CHAPITRE V

DBS AHCUBS DIBOKBS.

431. Lorsque deux plans se rencontrent, ils peuvent s'écarter plus ou moins l'un de l'autre. Ce plus ou moins d'écart est ce que Ton nomme V angle de ces deux plans. Mais pour distinguer les angles de cette espèce, de ceux que forment les droites entre elles, on donne aux premiers le nom A'angles dièdres, ou simplement de dièdres, et Ton affecte aux angles formés par les droites qui se rencontrent, la dénomination A*angles plans.

La considération des dièdres joue un rôle aussi important dans la forme des corps terminés par des surfaces planes, que celle des angles plans dans la forme des polygones. On trouve une preuve frappante de son importance dans la Cristallograpliie , c'est-à-dire dans la science qui enseigne à classer les substances m'inérates d'après les formes géométriques qu'elles affectent. Toujours les mêmes substances se présentent ou avec des formes identiques, ou avec des rormes liées entre elles par des rapports déterminés, cl dans chacune desquelles les dièdres sont constants. En sorte qu'il suffit de la mesure de ces angles pour décider à <ïuel système cristallin on doit rapporter une substance donnée; et en s'aidant d'un petit nombre d'autres caractères physiques, on détermine bientôt l'espèce minérale à laquelle appartient le cristal qu'on examine.

452. Lorsque deux plans forment un dièdre, chacun d'eux est ce que l'on nomme Tune dts faces du dièdre; et la ligne d'intersection des deux plans en est Varêie,

Pour désigner un dièdre, on emploie ordinairement quatre lettres, dont les deux moyennes sont prises sur son arête , et les deux extrêmes sur chacune de ses faces. Ainsi le dièdre que représente la figure 336 pourrait être désigné de Tune des quatre manières suivantes :

ADCF, FCDA, BCDE, EDCB.

On peut encore, pour'désîgner un dièdre, se contenter d'indiquer son arête; on dirait ainsi : le dièdre CD. Mais si plusieurs dièdres ont la même arête, il faut employer le premier moyen.

La grandeur, des faces d'un dièdre n'influe en rien sur la valeur de cet angle; de même que la longueur des côtés d'un angle plan n'influe en rien sur sa valeur.

455. La mesure d'un dièdre se ramène facilement à celle d'un angle plan. Pour cela, par un point de son arête, on élève, dans chacune de ses faces, une perpendiculaire à cette arête : l'angle que forment entre elles ces deux perpendiculaires peut servir de mesure au dièdre. Si l'on suppose, par exemple^ que DA et DE

aOd UGONDE PARTIE.

(fîg. 336) soient toutes deux perpendiculaires à CD, Tangle ADE servira de mesure au dièdre ÂDCF, et ce sera ce qu'on appelle, pour abr(^ger, son angle plan.

Voici maintenant sur quoi se fonde ce mode de mesure.

454. D'abord, quelque point de Tarêle que Ton choisisse pour lui élever une perpendiculaire dans chacune des faces du dièdre, ran$;le de ces perpendiculaires sera toujours le môme; car, si CB et CF sont deux autres perpendiculaires a CD, les droites DA et CB étant parallèles entre elles, puisqu'elles sont situées dans un même plan et perpendiculaires à une môme droite CD; et les droites DE et CF étant aussi parallèles entre elles par la môme raison, il en résulte que les angles ADE et BCF sont égaux (428).

En second lieu , l'égalité de deux dièdres entraine celle de leurs angles plans, et réciproquement. En effet, soient deux dièdres MCDN, mcdn (fig. 337), et soient AOB, aob leurs angles plans; c'est-à-dire, supposons que OA soit mené dans la face DM et OD dans la face CN , toutes deux perpendiculairement à CD ; et que ao soit mené dans la face dm , et ob dans la face en , toutes deux perpendiculairement à cd, (Il a fallu , dans la figure, donner une grandeur limitée aux faces des deux dièdres; mais il ne faut pas perdre de vue que ces faces peuvent ôtre prolongées par la pensée autant qu'on le voudi*a, sans rien changer aux raisonnements qui suivent.)

Je dis , V que si les dièdres MCDN, mcdn sont égaux, les angles plans AOB et aob sont égaux aussi.

Pour le prouver, transportons le dièdre mcdn sur le dièdre MCDX, de manière que leurs arôtes cd et CD coïncident, et que le point o tombe sur le point 0, ce qui sera toujours possible. Faisons ensuite tourner le dièdre mcdn autour de son arête jusqu'à ce que la face dm vienne coïncider avec la face DM. Les droites ao et AO seront dans un môme plan, et toutes deux perpendiculaires en 0 à Farôte CD devenue commune ; ces deux droites coïncideront par conséquent. Mais puisque les deux dièdres sont égaux, que leurs arôtes et deux de leurs faces coïncident, et que d'ailleurs on les suppose semblablement placés, il faut que les deux autres faces coïncident aussi. Les droites ob et OB sont donc dans un môme plan, et toutes deux perpendiculaires en 0 à Taréte commune CD ; donc ces deux droites coïncident. Par conséquent les angles plans aob et AOB coincideat et sont égaux.

