CHAPITRE II

0B8 DROrrBS rSRFBIlDlCIJLAIRES ENTRE ELLES DANS LISSVÂCB, ET I DROITES PERPEEDICITLÂIRES A DES PLARS.

509. Théorème. Si une droite AO (fig. 313) qui rencontre un plan MN, est perpendiculaire à deux droites OB, OC, menées par son pied 0, dans ce plan , elle est aussi perpendiculaire à toute autre droite OD passant par son pied dans ce même plan.

Pour le prouver, tirons une droite quelconque BC , qui coupe les droites OB, OD, OC. Prolongeons AO au-dessous du plan MN , d'une quantité OA' égale à OA; et joignons AB, AD, AC, A'B, AD, A'C.

Les droites CA et CA' sont deux obliques égales, puisque leurs pieds sont également distants du pied de OC perpendiculaire à AA'. Les droites BA , BA' sont aussi deux obliques égales , puisque leurs pieds sont également distants du pied de OB perpendiculaire à AA'. Les deux triangles ABC, et A'BC ont donc leurs trois côtés égaux

GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE. f93

Mais SI l'on considère les deux triangles ABD et A'BD. on voit !ï«ï,„ f r *"^M *^^' ABD = A'BD;compris entre côtés Jgl^ chacun à chacun; ils sont donc égaux, et il en résulte AD=A'D

La droite OD a donc deux de ses points, 0 et D, à égale distance des extre,n,tés de a droite AA'; elle est donc pe pend? ula irHS cette droite ; et réciproquement AO est perpendiculaire sur OD

«.rSlilS^I"!" • i"" "" P''"' °" "' P*"*' P*"" "» P«i"' donné d'une dfir h' .''''"' •*"""" '""'^ perpendiculaire. Il n'en est plus de même dans I espace; par un point d'une droite donnée, on ?eut

ZtZ ™f 'f ""^ ^' perpendiculaires. Le théorème j^écédeï fait vour que toutes ces perpendiculaires sont dans un même plan.

h AO "!?; 'f « V? ^\ ^^ .(^«- 314) toutes deux perpendiculaires a AO, et soit MN le plan des droites OB et OC. Je dis que toute

%TJ^!uT «M^^r^P*' '.^ P"'"' ^ perpendiculairement à AO, sera dans le plan MN Car, si 01 était une perpendiculaire à AO qui ne mt point située dans le plan MN, on pourrait, suivant AO et 01 condunre un plan qui rencontrerait le plan MN„ puisqu'ils ont lé pomt 0 commun. SoitOE leur intersection. Les trois droites AO. OI, Ofi seraient dans un même plan ; l'angle AOI serait droit d'après notre supposition; mais l'angle AOE serait droit aussi d'après le théorème précédent. On pourrait donc, dans un même plan, élever, PfnS"."^'"*' P<'''** <^'"ne droite AO, deux perpendiculaires, 01 et OE, a celte droite, ce qui est impossible.

400. Lorsqu'une droite, qui rencontre un plan, est perpendiculaire à toutes celles qui passent par son pied dans ce plan, on dit que la droite est perpendiculaire au plan.

Réciproquement : quand un plan, qui rencontre une droite, contient toutes les perpendiculaires menées à cette droite par son pied, on dit que le plan est|>er;wnd/c«/atre à la droite.

401. Théorème. Par un point donné hors d'un plan, on ne peut abauser sur ce plan qu'une seule perpendiculaire.

Supposons en effet que d'un point 0 extérieur à un plan ItfN .?»i»^\^^**" P"'^^ abaisser sur ce plan deux perpendiculaires OA et OB. Joignons AB. D'après la définition que nous venons de donner d une droite perpendiculaire à un plan , chacune des deux droites OA etOB serait perpendiculaire à la ligne AB qui joint leurs pieds. Mais cette ligne AB est dans le plan des droites OA et OB, puisqu'elle y a deux points; dans le triangle AOB il y aurait donc deux angles droits, ce qui est impossible.

402. Théorèmb. Par un point pris sur un plan, on ne peut lui élever qu'une seule perpendiculaire.

Supposons en effet que par un point 0 pris sur un plan MN (fig. 316) on puisse lui élever deux perpendiculaires OA et OB, ces deux perpendiculaires détermineraient un plan qui, ayant le point 0 commun avec le plan MN, couperait ce plan suivant une droite OC. L'angle AOC serait droit, puisque AO est perpendiculaire au

81an MN; l'angle BOC serait droit aussi par une raison semblable. )r, les trois droites OA, OB, OC, sont dans un même plan ; on pourrait donc, dans un môme plan, élever à une même droite OC, deux perpendiculaires OA et OB, en un même point de cette droite, ce qui est impossible.

