CHAPITRE III

l DROITES PARALliCLES BNTRS ELLBS DANS L*B8PAGB, ET DBS DROITEa PARALLÈLES A DES PLARS.

41tS. THÉORtifS. Dettx droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles entre elles»

Soient AO et £D (fig. 325) deux perpendiculaires à un même plan MN ; je dis que ces droites sont situées dans un môme plan et ne sauraient se rencontrer quelque loin qu'on les prolonge, c'est-àdire que ces droites sont parallèles.

Pour le prouver, joignons OD; menons, dans le plan MN, la droite BC perpendiculaire à OD; et joignons le point D à un point quelconque A de la droite AO. £n vertu du théorème n^" 413, AO sera perpendiculaire sur BC. Mais BC est aussi perpendiculaire sur OD par construction, et à £D puisque cette dernière est perpendiculaire au plan MN (300). Or, les trois droites DO, DA, DE, menées par un même point D de la droite BC, perpendiculairement à cette droite, sont dans un même plan (300, CoiolL), et la droite AO est aussi dans ce plan , puisqu'elle y a deux points , A et 0.

Maintenant les droites AO et £D, qui sont dans un même plan, comme nous venons de le démontrer, ne peuvent se rencontrer quelque loin qu'on les prolonge, puisqu'elles sont toutes dtux perpendiculaires à une même droite OD. Ces droites sont donc pa^ rallèles.

GÊOMiTRIB DANS L*BSPAGC. 109

416. TBÉOHJku. Si deux droites sont parallèles , tout plan per^ pendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre.

Soient ÂO et £D (fig. 325) deux droites parallèles, et soit MN un plan perpendiculaire à ÀÔ ; je dis qu'il sera aussi perpendiculaire à ED.

Pour le prouver, joignons OD; menons, dans le plan MN, la droite BC, perpendiculaire à OD; et lirons AD. En Vertu du théorème du n" 4i5, AD sera perpendiculaire à BC; mais déjà BC est perpendiculaire à OD; la droite BC sera donc perpendiculaire au plan des droites AD et OD. Or, ce plan est celui des parallèles AO et £D, puisqu'ils ont trois points communs A, 0, D. Donc BC est aussi perpendiculaire à ED.

Mais, dans le plan AODE, la droite OD, perpendiculaire à AO, est aussi perpendiculaire à sa parallèle ED. Il en résulte que ED est perpendiculaire à la fois aux deux droites OD et DC , qui passent par son pied dans le plan MN ; donc elle est perpendiculaire à ce plan.

Application. Si une pièce de bois offre une face plane A6CD (fig. S20}« terminée P9LT des bords parallèles AB et CD, et que ceUe pièce de bois ail été coupé* , au point D, perpendiculairement à la ligne CD (nous avons vu plus haut (4ii} ' comiDeat cette section s'opère), le plan DBEF étant perpendiculaire k CD, sera aussi perpendiculaire à sa parallèle AB. Ainsi Us angles ABD et ABE seront droits.

417. Théorème. Deux droites AO, ED (Hg. 325), parallèles à une troisième FG, sont parallèles entre elles.

Car, si Ton mène un plan MN perpendiculaire à FG , il sera aussi perpendiculaire à ses parallèles AO et £D (410). Mais deux droites perpendiculaires à un môme plan sont parallèles entre elles (415); donc AO et ED sont parallèles.

418. Théorème. Par un point 0 (fig. 327) pris hors d'une droite CE, on ne peut lui mener qu'une seule parallèle OA.

Supposons, en effet, qu'on puisse mener par le point^O une seconde droite OB parallèle à CE. Par le point 0, menons un plan MN perpendiculaire à CE; ce plan sera en môme temps perpendicu- Jaire à ses parallèles OA et OB. Or, par un point 0, pris sur un plan MN, on ne peut lui élever qu'une seule perpendiculaire. Il est donc absurde de supposer que OB puisse être parallèle à CE.

410. Problème, Par un point donné, mener une parallèle à une droite donnée,

La solution de ce problème se réduit à conduire un plan par le point et la droite donnes, et à mener ensuite dans ce plan une parallèle à cette droite par le point donné, à l'aide de Tun des procédés indiqués dans la première partie.

420. Théorème. Vne droite AB (fig. 328) parallèle à une autre

droite CD, menée dans un plan MN, ne peut rencontrer ce plan quelque loin qu'on les prolonge.

Ces deux droites étant parallèles, sont dans un même plan , qui coupe le planMN suivant la droite CD. Si donc la ligne ÀB, qui appartient au plan ABCD, rencontrait le plan MN, ce ne pourrait être qu'en un point commun à ces deux plans, c'est-à-dire en un point de leur intersection CD. Or AB ne peut rencontrer CD, puisque ces droites sont parallèles; donc AA ne peut rencontrer le plan MN.