Je dis, 2"* que si les angles plans aob et AOB sont égaux, les dièdres mcdn y MCDN sont égaux aussi.

Pour le prouver, plaçons, comme ci-dessus, le dièdre mcdn sur MCDN, de manière que les arôtes cd et CD coïncident, aiusî que les faces md et MD, et que le point o tombe au point 0 ; les

GÉOMÊTJUfi DAHS L'BSPAGE. 207

droites ojo et AO coïncideront comme nous l'avons prouvé. Mais les quatre droites OA, OB, oa, oh, tontes quatre perpendiculaires à Taréte CD devenue commune, sont dans un même plan perpendiculaire à cette arête (399, Coroll.). Or, puisque les angles aob et AOB, qui sont dans le même plan, semblablement placés, et ont même sommet et un côté commun OA, sont égaux , il fiiut que les côtés oh et OB coïncident. Les faces en et CN ont donc deux droites communes, OB et OC, qui se coupent; donc ces faces coïncident, puisque deux droites qui se coupent déterminent un plan. Donc les dièdres mcdn et MCDN coïncident et sont égaux.

Enfm :

455. Théorème. Deux dièdres quelconques sont entre eux comme leurs angles plans.

En effet, quels que soient les dièdres proposés, on peut toujours, en transportant convenablement l'un d'eux , ainsi que nous l'avons fait tout à l'heure, les amener à avoir même arête, et une face commune. Soient MDEN et MDEP (fig. 338) les deux dièdres proposes ainsi placés.

Par un point 0 de l'arête commune DE, élevons dans les faces DK, DN, DP, les perpendiculaires OA , OB, OC. Les angles AOB, AOG seront les angles plans correspondants aux dièdres proposés. Dans le pian des perpendiculaires OA, OB, OC, décrivons, du point 0 comme centre , avec un rayon arbitraire , l'arc de cercle abc.

Supposons d*abord que les arcs ah et ac aient une commune mesure qui soit contenue, par exemple, 3 fois dans ah et 5 fois dans ae.

Divisons ac en 5 parties égales, ah contiendra 3 de ces parties. Par tous les points de division , menons des droites au point 0; ces rayons partageront l'angle aOc en 5 angles égaux, puisqu'ils auront même mesure; l'angle a06 en contiendra 3. Enfin, par tous ces rayons et par l'arête DE faisons passer des plans ; ces plans partageront le dièdre MDEP en 5 dièdres égaux, puisque leurs angles plans seront égaux ; le dièdre MDEN en contiendra 3. Les dièdres proposés MDEN et MDEP sont donc entre eux comme 3 est à 5 ; mais les angles aOh et aOc sont aussi entre eux comme 3 est à 5. A cause de ce rapport commun , les dièdres sont donc entre eux comme les angles plans, et Ton a la proportion

MDEN: MDEP:: AOB: AOC.

Supposons en second lieu les arcs ah et ac incommensurables. Divisons ac en n parties égales; ah en contiendra un certain nombre m , et sera compris entre m et »i + 1 de ces parties. Le

rapport — sera donc compris entre '^ et ^^ -. Par tous les points

de division, et par Taréte DE , menons des plans; le dièdre MDEP

sera divisé en n dièdres égaux; le dièdre MDEN en contiendra m,

et sera compris entre m et m + 1 de ces petits dièdres. Le rap-

, MDEN , ' . ^ , «» + l

port i^ixpp sera donc compris entre -- et — - — .

Mais les quantités — et ne diffèrent que de - ; les rap-

ports TSKtfp et — , compris entre ces quantités , diffèrent donc de

moins de - , c'est-à-dire de moins de toute quantité donnée, puisque - peut être rendu aussi petit que l'on voudra en prenant n suffisamment grand. Donc ces rapports sont égaux , et Ton peut écrire MDEN : MDEP ::ab: ac :: AOB : AOC.

456. Lorsque deux plans MR , NS (fig. 339), se traversent mutuellement, ils forment quatre dièdres qui ont pour arête commune la droite d'intersection EF, savoir :

NEFP, PFEQ, QEFM, IffEN.

Si par un point 0 de l'arête commune on élève dans les différentes faces de ces dièdres les perpendiculaires OA. , OB, OC, OD, ces perpendiculaires seront dans un même plan , et les quatre dièdres seront mesurés par les quatre angles plans AOB, BOC, COD, DOA.

