CD=0BX11X3+0BX2==0BX33+0BX2=0BX36 [B
En ayant égard aux relations [5] et [6] , la relation [1] devient
AB=iOBx35X2+OBxil=OBx70+OBxil=OBx81 [7].
Ainsi la longueur OB est contenue 35 fois dans CD et 8} fois dam AB. Les longueurs donn^es sont donc entre elles dans le rapport des nombres 35 et 81.
La longueur OB, qui se trouve contenue un nombre exact de fois dans les deux longueurs proposées , est ce qu'on nomme leur commune mesure.
L'exemple précédent indique assez quelle est la marche à suivre pour trouver en nombres le rapport de deux longueiirs. Il faut porter la plus petite sur la plus grande autant de fois que cela est possible; porter de même le reste de celle-ci sur la plus petite, puis le second reste sur le premier , ^t ainsi de suite , jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste qui soit exactement contenu dans le précédent. Ce reste est la commune mesure des deux longueurs proposées ; et les nombres cherchés s'obtiennent en rapprochant les unes des autres les relations fournies par les diverses opérations eQéctuées.
Cette méthode offre une analogie frappante avec le procédé suivi en arithmétique pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres ; ce plus grand commun diviseur n'est autre chose , en effet, que la plus grande des communes mesures de ces deux nombres.
19. Deux nombres quels qu'ils soient , étant toujours formés de la réunion de plusieurs unités , ont au moins une commune mesure qui est l'unité elle-même. U n'en est plus ainsi pour les longueurs: il peut arriver qu'elles n'aient aucune commupe mesure, quelque petite que soit l'unité adoptée. Dans ce cas , ces longueurs sont dites incommensurables. En leur appliquant le procédé que nous venons d'indiquer, l'opération se prolongerait indéfiniment sans qu'on pût parvenir à un reste contenu dans le précédent un nombre exact de fois. Ainsi , le rapport des longueurs proposées ne saurait être exprimé rigoureusement par des nombres : je dis rigoureusement , parce que, dans la pratique, l'opération ayant nécessairement un terme, celui où le reste devient inappréciable à Taide de l'instrû- Btent employé, on peut admettre alors que le reste précédent soit
12 PREIUÈEE PARTIE.
la commune mesure des longueurs proposées; et les nombres que Ton déduit de cette supposition fournissent une approximation suffisante du rapport cherché.
Dans les problèmes précédents , nous avons supposé que Ton pouvait faire usage du compas. Si les longueurs proposées étaient trèsgrandes , le plus simple serait de mesurer ces longueurs , c'est-à-dire de les rapporter à une même longueur prise pour unité, ce qui permettrait de les exprimer en nombres , du moins approximativement ; et l'on n'aurait plus qu'à effectuer sur ces nombres de simples opérations d'arithmétique.
20. Une ligne brisée plane est dite convexe lorsqu'elle ne peut être rencontrée par une ligne droite en plus de deux points, telle est la ligne brisée ABCD (fig. 7). La ligne brisée ABCDP, au contraire, n'est point convexe, parce qu'une même droite pourrait rencontrer les trois côtés AB , CD et DP.
Théorèmi. Si d'un point A à un autre D (fig. 7), on mène, d'un même côté de la droite AD, deux lignes brisées convexes ABCD, AMNPD, la ligne brisée enveloppante AMNPD sera plus longue que la ligne brisée enveloppée ABCD.
Pour le démontrer, prolongeons AB jusqu'en I et BC jusqu'en 0 ; par la définition même de la ligne droite (4), nous aurons :
AB+BI <AM+MI BC-f-CO<BI +IN+NO CD<CO-|-OP+PD.
Ajoutant ces inégalités membre à membre, retranchant les termes B[ et CO qui entrent chacun dans les deux membres , et observant que MI+IN équivalent à MN , et NO-f OP à NP, il viendra