Remarque. Lorsqu'une droite et un plan sont situés de telle sorte qu'ils ne puissent se rencontrer quelque loin qu'on les prolonge, la droite est dite parallèle au plan, et le plan para/të/e à la droite. Le théorème précédent peut alors s'exprimer ainsi : Toute parallèle à une droite menée dans un plan , est parallèle à ce plan.

Corollaire. Cette proposition conduit à la suivante, qui n'en diffère que par la forme : Lorsque deux droites sont parallèles, tout plan mené suivant l'une d'elles est parallèle à Vautre.

42 i. Théorème. Si une droite AB (fig. 328) e^f parallèle à un plan MN, et que par cette droite on mène un second plan qui coupe le premier, leur intersection sera une droite CD, parallèle à AB.

Car si les droites AB et CD, qui sont dans un même plan, avaient un point commun , ce point, appartenant à CD , appartiendrait au plan MN qui contient CD. La droite AB et le plan MN auraient donc un point commun, ce qui est contraire à la supposition.

Applications. I. Si Ton dispose le bord AB d'une table (flg. 32d) supposé rectiligne , parallèlemenl à une des lignes de la bordure de la tapisserie , êl qu'on place sur cette table une bougie allumée, de telle façon que l'ombre de la table se projette sur la muraille, la ligne de séparation ab, entre l'ombre et la partie éclairée, sera, d'après le tbéorème précédent, une droite parallèle au bord de la table , et, comme ce bord est aussi parallèle à l'une des lignes de la bordure, celle-ci sera parallèle à ab (417), et c'est ce qu'on observe en efTet.

11. Deux droites AB, CD (fig. 330) , parallèles entre elles et au pîan du tableau MN, restent parallèles en perspective. Car le plan des rayons visuels, menés aux différents points de AB, coupe le plan MN suivant une droite ab parallèle à AB. De même le plan des rayons visuels, menés aux différents points de CD, coupe le plan du tableau suivant une droite cd parallèle à CD. Donc cd est ^ussi parallèle à AB, et par conséquent à ab (417).

428. Théorème. Si une droite AB (fig. 328) est parallèle à un plan MN^ toute droite EF parallèle à ÂB est aussi parallèle au plan MN.

En effet, si l'on mène suivant AB un plan quelconque, il coupera le plan MN suivant une droite CD parallèle à AB (421). Les droites EF et CD, toutes deux parallèles à AB, sont donc parallèles entre elles (417). La droite EF étant parallèle à une droite CD menée dans le plan MN , est donc parallèle à ce plan (480).

GÉOMÉTRIE DANS L'cSPAGE. 201

Corollaire I. De cette proposition résulte la suivante, qui n'en difière que par la forme : Si deux droites sont parallèles, tout plan parallèle à l'vne est en même temps parallèle à l'autre.

Corollaire IL Si un plan est rencontré par une droite, il est rencontré également par toutes les parallèles à celte droite. Car si l'une d'elles ne le rencontrait pas, elle lui serait parallèle; il en serait donc de même de toutes les autres, d'après le théorème ci-dessus , et en particulier de la droite donnée elle-même , ce qui est contraire à la supposition.

4Î3. AppucATioif. Les propositions qui précèdent servent à démontrer le principe fondamental de la perspective , savoir que : deux droites parallèles entre elles, mais qui ne sont point parallèles au plan du tableau, concourent en perspective.

Soient, en effet , AB et CD (flg. 331 ) deux droites parallèles entre eUes, mais qui ne sont point parallèles au plan du tableau MN, et soit 0 l'œil du spectateur. Par le point 0, menons une parallèle à AB; puisque AB n'est point parallèle au plan MN, sa parallèle , menée par le point 0, ne sera pas non plus parallèle à ce plan (422, Coroll. Il), et le rencontrera en un certain point P.

Les parallèles AB et OP déterminent un plan , qui coupe le plan MN suivant une droite bP. Les rayons visuels menés du point 0 aux différents points de AB, étant tous contenus dans le plan ABOP, puisque chacun d'eux y a deux points, ne peuvent rencontrer le plan MN qu'en quelque point de la droite bP; cette droite est donc la perspective de la droite AB. On démontrerait de la même manière que la perspective de CD est une droite dP. Ainsi les perspectives des deux droites parallèles AB et CD concourent au point P.

On voit en môme temps que pour obtenir le point de concours P, il suffit de mener, par l'œil du spectateur, une parallèle aux droites proposées; le point où cette parallèle rencontre le plan du tableau est le point de concours demandé.