Si les quatre angles plans sont égaux , les quatre dièdres le sont aussi. Dans ce cas, les angles plans sont droits, et les dièdres cor^ respondants se nomment aussi des dièdres droits.

L'angle dièdre droit sert d'unité d'angle dièdre, comme l'angle droit ordinaire sert d'unité d'angle plan , ou comme le quadrans sert d'unité d'arc.

L'angle plan qui sert de mesure à un dièdre , ou plutôt l'arc de cercle qui sert de mesure à l'angle plan, pouvant s'exprimer en degrés, minutes et secondes, rien n'empêche de prendre cette expression pour la mesure même du dièdre. Mais il faut avoir soin de se souvenir qu'elle n'exprime qu'une simple proportionnalité. Dire, par exemple, que la valeur d'un dièdre est de 40* 17', c'est dire que ce dièdre est à l'angle dièdre droit comme l'arc de ^O** 17^ est à l'arc de 90** ou au quadrans.

Les quatre perpendiculaires OA, OB, OC, OD, étant dans un même plan , on peut appliquer aux quatre dièdres tout ce que nous avons dit des angles formés par deux droites qui se coupent. Ainsi :

Les dièdres adjacents, c'est-à-dire formés par l'un des deux plans

d'un même côté de l'autre, comme MFEN et NEFP, valent en somme detcx dièdres droits.

Les dièdres opposés par le sommet, tels que MFEN et PFEQ^ sont égaux.

On démontrerait sans peine que la somme totale de tous les diè^ dres que l'on peut former autour d'une même arête , équivaut à 4 dièdres droits;

Que si deux angles dièdres qui ont une même arête et une face commune, valent en somme 2 angles dièdres droits, leurs faces extérieures sont dans un même plan, etc. etc.

437. Théorème. Si par un point 0 (fig. 340) de V arête IXHkd'un dièdre, on élève des perpendiculaires OC et OD à ses faces MP et MQ, V angle COD formé par ves perpendiculaires est le supplément de celui qui mesure le dièdre.

Menons en effet , dans les faces MP et MQ, les droites OA et OB perpendiculaires à Tarête MN. Les quatre droites OA , OB, OC, OD étant perpendiculaires à MN , sont dans un même plan. La somme des quatre angles AOB, BOD, DOC, COA vaut donc quatre angles droits. Mais les angles COA et BOD sont droits ; les deux autres COD et AOB sont donc supplémentaires. Or AOB mesure le dièdre proposé ; donc le théorème est démontré.

Mesure des angles dièdres.

439. Pour mesurer les angles dièdres, on emploie dans les arts un instrunaent auquel on donne le nom de fausse- équerre. U se compose de deux règles, AB et AG (fig. 341], réunies à Tune de leurs extrémités par un axe ou pivol autour duquel elles peuvent tourner à frottement doux , de manière que leurs arêtes extérieures AB et A'C, et leurs arôtes intérieures ah et ac qui sont parallèles aux premières, puissent prendre Tune à l'égard de Tautre toutes les inclinaisons possibles. Pour se servir de cet instrument, on trace sur chacune des deux faces de Tangle dièdre à mesurer, à partir d'un même point de son arête, une perpendiculaire à cette arête. On pose ensuite la fausse-équerre à cheval sur l'arête en question , de façon que les bords intérieurs ah et ac coïncident avec les perpendiculaires tracées. L'angle de ces droites a& et ac est la mesure de l'angle dièdre proposé : il ne s'agit plus que de rapporter cet angle sur un plan , pour pouvoir le mesurer au rapporteur.

A cet effet, on choisit une surface parfaitement plane, terminée par un bord rectiligne solide, une table, par exemple. On applique exactement l'arête intérieure ah de la fausse-équerre contre le bord de la table , et l'on fait coïncider la règle A'C (fig. 342) avec le plan de celte table. On fait alors glisser une pointe à tracer le long de l'arête ac ; l'angle que forme la droite tracée avec le bord de la table est l'angle plan qui sert de mesure à l'angle dièdre ; et il peut être évalué à l'aide du rapporteur.

