont aucune partie appréciable n'est rigoureusement droite , est ce qu'on nomme une lign$ courbe, ou par abréviation une courbe.

tt. Il existe aussi des surfaces d'une infinité d'espèces différentes; mais il en est une qui est particulièrement digne de remarque : la surface d'une eau tranquille de peu d'étendue en offre un exemple. Cette surface est ce tju'on nommé une surface plane, ou simplement un plan. On en donne la définition suivante : Un plan est une surface sur laquelle une ligne droite peUt s'appliquer exactement dans tous les sens.

Les surfaces planes que l'on considère dans la pratique ont nécessairement une étendue limitée; mais rien n'empêche de les pro-* longer indéfiniment en tous sens par la pensée ; et c'est toujours d'un plan indéfini que Ton parle, quand le contraire n'est pas for-* mellement exprimé.

Une ligne courbe ou brisée est A\\jd plane quand tous ses points sont dans un même plan.

Une surface composée de différentes portions de plan, forme ce que Ton nomme une surfate brisée; les différentes portions de plan qui la composent se nomment ées faces.

Une surface brisée composée d'une infinité de faces infiniment petites, ou, en d'autres termes, une surface dont aucune portion appréciable n'est rigoureusement plane , forme ce que l'on appelle une surface courbe.

6. Les lignes, les surfaces et les corps peuvent être étudiés, ou sous le rapport de la forme , ou sous le rapport de l'étendue. La science qui a pour objet cette étude est la Géométrie.

Parmi les modifications nombreuses que la main de l'homme .fait subir aux productions de la nature, Tune des plus fréquentes est celle qui se rapporte à l'étendue et à la forme des corps. C'est ainsi que les bois, les pierres, les métaux, dont les usages sont si variés, sont tour à tour divisés, façonnés, assemblés de mille manières, suivant les besoins de l'industrie. Cette remarque sufQrait pour faire sentir l'utilité de la Géométrie. Mais ce n'est pas seulement aux procédés et aux produits des arts que ses principes sont applicables : l'astronomie, la géographie, la géodésie, l'arpentage, l'art de la guerre et celui de la navigation, la physique, la mécanique, et plusieurs autres sciences, tirent des considérations géométriques un secours aussi puissant qu'indispensable.

7. ^ôtiir étudier là tottùe et mesurer l'étendue des corps, la Géo-

[^ INTfiOOUCTlON.

métrie commence par faire abstraction de toutes leurs autres propriétés; elle n'a égard ni à leur couleur, ni à leur poids , ni à leur degré de dureté ou de mollesse, etc.; et ce qu'elle nous enseigne relativement à une certaine forme ou à une certaine étendue, peut s'appliquer à tous les corps qui ont cette étendue ou cette forme , quelles que soient d'ailleurs leurs natures diverses.

8. On divise la Géométrie en deux parties principales, savoir : la GÉOMÉTRIE PLANS et la GÉOMÉTEiE DANS l'espacb. La première partie a pour objet les propriétés des lignes qui ont tous leurs points dans un même plan , la forme des surfaces planes limitées , et la mesure des longueurs et des aires qui en dépendent. La seconde partie s'occupe des propriétés des surfaces et des lignes en général, de la forme des corps , et de la mesure des aires et des volumes qui s'y rapportent.

0. Avant d'entrer en matière, il nous reste à donner l'explication de quelques expressions et de quelques signes usités en Géométrie.

On nomme axiome une vérité évidente par elle-même , et qui n'a pas besoin de démonstration.

On nomme théorème une vérité qui, pour devenir évidente, a besoin du secours d'une démonstration.

On nomme postdlatcm ou demande une vérité moins évidente qu'un axiome, mais qu'on peut néanmoins demander d'admettre sans démonstration.

Un LEMME est un théorème préparatoire, destiné à faciliter la démonstration d'un théorème plus important.

Un COROLLAIRE cst uuo vérité accessoire qui ressort de la démonstration d'un théorème.

Un PROBLÈME est une question qu'il s'agit de résoudre en s'appuyant sur des théorèmes précédemment établis.

Les théorèmes, les corollaires, les demandes, les lemmes et les problèmes se désignent aussi sous le nom commun de propositions.

