CHAPITRE IV

DBS AHGLBS QUE LES DROITES FOITT ENTRE ELLES DANS L'ESPACE^ ET DBS AHOLES QV^ELLES FORMEHT AVEC LES »LAES.

420. Quand deux droites se coupent dans l'espace, elles y dé* terminent un plan; tout ce que nous avons dit des angles formés par deux droites sur un plan devient donc applicable. Nous nous contenterons de généraliser le théorème du n"" U4.

TflÉOEMc. Deux angles ABC, DEF (fig. 334), qui ont leurs c6té$ parallèle^, et dirigés dans le même sens, sont égaux.

Pour le prouver, prenons sur deux côtés parallèles les longueurs égales AB et ED ; et sur les deux autres les longueurs égales BC et EF; et joignons AC, FD, AD, BE, CF.

Les droites AB et DE étant égales et parallèles, la figure A6ED est un parallélogramme ; donc AD est égal et parallèle àBE. Les droites BC et EF étant égales et parallèles , la figure BCFE est un parallélogramme ; donc CF est égal et parallèle à BE. Mais deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles; donc AD et CF sont légales et parallèles , et la figure ADFC est un parallélogramme ; d'où il résulte que AC et DF sont égaux. Maintenant, si Ton compare les deux triangles ABC et DEF, on voit qu'ils ont leurs trois côtés égaux chacun a chacun; ils sont donc égaux ; et les angles ABC et DEF, opposés à des côtés égaux, AC et DF, sont égaux.

Remarque. S'il s agissait des angles A'BC et DEF qui ont leurs côtés parallèles, mais dirigés en sens contraire, on voit qu'ils seraient encore égaux , car A'BC est égal à ABC comme lui étant opposé par le sommet.

S'il s'agissait des angles ABC et DEF, dont les côtés sont encore parallèles, mais dirigés, les uns, AB et DE , dans le même sens, les autres, BC et EF, en sens contraire, on voit qu'ils seraient, non pas égaux y mais supplémentaires; car ABC est le supplément de ABC,

429. Quand deux droites sont situées dans des plans différents , elles ne forment plus d'angle à proprement parler. Cependant, pour apprécier leur inclinaison mutuelle, on mène par un point de Tune d'elles une parallèle à l'autre, et Tanglo des deux droites qui se coupent sert de mesure à l'inclinaison cherchée.

450. Lorsqu'une droite ÀO (fig. 335) rencontre un plan MN sans lui être perpendiculaire , elle peut se rapprocher plus ou moins de ce plan, être plus ou moins inclinée par rapport à lui. Pour juger de cette inclinaison, on abaisse d'un point queibonque A de la droite une perpendiculaire AC sur ce plan; on joint le pied C de la perpendiculaire au piedO de l'oblique, par une droite CO, et l'angle AOC, formé par l'oblique et par la droite CO, est ce qu'on nomme l'angle de l'oblique avec le plan.

Pour justifier cette manière d'agir, il y a deux remarques importantes à faire :

1"* Quel que soit le point de la droite AO que l'on choisisse pour abaisser de ce point une perpendiculaire sur MN, c'est toujours la même droite CO, et par suite le même angle AOC que Ton obtient.

En effet, soit BD une autre perpendiculaire abaissée d'un point quelconque B de la droite AO sur le plan MN. Les deux droites AC et BD étant perpendiculaires à un même plan , sont parallèles entre elles, et déterminent un plan dans lequel la droite AO est contenue, puisqu'elle y a deux points, A et B. Les points C, D et 0 sont dans ce plan ; or ils sont aussi dans le plan MN ; ils sont donc sur l'intersection de ces deux plans , c'est-à-dire qu'ils sont en ligne droite. Ainsi , quelle que soit la perpendiculaire BD abaissée d'un point de AO sur le même plan MN, son pied D sera toujours sur la droite CO.

2» L'angle AOC ou BOD, est le plus petit de ceux que peut former l'oblique BO avec une droite menée par son pied dans le plan MN. Car soit 01 une autre droite menée dans ce plan par le point 0; prenons OI = OD, et joignons BL Les triangles BOD et BOI ont deux côtés égaux chacun à chacun , savoir : BO commun, et OD = 01 ; mais le troisième côté de l'un , qui est la perpendicu laire BD, est nécessairement moindre que le troisième côté de l'autre, qui est l'oblique BI ; donc l'angle BOD, opposé à BD, est moindre que l'angle BOI, opposé à BI (558).

Remarque. Lorsque d'un poiat A (Ûg. 318), extérieur à un plan MN, on mène plusieurs obliques égales AB, AC, AD, etc., ces obliques sont également incitnées sur ce plan. Car si AO est la perpendiculaire abaissée du point A sur ce plan, et qu'on joigne OB. OC, OD. etc., on voit que les triangles rectangles AOB, AOC, AOU, elc, sont égaux comme ayant l'hypoténuse égale et un cdlé cominuQ. Il en résulte Tégalilé des angles ABO, ACO, ADO, etc., qui mesurent rinclinaSson de ces obliques sur le plan MN.

GiOMÉTKIB DANS L'BSPACK. 305