Il peut arriver qu'on ait à mesurer un dièdre dont les faces ne soient accessibles que par leur superficie interne ; tels sont les dièdres formés par la surface Jolerne des murs d'un appartement. Dans ce cas, on ne peut plus mettre ta fausse-équerre à cheval sur l'arête du dièdre ^d mesurer. Hais alors, après avoir tracé, comme précédemment, sur deux faces du dièdre, et par un même point

210 IliCONPli; PABilË.

df son ap4U> d«uK perpandloulaires ï c^lU arôU. op foil coYocidar avec ce* perpendiculaires les bords extérieurs AB el AC ( fig. 3i3) dç la fausse-é<iuciTç. On transporte ensuite l'iastrument sur une surface plane, comme nous ravons indiqué tout li Tlieure, pour obtenir la mesure de l'angle formé par les ariles intérieures a& et ac : cet angle est évidemment le même que l'angie formé par les arêtes extérieures AB e( VC Car AB et ab sont parallèles, ainsi que A'C et ac. Or l'angle des droites AB et A'C est précisément la mesure de l'angle dièdre proposé.

439. On se sert quelquefois de la fausse-équerre pour tracer des parallèles, ep l'appuyant sur la propriété des angles correspondants, Llnspeclioa de la figure 342 suffira pour faire comprendre comment on doit opérer.

440. Les angles dièdres des substances cristallisées se mesurent avec une sorte de fausse- équerre, munie d'un rapporteur, b laquelle on donne le nom de goniomètr» (Ôo% 844). Le demi-»cercle de ce rapporteur n'est pas, eomme à l'ordinaire» entièrement fermé par le diamètre ; celui-ci ne se prolonge que de D en 0 (Il est caché dans la figure). Au point 0, centre du rapporteur, se trouve un axe autour duquel se meut une alidade mobile cnm, La branche ac de cette alidade mobile peut s'allonger ou se raccourcir à volonté, au moyen d*une rainure qui y est pratiquée, et dans laquelle s'engage l'axe placé en 0. Sur le diaipètre , ou plutôt sur le rayon OD , se trouve appliquée une autre alidade , percée également d'une rainure dans laquelle s'engagent l'axe 0 et un autre axe placé en D. Cette disposition permet d'allonger ou de raccourcir à volonté la branche ab de cette alidade suivant la grandeur du cristal. La ligne de foi OD du rapporteur passe par les deux axes 0 et D; et l'arête mn de l'alidade mobilt passe également par le centre 0.

Pour se servir de cet instrument, on applique les branches ab et ac des alidades à cheval sur l'arête de l'angle dièdre à mesurer, et l'on fait coïncider les bords ab et ac avec les faces de cet angle , en ayant soin de maintenir ces bords perpendiculairement à l'arête. L'angle bac est alors la mesure du dièdre cherché ; et d'après la position de l'instrument, il est facile de voir que l'angle des droites mn et OD, c'est-à-dire l'angle dont on peut lire la valeur sur le limbe, est égal à l'angle bac-, car mn est parallèle à ac, et OD parallèle a ab i ces deux angles ont donc leurs cdtés parallèles chacun à chacun et dirigés en sens contraire.

11 arrive souvent que, le cristal se trouvant engagé avec d'autres substances , l'extrémité i du demi-cercle gêne l'application des alidades »ur les faces d« l'angle dièdre. Pour remédier à cet inconvénient, le demi-cercle est brisé à charnière en y , en sorte que la partie yx peut se replier sur la partie vD. La branche Ox, qui sert à assurer la solidité du système , se décroche et se ramène en arrière par un mouvement de rotation autour du point 0. Dès que les alidades ont été appliquées sur le cristal , on remet le demi-cercle en place poar pouvoir lire sur le limbe la valeur de l'angle cherché.

La difficulté d'appliquer les alidades bien perpendiculairement à l'arèlo d« l'angle dièdre nuit beaucoup à l'exactitude des résultats. Aussi n'emploie-t-on le goniomètre dont nous venons de parler que lorsqu'on veut une mesura prompte et qu'on ne désire pas une grande rigueur. Dans le cas contraire, oo • recours à un autre mode de mesure, fondé sur la réflexion de la lumière, ei dont nous ne pourrions donner le détail ici.

444. Applications. L L'égalité des angles dièdres est indispensable à observer dans les assemblages de charpente ou de menuiserie. Il faut que les dièdres saillants de chacune des deux pièces à assembler soient égaux aux dièdres rentrants qui doivent les recevoir. C'est ce qu'on peut ol)server dans les aisem* Itlagcs par simple entaille (fig. 3i&) §t dans les assemblages à (rati de JupUn- (flg. 3i6).

Dans ce dernier mode d'assemblage i Içs pièces M et ^ UUsent eutrt tUes un

GÉOUtTUI 0AM8 i'iSfACb. 211.

espace vidf où l'on introduit do force une sorte de coin ou de clef »• qui sert à consolider le syslème.

11. bans l'an du çatoier, VégalHé des dièdres trouve aussi son application : il faut que les dièdres qui sont en saillie sur l'objet pour lequel on confectionne un étui , soient reproduits fidèlement en creux dans cet étui, afin que l'objet puUse y lifo Introduit evec exactitude.