424. Théorème. Siufie droite AB (fig. 328) est parallèle à un plan MN, toute ligne CD, menée par un point C de ce plan, parais lèlement à kS, y est contenue tout entière.

Car, si par la droite AB et le point C on conduisait un plan, il couperait le plan MN suivant une parallèle à AB (421). Or, par un point pris hors d'une droite , on ne peut lui mener qu'une seule parallèle. Il faut donc que CD soit tout entière dans le plan MN.

428. Théorème. Toute droite AB (fig. 332) parallèle à deux plans MN et PQ qui se coupent, est parallèle à leur intersection CD.

Car, si par le point C on menait une parallèle à AB , en vertu du théorème précédent elle serait contenue tout entière dans le plan MN et dans le plan PQ. Cette parallèle n'est donc autre chose que rinfersection CD des deux plans.

426. Théorème. Lorsqu'une droite AB (fig. 328) est parallèle à un plan MN, tous les points de cette droite sont à égale distance de ce plan.

Car, soient AC et BD les perpendiculaires abaissées des points A et B sur le plan MN. Ces droites, perpendiculaires à un même plan,

302 SECONDE PÂRnS.

sont parallèles (416), et déterminent un plan qui contient AB, puisque cette droite y a deux points, et qui coupe le plan MN suivant une droite CD parallèle à AD (421). La figure ABCD est donc un parallélogramme rectangle , et l'on a AC = BD.

Remarque. La véritable distance d'une droite à un plan qui lui est parallèle est la longueur de la perpendiculaire abaissée d*un point de cette droite sur ce plan ; car cette distance est la même pour tous les points de la droite ; et d'ailleurs toute oblique serait plus longue.

427. Problème. Trouver laplus courte distance de deux droites qui ne sont point dans un même plan.

Soient AB et CD (fîg. 333) les deux droites proposées. Par un point quelconque Ë de la droite CD, menons une parallèle FG à la droite AB. Les droites CD et FG, qui se coupent, détermineront un plan MN. D'un point quelconque H de la droite AB, abaissons HI perpendiculaire sur ce plan. Par le pied I de cette perpendiculaire, menons IK parallèle à FG , et par conséquent aussi à AB. La droite IK rencontrera CD en un point L , sans quoi AB et CD seraient parallèles. Les droites AB et IK étant parallèles, sont dans un môme plan, qui contient la droite HI; si donc, dans ce plan, on élève au point L une perpendiculaire àlK, cette perpendiculaire rencontrera la droite AB en un certain point P. Je dis que la droite LP sera la plus courte distance demandée.

En effet, HI, perpendiculaire au plan MN, est perpendiculaire à la droite IK, menée par son pied dans ce plan. Les droites Ul et PL, situées dans un même plan , et perpendiculaires toutes deux à une même droite IK, sont parallèles entre elles. La figure HlLPest donc un rectangle, et PL est perpendiculaire à AB. La droite Ul étant d'ailleurs perpendiculaire au plan MN, sa parallèle PL est aussi perpendiculaire à ce plan , et par conséquent a la droite CD , qui passe par son pied dans ce plan. Ainsi PL est perpendiculaire a la fois aux deux droites données AB et CD.

Cela posé, je dis que toute autre droite Cm, qui joindrait deux points C et w , pris sur les droites proposées , serait plus longue que PL ; car, si dans le plan ABKl on abaisse tnn perpendiculaire sur IK, celte droite, parallèle à Hi, sera perpendiculaire au plan MN, et plus courte par conséquent que l'oblique Cm. Or , wn = PL, comme parallèles comprises entre parallèles ; donc PL est moindre que Cm.

La droite PL est donc la plus courte distance des deux droites AB et CD.

Remarque. La plus courte distance de deux droites est, comme on pouvait s'y attendre, leur perpendiculaire commune, et l'on voit que , quelle que soit la position des droites données, on peut toujours déterminer cette perpendiculaire.

6É0UÉTBIB DANS L'SSPAGE. 20S

On peut remarquer en outre que ia droite PL est la seule perpendiculaire commune à AB et à Ci). Supposons, en effet, qu'il en fût de même de mC; menons CO parallèle à IK et par conséquent à AB. La droite Cm , supposée perpendiculaire à AB Je serait aussi à sa parallèle CO ; et comme on la suppose perpendiculaire à CD, elle serait perpendiculaire au plan MN. Mais mn, parallèle à PL, est aussi perpendiculaire au plan MN. On pourrait donc, d'un même point m , abaisser sur un même plan UN deux perpendiculaires mC et mit , ce qui est impossible.