403. Théorème. Par un point pris sur une droite, on ne peut mener qu'un plan perpendiculaire à cette droite.

Car ce plan doit contenir toutes les perpendiculaires menées à la droite donnée par le point donné, et nous avons démontré (509, Coroll ) que toutes ces perpendiculaires sont dans un même plan.

404. Théorème. Par un point pris hors d'une droite, on ne peut mener qu'un seul point perpendiculaire à cette droite.

Supposons en effet que, par un point 0 pris hors d'une droite AB (fig. 317), on puisse mener deux plans perpendiculaires à cette droite. Soient C et D les points où ces plans rencontrent la droite AB. Joignons OC et OD. L'angle ACO serait droit, l'angle BDO serait droit aussi; il y aurait donc dans le triangle DOC deux angles droits, ce qui est impossible.

On ne peut pas supposer non plus que les points C et D coïncident ; ;ar alors on pourrait, par un même point C delà droite AB, mener deux plans perpendiculaires à cette droite , ce qui est également impossible (403).

403. Toute droite qui rencontre un plan sans lui être perpendiculaire est dite oblique k ce plan.

Théorème. Si par un point 0 extérieur à unplan MN (fig. 315) , on mène à ce plan une perpendiculaire OA et une oblique OB , l'oblique sera plus longue que la perpendiculaire.

Car, si Ton joint AB, le triangle OAB sera rectangle en A. L'hypoténuse OB sera donc plus grande que le côté OA opposé à un angle aigu.

Corollaire. La véritable distance d'un point à un plan, est la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan.

400. Théorème, ^i par un point A pris hors d'un plan MN (fig. 318) on mène à ce plan la perpendiculaire AO, et différentes obliques AB, AC, AD, telles que le pied de la perpendiculaire soit également distant du pied de chacune d'elles, ces obliques sont égales.

Car, si Ton joint OB, OC, OD, ces droites seront égalrs par supposition. Les triangles AOB , AOC , AOD , rectangles en 0 , ont donc un côté égal ; ils ont de plus un autre côté commun AO ; ces Iriaa-

GÉOMÊTMU DANS L*BSPACE. 195

gles sont donc égaux ; et par oonséqaent leurs hypoténuses AB ,

kC ^ KD y sont égales.

ConoLLAiRE. Si du pied 0 de la perpendiculaire, comme centre, avec un rayon quelconque OB , on décrit une circonférence BCD, chaque point de la perpendiculaire sera à égale distance de tous les points de cette circonférence ; car les distances d*un môme point de la perpendiculaire AO aux différents points do cette circonférence seront des obliques égales, d'après le théorème précédent.

407. Théorème. .Si par un point A, extérieur à un plan MN (fig. 318) , on mène à ce plan la perpendiculaire AO , et deux obli^ gués quelconques AB^ AI, l'oblique M, dont le pied s'écarte le plus du pied de la perpendiculaire , est la plus longue.

En effet , joignons OB et 01 ; prenons OC=OB ; et tirons AC. Les obliques AB et AC seront égales, d'après le Ihr^orème précédent. Alais les droites AC et 01 sont dans le plan OAI, puisque chacune d'elles y a deux points. Or, dans ce plan , la droite AO étant perpendiculaire à OlJes droites AC et AI sont obliques par rapport à 01 ; et , puisque At est celle dont le pied est le plus éloigné du pied de la perpendiculaire, on a AI>>AC, ou, ce qui revient au même, AI>AB.

408. Il résulte de ce qui précède : l"" que, si deux obliques sont égales, le pied de la perpendiculaire est également distant du pied de chacune d'elles; car dans le cas contraire elles seraient inégales; S"* que, si deux obliques K^et AI sont inégales, la pied de la plus

'^longue s'écarte davantage du pied de la perpendiculaire^ et Ton a 01>>OB; car, si cela n'était pas, il faudrait qu'on eût ou 01=0B, et alors les deux obliques AI et AB seraient égales , ou OI<OB, et alors l'oblique AB serait la plus longue , résultats également contraires à la supposition.

