CHAPITRE PREMIER

DK LA LI6NC DROITE.

ifi. ÂxiOMB. D'un point à un autre on ne peut mener fu'une seule ligne droite, ou , en d'autres termes , parmi toutes les lignes que Ton peut mener d*un point à un autre , il n'y en a qu'une qui soit la plus courte.

15. Thèorèms. Deux droites qui ont deux points communs A et B (fig. 2), coïncident dans toute leur étendue.

Les deux droites eoincident de A jusqu'à B, en vertu de l'axiome pTécéàexïi; il reste à faire voir qu'elles coïncident au delà, et que si BC, par ajcemple, est le prolongement de l'une, le prolongement de l'autre ne saurait avoir un point 0 situé hors de BC. Supposons» en efïet, que l'on fasse tourner la seconde droite autour du point A jusqu'à ce que le point 0 vienne coïncider avec un des points de BC; les deux droites coïncideront depuis A jusqu'à 0 , en vertu de l'axiome déjà cité; elles coïncideraient donc au point B, ce qui est impossible; car, dans ce mouvement , tons les points de la droite qu'on bit tourner auront évidemment changé de place , à l'exception du point A ; les deux droites ne coïncideront donc plus au point B. On est donc amené à une conséquence «ibsurde en admettant qu'il y ait sur le prolongement de l'une un point qui n'appartienne pas au prolongement de l'autre; donc , ces deux droites coïncident dans toute leur étendue.

14. CoBOLLAiBB. Deux points suffisent pour déterminer une ligne droite.

8 PtEUlfeBE PABTIE.

On conçoit que I*or puisse, par un mênae point, mener une ligne droite d'une infinité de manières différentes; mais si on l'assujettit à passer par un second point, sa position est tout à fait déterminée.

4 S. Applications. Dans la plupart des m'éliers et des arts, on a besoin de tracer des lignes droites; on les emploie surtout dans le dessin linéaire, qui est l'art de représenter les objets par des lignes. Pour tracer une ligne droite sur le papier, on fait usage de la règle : on place cet instrument de manière que l'un de ses bords vienne passer sur les deux points qu'on veut unir par une ligne droite , et l'on fait glisser une pointe à tracer contre ce bord , en l'appuyant sur le papier. Cette opération est d'autant plus exacte, que le papier est mieux tendu, que la pointe est plus déliée, qu'on la tient plus fidèlement appliquée contre le bord de la règle, et enfin que la règle elle-Hnême est plus droite. Voici le moyen de la vérifier :

Tracez une ligne avec le bord AB de la règle ABCD (fig. 3' ; retournez ensuite la règle sens dessus dessous, comme si AB était une charnière; l'instrument viendra prendre la position ABC'iy. Si le bord AB coïncide encore avec la ligne tracée, on sera certain que cette ligne est suffisamment droite, car la moindre courbure appréciable se faisant alors sentir en sens contraire , l'erreur serait doublée et deviendrait sensible à l'osil , comme l'indique la figure.

C'est encore la règle qu'on emploie pour tracer des lignes droites sur un tableau , sur un mur, sur un parquet, et en général sur toutes les surfaces planes de peu d'étendue. Quand cette étendue est trop considérable pour qu'on puisse faire usage d'une règle , on fixe aux deux points par lesquels la droite doit passer les extrémités d'un cordeau bien tendu , et enduit d'une maUère colorante ; on pince alors ce cordeau vers son milieu, en l'écartant de la surface, puis on le lâche; en vertu de son élasticité , il vient frapper la surface dans la postUon qu'il occupait d'abord, et y trace une empreinte colorée qui est rectiligne, c'est-à-dire droite.

Les jardiniers et les terrassiers tracent une ligne droite sur le terrain en suivant, à l'aide d'un piquet, la direction d'une corde tendue par ses extrémités aux deux points qui servent à déterminer cette ligne droite.

Les moyens précédents ne peuvent plus suffire pour tracer sur le terrain une ligne droite d'une étendue considérable; on se contente alors de marquer les extrémités de celle droite, et un certain nombre de points pris sur sa direction. On emploie à cet effet àes jalons ou piquets plantés de manière à ne pencher d'aucun càié (nous verrons par la suite comment on y parvient). Chaque jalon est ordinairement surmonté d'nne petite plaque peinte de deux couleurs, et qui sert à le faire distinguer dans l'éloignement. Si A et B (fig. 4) sont les jalons extrêmes, pour déterminer la position d'un jalon intermédiaire, on se place en dehors de la ligne AB, de façon que le jalon B soit caché par le jalon A ; et l'on fait planter un jalon entre ces deux points, en le faisant appnyer à droite ou à gauche , jusqu'à ce qu'il soit également caché par le jalon A. On obtient ainsi autant de jalons intermédiaires qu'on le désire. C'est ce qu'on appelle jalonner une direction.

46. On a souvent besoin de prolonger une ligne droite déjà tracée. SI l'on opère avec la règle , il sufiil de la placer de manière qu'une partie notable de l'un de ses bords coïncide avec la droite tracée ; l'autre partie du même bord détermine le prolongement de cette droite. Avec le cordeau , l'opération est analogue. S'il s'agit de prolonger une ligne jalonnée AC (fig. 4), dont A et C sont les deux derniers jalons , on se place en deçà du Jalon A, de façon qu'il cache le jalon C ; on fait alors planter un jalon B au delà du point C , en le faisant appuyer à droite ou à gauche, jusqu'à ce qu'il soit également caché par le jalon A. U droite donnée et la droite AB ont ainsi deux points communs A et

GÊOMÉTBIE PLANE. 9

C; elles coïncident donc, et GB est le prolongement demandé. Rien n'empêdierùt de prolonger la droite AB de la même manière au delà du point B.