10. Les lignes, les surfaces, les corps, se représentent par des figures. Les différents points d'une même figure se distinguent les uns des autres par des lettres de l'alphabet placées à côté de ces points : on dit ainsi le point À, le point B, etc. (fig. 1).

On désigne généralement une ligne par les lettres qui correspondent à deux de ses points : on dit ainsi la ligne ÂB, pour indiquer celle qui va du point désigné par A au point désigné par B. Si plusieurs lignes passent par ces deux points , il devient nécessaire de les distinguer par une troisième lettre; on dira, par exemple, la

INTRODOCTION. 5

ligne àCB, la ligne ADB; en réservant AB pour la ligne droite qui joint les points A et B. On distingue d'une manière semblable les surfaces et les corps. Quelquefois on représente par une seule lettre une longueur, une aire, un volume; cette convention est toujours énoncée dans le texte.

Lorsqu'on a employé certaines lettres A, B, C, etc., pour désigner certains points ou certaines étendues, si Ton veut désigner des points ou certaines étendues analogues, on emploie les mêmes lettres accentuées k\ B', C, etc., qui se prononcent A prime, B prime, Cprime, etc. ; quelquefois on a recours aux mêmes lettres chargées de deux accents A''', B'^ C'^ etc.; elles se prononcent A seconde, B seconde, etc. Avec trois accents A^, B'^, C, etc., elles se prononcent A tierce, B tierce, et ainsi de suite.

On emploie aussi des lettres minuscules conjointement avec des majuscules; on les distingue alors, dans le discours, par le mot grand placé devant les majuscules, et le mot petit devant les minuscules. Les expressions ABCD, abcd, s'énonceraient ainsi : grand ABCD, petit abcd.

il. On se sert en Géométrie de quelques signes abréviatifs empruntés à Talgèbre, mais usités presque tous en arithmétique ; nous allons les rappeler succinctement.

Le signe = se prononce égale, et indique l'égalité des quantités qu'il sépare. Ainsi A=B signifie que A égale B.

Le signe -)- se prononce plus, et indique l'addition. Ainsi A -j- B signifie A augmenté de B.

Le signe — se prononce moins, et indique la soustraction. Ainsi A — B signifie A diminué de B.

Le signe X se prononce multiplié par, et indique la multiplication. Ainsi AxB signifie A multiplié par B.

Le signe : se prononce divisé par, et indique la division. Ainsi A : B signifie A divisé par B. On se sert dans le même sens de la notation ^, qui rappelle celle des fractions.

Les parenthèses ( ) représentent le.résultat des opérations qui ne sont qu'indiquées sur les quantités qu'elles embrassent. Ainsi (A+B— C) XD signifie qu'à A il faut ajouter B, retrancher C de cette somme , et que c'est le résultat de ces opérations qui doit être multiplié par D.

Les expressions A*, Âff, etc., désignent la seconde puissance, soit

6 UITEODUCTION,

de la quantité représentée par à, soit de la ligne représentée par AB, etc.

Les expressions A', ÂF, etc., indiquent de même la troisième puissance de A ou de AB.

Le signe ^ indiqua la racine carrée de la quantité placée audessous. Ainsi v/ABxBC exprime la racine carrée du produit de ABparBC.

Le signe )/ indique la racine cubique de la quantité placée audessous. Ainsi v^A-}"B exprime la racine cubique de la somme de A et de B.

Le signe >- se prononce p/u^ grand que, et indique que la quantité placée à sa gauche est plus grande que celle qui est placée à sa droite. Ainsi A>B, signifie que A est plus grand que B.

Le signe <C se prononce plus petit que, et indique que la quantité placée à sa gauche est plus petite que celle qui est placée à sa droite. Ainsi A<CB signifie que A est plus petit que B.

L'étude de la Géométrie ne suppose d*aîlleurs d'autres connaissances préliminaires que celle de Tari thmé tique, comprenant les proportions, et Textraction des racines carrées et cobiques.

^oia. Les numéros placés entre parealtitees ( ) ladi^eat les reBToU \ dés propositions précédentes.

GÉOMÉTRIE PULNE.

PREMIÈRE SECTION