Remarque. Toutes les obliques égales à AC viennent aboutir à la circonférence qui a pour centre le pied 0 de la perpendiculaire AO , et pour rayon la distance OC du pied de l'oblique au pied de hi per«pcndiculaire ; car si le pied d'une de ces obliques tombait en dehors ou en dedans de cette circonférence , cette oblique serait plus grande ou plus petite que AC.

Il suit de là que si , du point A , avec une longueur constante AC, on décrivait une courbe sur le plan MN, cette courbe serait une circonférence de cercle BCD; et le centre de cette circonférence serait le pied 0 de la perpendiculaire abaissée du point A sur ce plan.

JM. pROBLfcHE. Par un point donné $ur un plan élever iin« perpendiculaire à ce plan.

Oq emploie , pour résoudre pratique ment ce problème , une double équerre (flg. 319) ou équerre à deux branches, formée de dêtfx équerrei ordbiatf es réU-

nies par l'un des côlés AO de l'angle droit. Pour délcrminer au moyen de cet inslrument la dircclion de la perpendiculaire cherchée, on pose rinstrumenl sur le plan donné, de manière que les côlés OB elOC coïncldenl avec ce plan, et que le point 0 tombe au point donné. La droite AO est alors la perpendiculaire cherchée; car cette droite est perpendiculaire aux deux droites OB et OC menées par son pied dans le plan donné.

On peut résoudre le même problème au moyen de trois cordeaux. Pour cela, soit 0 (fig. 320) le point donné. Tracez sur le plan donné deux droites quelconques OB, OC, qui passent par le point 0. Prenez sur chacune d'elles une longueur de 3 mètres, ou en général de 3 unités de longueur quelconque. Soient OB ei OC ces longueurs. Aux poinls B et C fixez le bout de deux cordeaux dont la la longueur soit de S unités; et au point 0, le bout d*un troisième cordeau dont la longueur soit de 4 unilés. Réunissez en un môme point A les bouts libres des trois cordeaux tendus j le cordeau AO donnera la direction de la perpendiculaire demandée.

Car, comme on a 35 =9 + 16 ;

on aura ÂI?=ÔB"-fÂï?

et ÂC?=ÔC'-|-ÂO*.

Les triangles AOB, AOC sont donc rectangles en 0; la droite AO, étant perpendiculaire aux deux droites OB et OC qui passent par son pied dans le plan donné , est donc perpendiculaire à ce plan.

410. PRODLÈVE. D*un point donné hors d^mplan, abaisser une perpendiew îaire sur ce plan.

Il serait possible de résoudre pratiquement ce problème avec la double équerre, si le côté AO (fig. 3i9) était suffisamment élevé. H suffirait pour cela de poser les côlés OB et OC sur le plan donné , et de faire glisser rinstrumenl sur le plan, jusqu'à ce que le côté OA vint passer par le point donné ; ce côté OA serait alors la perpendiculaire demandée.

Mais s'il y a impossibilité à se servir de l'instrument, on pourra recourir au procédé qui suit. Soient MN (fig. 31 8) le plan donné, et Aie point donné hors de ce plan (il faut supposer que ce point appartienne à un système solide, et que saposilion soit invariable dans Tespace). Fixez au point A l'cxlrémilé d'un cordeau de longueur délermiuéc, armé à son autre extrémité d'une pointe à tracer. Faites mouvoir ce cordeau tendu, de manière à décrire sur le pian donné la circonférence BCD, ou du moins une partie de celte circonrérence. Cherchez-en le centre 0; ce point sera le pied de la perpendiculaire demandée (408, Rem.).

Au lieu d'un cordeau, on pourrait employer une perche, une règle ou même un compas, suivant la distance du point donné au plan donné.

4H. Problème. Par un point 0, donné sur une droite AA' (fig. 3Î1), mener un plan perpendiculaire à cette droite.

Suivant la droite donnée, conduisez deux plans quelconques. Dans l'un de ces plans, menez OB perpendiculaire à AA', et dans Tautre, menez OC, également perpendiculaire à AA'. Par les droites OB et OC , faites passer un plan , ce plan sera perpendiculaire à la droile donnée AA', puisqu'il conlient deux perpendiculaires OB et OC menées à celte droite par un même point 0.

Applications. Ce procédé est précisément celui que les charpentiers emploient pour couper une pièce de bois, perpendiculairement à rintersection de deux de ses faces planes latérales. Soit AD (fig. 322) cette intersection ; ])ar le point 0 donné sur cette droite, l'ouvrier élève dans l'une des faces de la pièce, OB perpendiculaire à AD ; il élève de même, dans l'autre face, OC perpendiculaire k AD. 11 donne alors un trait de scie suivant les droites OB et OC; le plan déterminé par la scie est perpendiculaire à AD.

