CHAPITRE VI

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449. Lorsque l'angle dièdre formé par deux plans qui se rencontrent est droit, ces plans sont àiis perpendiculaires entre eux.

Telle est ordinairement la position mutuelle du planclier et des murs d'un appartement; ces murs eux-mêmes sont le plus souvent perpendiculaires entre eux deux ii deux. U en est de même des parois internes de la plupart des bottes et des caisses, soit entre elles , soit par rapport au fond.

443. Tdéorèmk. Si deux plans Wi, OP (fig. 347), sont perpendiculaires entre eux, toute droite AB^ menée dans l'un de ces plans perpendiculairement à leur intersection commune OT), est perpendi-^ culaire à l'autre plan.

Car, si Ton mène, dans le plan MN, la droite BC perpendiculaire à OD , Vangle ABC sera la mesure de l'angle des deux plans , et sera par conséquent droit , puisque ces deux plans sont perpendiculaires entre eux. Mais déjà Tangle ABO est droit; la droite AB est donc perpendiculaire à deux droites BO et BC , qui passent par son pied B dans le plan MN; elle est donc perpendiculaire à ce plan (399).

CoEOLLAiBB I. Si par un point de l'intersection commune OD on élevait une perpendiculaire au plan MN^ elle serait contenue t&uf entière dans IcplanOP.

Car, soit B ce point ; si dans le plan OP on mène BA perpendicu* laireà OD, cette droite, en vertu du théorème précédent, sera per* pendicolaire au plan MN. Or, par un point pris sur un plan, on ne peut lui élever qu'une seule perpendiculaire.

Corollaire II. 5^, par un point quelconque du plan OP, on abaissait une perpendiculaire sur le plan MN, cette perpendiculaire serait contenue tout entière dans le plan OP.

Car soit A ce point; si dans le point OP on mène AB perpendiculaire à OD, cette droite, en vertu du théorème précédent, sera perpendiculaire au plan MN. Or, par un point pris hors d'un plan , on ne peut abaisser qu'une perpendiculaire sur ce plan.

Corollaire III. Pour mener une perpendiculaire à un plan UN , par un point A ou B appartenant à un plan OP perpendiculaire au premier , il suffit de mener par ce point , dans le plan OP , une perpendiculaire AB à rintersection commune des deux plans,

444. Théorème. Lorsqu'une droite AB (fig. 347) est perpendiculaire à un plan MN , tout plan OP passant par cette droite est perpendiculaire au premier.

Car, si Ton mène dans le plan MN la droite BC perpendiculaire à l'intersection OD des deux plans , Tangle ABC sera droit ainsi que Tangle ABO, puisque AB, perpendiculaire au plan MN, est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans ce plan. Or Tangle ABC , formé par deux droites AB , BC élevées dans chacun des plans OP et MN perpendiculairement à leur intersection commune OD, mesure Tangle de ces deux plans; donc cet angle est droit, et les deux plans sont perpendiculaires entre eux.

Corollaire I. Ce théorème peut encore s'énoncer de la manière suivante : Tout plan MN , perpendiculaire à une droite AB menée dans unplan OP , est perpendiculaire à ce plan.

Corollaire II. Le théorème précédent fournit le moyen de mener par une droite donnée un plan perpendiculaire à un plan donné MN (Hg. 347). SiAPest la droite donnée, abaissez d'un point quelconque A de cette droite une perpendiculaire AB sur le plan donné MN; le plan des droites AP et AB sera le plan cherché; car il contiendra la droite donnée AP, et il sera perpendiculaire au plan MN, puisqu'il contiendra une droite AB perpendiculaire à ce plan.

Le problème n'est susceptible que d'une seule solution; car nous avons vu plus haut (450) que toutes les perpendiculaires abaissées sur un môme plan des difiërents points d'une droite forment avec cette droite un seul et même plan.

Application. Soit MiNP (fig. 348) un bloc de pierre dont les trois faces 0M« ON, OP, soient planes, et supposons que , par une droite AB tracée sur la face OM , on veuille mener un plan perpendiculaire à la face ON. Par le point B on pourra toujours mener un plan perpendiculaire à l'arôle AO (412), et par conséquent h la face ON qui conUent cette arèle. Pour ne pas compliquer la figure, admettons que la face OP soit elle-même ce plan. Dans cette face menez BC perpendiculaire à Tarète OC, et par suite à la face ON (443, Coroll. III), le plan des droites AB et BC sera le plan demandé; car, d'abord il contient la droite AB ; en second lieu , il est perpendiculaire sur la face ON , puisqu'il contient la droite BC , perpendiculaire elle-même à celle face.

445. Théorème. Si deu^ plans 0?, QR (fig. 349) sont perpendi-^ culaires à un troisième plan MN, rintersection AB des deux premiers est amsi perpendiculaire au troisième.

Car si par un point B commun aux trois plans on élevait une perpendiculaire au plan MN, en vertu du premier corollaire du n« 445,

GÉOMÉTRIE DANS L'kSPAGE. 213

cette perpendiculaire serait contenue tout entière dans le plan OP, ainsi que dans le plan QR. Cette perpendiculaire n'est donc autre chose que l'intersection AB de ces deux plans.

CoROLLAHis. Réciproquement, si un plan MN ( fig. 349) est per^ pendiculcdre à l'intersection AB de deux plans OP et QR, il estper^ pendiculaire à chacun de ces plans.

Car AB étant perpendiculaire à MN, les deux plans OP et QR qui contiennent ÂB sont perpendiculaires àMN (444).

Appucatiohs. Lorsque les murs d'un appartement sont perpendiculaires au plancher, les arêtes des angles dièdres formés par les faces conUgues de ces murs sont aussi perpendiculaires au plancher. Si deux murs sont perpendiculaires entre eux et au plancher , Taréle de Tangle dièdre formé par le plancher et l'un de ces deux murs est perpendiculaire à l'autre.

Les plans perpendiculaires entre eux sont très-fréquemroenl employés dans les arls; et dans les conslrucllons on choisit d'ordinaire ceUe disposition mutuelle des plans, préférablement à toute autre , en raison de la régularité et de la stabilité qui en résultent.