17. La distance de deux points est la longueur de la droite qui joint ces deux points. Ainsi la distance des points A et B (fig. 1) est la longueur de la droite AB.

Les lignes droites, ou du moins les portions de droites dont les longueurs mesurent les distances mutuelles de différents points, sont susceptibles d'être ajoutées, soustraites, multipliées et divisées comme les autres grandeurs.

Veut- on faire la somme de deux longueurs données, on tire une droite indéfinie, sur laquelle on porte, à l'aide d'un compas, une distance AB (fig. 2), égale à Tune des longueurs données, puis, à la suite de la première , une longueur BG égale à la seconde longueur donnée. La distance AC est évidemfnent la somme des distances AB eiBG, c'est-à-dire des longueurs données.

Veut-on déterminer la différence de deux longueurs données, on porte sur une droite indéfinie une distance AC égale à la plus grande; puis, à partir du point G, mais en sens inverse, une distance CB égale à la plus petite. La distance AB est évidemment la différence des distances AC et CB, c'est-à-dire des longueurs données.

S'agit-il de multiplier une longueur donnée, par ô par exemple, on porte sur une droite indéfinie , et à la suite les unes des autres , 5 distances égales à la longueur donnée ; la distance totale est évidemment égale à 5 fois cette longueur.

On a pour diviser les lignes droites en parties égales (les procédés précis que nous ferons connaître par la suite. II nous suffira, pour l'instant, d'indiquer comment on peut, avec le moins de tâtonnements possible, y parvenir approximativement, ce qui suffit dans un grand nombre de circonstances.

Soit AB (fig. 5) une longueur qu'il s'agit de diviser en 5 parties égales, par exemple : prenons une ouverture de compas qui soit, à vue d'œil, le cinquième de AB, mais plutôt trop grande que trop petite, et portons- la 5 fois de suite de A vers B. S'il arrivait que Textrémité de la cinquième ouverture de compas tombât précisément au point B , la division serait effectuée ; mais généralement elle tombera au delà , en un certain point D. Sans déranger la pointe du compas qui se trouve sur le point de division précédent C , rapprochons graduellement la pointe D d'une quantité DO, à peu près égale au cinquième deBD, mais plutôt moindre que plus grande, et portons ô fois de suite la longueur GO de A vers B. Si DO était précisément le cinquième de BD , CO serait précisément le cinquième de AB; car AB, qui est la différence entre AD et BD, serait égal à 5 fois CD moins 5 fois DO, ou à 5 fois la différence entre CD et DO, c'est4-dire à 5 fois CO. Si DO est moindre que le cinquième de BD,

f 0 nSIOtBB PAlTlfi.

CO sera pins grand que le cinquième de AB; mais pour peu que Ton ait le coop d'oâl exereé, BD ne surpassera 5 fois DO que d'une quantité moindre que DO. Désignons par e cette différence ; on aura BD=DO x5+tf , par conséquent :

AB=AD— BD=CDx5— D0X5— «=(CD— D0)X5— «,

ou AB=C0x5— e,

c'est-à-dire que l'erreur qui , tout à l'heure, était BD , sera réduite à la quantité e moindre que le cinquième de BD.

En renouvelant l'opération, on réduira l'erreur à une quantité moindre que le cinquième de «, et ainsi de suite. Mais, avec un peu d'adresse, deux opérations pourront suffire.

Si le nombre de parties que l'on veut obtenir était considérable , le procédé que nous venons d'indiquer ne serait plus susceptible de la même précision ; d'ailleurs , l'épaisseur même de la pointe de compas est une cause d'erreur qui se multiplie d'autant plus qu'il y a plus d'ouvertures de compas successives à porter. Hais ordinairement ce nmnbre de parties , lorsqu'il est considérable , n'est point un nombre premier ; et en le décomposant en ses divers facteurs , on peut remplacer la division proposée par plusieura divisions successives plus commodes à effectuer. Pour diviser, par exemple, une longueur en 100 parties égales, on la divise d*abord en 5 parties; puis chacune de ces cinq parties en ô autres , et chacune de celles-ci en 4 autres. Ces dernières parties sont évidemment au nombre de 5X5X4 ou de 100.

18. Pboblèms. Trouver m n(mibres le rapport de deux longueurs données kR et ÇXi(!àg.%).

Prenons une ouverture de compas égale à la plus petite CD des deux longueurs proposées, et portons-la de A. vers B autant de fois que cela sera possible ; admettons qu'elle y soit contenue 2 fois, plus un reste EB, on aura

AB=CDXS-|-EB [1].

Portons de même EB sur CD autant de fois que cela sera possible ; admettons qu'il y soit contenu 3 fois , plus un reste FD , on aura

CD=EBX3-|-FD [2].

Portons FD sur EB autant de fois que cela sera possible ; admettons qu'il y soit contenu S fois , plus un reste OB , on aura

EB=FDx6 + 0B [3].

Portons OB sur FD autant de fois que cela sera possible; admettons qu'il y soit contenu S fois exactement , on aura

FD=0Bx3 [4].

G£Otf£TBI£ PtAMi. Il

En rapprochant le^ relations [][], [2]« [3], [4], il est faci)p inapteoant d'obtenir 1@ rapport cherché. En effet , en ayant égar4 k la dernière , la précédente devient

BB=:OBX2X5+OB=OBX10+OB=OBX11 [5].

En ayant égard aux relations [4] et [5] , la relation [2] devient