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Remarquons que les plans à conduire suivant AO , d'après la construction cidessus indiquée , se trouvent tout conduits dans Texemple que nous venons de choisir : ce sont les faces mêmes de la pièce de bois.

Le même procédé est mis en pratique dans la coupe des pierres. 44Î. Problème. Tar un point B (fig, 321) donné hort d'une droite AA', mener un plan perpendiculaire à cette droite.

Par le point B et par la droite AA' conduisez un plan ; dans ce plan, abaissez BO perpendiculaire sur AA'; suivant cette droite, conduisez un second plan quelconque, et dans ce plan élevez OC perpendiculaire à AA'. Suivant les droites BO et OC faites passer un plan : ce sera le plan demandé; car il contient BO et CO toutes deux perpendiculaires à AA'.

Applications. Ce procédé est encore celui que les charpentiers emploient. Supposons que parle point B (flg. 322) il s'agisse de mener un plan perpendiculaire à l'intersection AD de deux faces planes contigues d'une pièce de bois. L'ouvrier abaisse du point B sur AD une perpendiculaire BO; puis, au point 0, dans la face contiguC , il élève la perpendiculaire OC. 11 donne alors un trait de scie suivant les droite^ OB et OC; le plan déterminé par la scie est perpendiculaire a AD.

Les deux premiers plans h conduire , d'après l'énoncé de la construction cidessus indiquée , se trouvent ici tout conduits. La même construction est pratiquée dans la coupe des pierres.

415. Théoeèmb. Si par le pied 0 (fig. 323) d'une droite AO per-pendicùlaire à un plan MN, on abaisse OQ perpendiculaire à une droite quelconque BC menée dans ce plan, et qu'on joigne ADj la droite AD sera perpendiculaire à BC.

EnefiTet, prenons CD=BD, et joignons OB, OC, AB, AC, Les obliques OB et OC seront égales comme s'écartant également du pied D de la perpendiculaire OD. Les triangles AOB, AOC, rectangles en 0, puisque AO est perpendiculaire au plan MN, auront donc deux côtés égaux et un côté commun , et seront par conséquent égaux. Leurs hypoténuses AB et AC sont donc égales. La droite AD a donc deux de ses points , A et D, à égale distance des extrémités de BC ; donc elle est perpendiculaire sur cette droite.

414. Réciproquement : soient CD (fig. 32^) une droite quelconque, tracée dans un plan MN , et DO une perpendiculaire menée à cette droite dans ce plan. Suivant DC, conduisons un plan quelconque; dans ce plan élevons DA perpendiculaire à BC. Suivant DA et DO conduisons un plan , et dans ce plan élevons au point 0, ou abaissons du point A, la droite AO, perpendiculaire sur DO. Je dis que cette droite AO sera perpendiculaire au plan MN.

En effet, prolongeons AO au-dessous du plan d'une quantité A'O égale à AO, et joignons AC, A'C, OC et AD. Les obliques AD et AD seront égales comme s'écartant également du pied 0 de la perpendiculaire OD. D'ailleurs CD, perpendiculaire par hypothèse aux deux droites DO et DA, est perpendiculaire à leur plan , et par suite à la droite DA' qui passe par son pied, D, dans ce plan. Les deux triangles ADC et ADC sont donc égaux comme ayant un angle droit

iM SECONDS PART».

compris entre c6tés égaux chacun à chacun; donc A'C=AC. La droite CO a donc deux de ses points à égale distance des extrémités de AA', et est par conséquent perpendiculaire à cette droite. Réciproquement, AA' lui est perpendiculaire; et comme elle ) est déjà à OD, elle est perpendiculaire au plan de ces droites, c'est-à-dire au plan MN.

RsMARQUB I. Cette propriété fournirait un moyen de mener une perpendiculaire à un plan donné, soit par un point pris sur ce plan , soit par un point pris au dehors.

Rexabqtie II. L'usage des droites perpendiculaires à des plans est continuel dans les conslructions et dans tous les aris mécaniques. Nous aurons occasion , dans la suite , de revenir à chaque pas sur leur emploi , et d'en citer de nombreuses applications qui ne pourraient être présentées pour le moment que d'une manière incomplète.