CHAPITRE VII

DES PLANS PAftALLàLES BNTRE EUX.

446. TfltoBÈHB. Lorsque deux plans, MN^ PQ (fig. 350), sont perpendiculaires à une même droite AB, ils ne peuvent se rencontrer quelque loin qu'on les prolonge.

Car s'ils pouvaient avoir un point commun que nous désignerons par 0 ; soient ÂC et BD les droites menées de ce point 0 aux points A et B : les angles BAC et ABD seraient droits, puisque la droite AB est perpendiculaire aux deux plans (401); dans le triangle formé par les droites ACO, BDO et AB, il y aurait donc deux angles droits, ce qui est impossible.

RsKÀRQUE. Lorsque deux plans ne peuvent se rencontrer, quelque loin qu*on les prolonge, ces plans sont A\\& parallèles entre eux. Le théorème ci-dessus peut alors s'énoncer ainsi : Deux plans per^ pendiculaires à une même droite sont parallèles entre eux.

Corollaire. Pour mener, par un point donné, un plan parallèle à un plan donné, il suffit d'abaisser, du point donné, une perpendiculaire sur le plan donné, et de mener, par ce même point, un plan perpendiculaire à cette droite.

447. Théorème. Si deux droites qui se coupent, AB et CD (fig. 351), sont respectivement parallèles à deux autres droites qui

31 ft SECONDS PARTIS.

i$ coupent, £F et GH» le plan MN» déterminé par kê deux premières^ e$t parallèle au plan PQ, déterminé par les deux autres,

Ea effet, la droite AB éUnt parallèle à EF, est parallèle au plan PQ (4S0). Si donc le plan MN rencontrait le plan PQ, leur interseciion devrait être parallèle à AB (4Si}. Mais CD, étant parallèle à GH, est aussi parallèle au plan PQ ; et si le plan MN rencontrait le plan PQ, leur intersection devrait être parallèle à CD. Or, cette intersection ne saurait ôlre parallèle à la fois aux deux droites AB et CD qui se coupent ; donc les plans MN et PQ ne peuvent se rencontrer, et sont par conséquent parallèles.

COBOLLAïas. Pour mener, par un point donné, un plan parallèle à un plan donné, on peut tracer dans le plan donné deux droites qui se coupent, et mener par le point donné des parallèles à ces deux droites; le plan de ces deux parallèles sera le plan demandé.

Application. SI sur dsux faces plan«s coDtiguSfl d'une pièce de bois on t tracé les droiles AB el AC (fig. 3ô2 ) qui doivent guldsr un Irait de scitj pour guider un nouveau Irait de scie parallèle au premier , c'est-à-dire pour déterminer un plan parallèle à celui des droites AB et AC, il suffira, par un point D de l'arête AD, de meuer sur les mêmes faces les droiles 1)Ë el 1)F respectivement parallèles à AB et à AC ; le pian des deux droiles DE et DF sera le plan cherché.

Remarque. Si les droites AB et AC élaient perpendiculaires à l'aréle AD, le plan de ces deux droites serait au&ti perpendiculaire à celte arête (399j, et il en serait de même du plan de leurs parallèles DE et DF. Ainsi le llieurème du n* 446 n'est qu'un cas parliculier de celui du n" 447 ; mais le premier se présente plus naturellement à l'esprit , c'est pourquoi nous l'avons placé avant l'auire.

443. Théorème. Les intersections AB et CD (fig. 353) de deux plans parallèles MN et PQ^ par un troisième plan XïSCD, sont parallèles entre elles.

Car si les droites AB et CD, qui sont dans un môme plan, n'étaient point parallèles, elles se rencontreraient, et leur point de rencontre appartiendrait a la fois au plan MN qui contient la droite AB el au pian PQ qui contient la droite CD. Cea deux plans ne seraient donc pas parallèles, ce qui est contraire à la supposition.

Applicatioii. La surface d'une table est ordinairement un plan paraUèle au plancher. Si, sur celte table, on pose une bougie allumée ^ttg. 364;, tous les rayons Oa, Om, Ob, etc., parlis de la flamme , qui iront raser le bord ab de la table, seront dans un même plan dont l'intersection avec le plan de la table sera le bord ab lui-même. Le plan aOb ira rencontrer le plancher suivant une autre droite AB, qui sera la ligue de séparation entre l'ombre et la parUe éclairée. D'après le théorème précédent, les droites ab et AB seront paraUetet. 11 en sera de même des droiles analogues hc el BC, cd et CD; da et DA.

Les angles abc et ABC, ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même . uns, seront égaux. U en sera de même des angles bed et llCD, etc. C'est ce qu'on observe en effet.

449. Théorème. Si deux plans MN et PQ sont parallèles (fig. 353), et que par un point C pHs dans le plan PQ, on mène une droite CD

6Ê0MÊTRII DANS L*8SPAGP, 215

paraUih au plan MN, c$tte droite sera ôontênue ioui eniièm dam h ptonPQ.

Car %\ par la droite CD on mène un plan quelconque ABCD, qui coupole plaa MN suivant une droite AB, cette droite AB sera paraU lôleàCD, en vertu du théorôme du n<>4tfi. L'intersection de ce même plan aveo le plan PQ sera aussi une parallèle à AB, en vertu du théorôme précédent. Or, par un même point C on ne peut mener à une droite AB qu'une seule parallèleà Donc cette intersection n'est autre chose que la droite CD elle-même ; et cette droite est contenue tout entière dans le plan PQ.

CoROLLÀiEB. Si une droite rencontre un premier plan^ elU rencontre tous les plans parallèles.

Car si elle était parallèle à l'un d'eux, elle devrait être tout entière contenue dans le premier, ce qui est contraire à l'hypothèse*

450. Théorème. Lorsque deux plans, MN et PQ (tig. 350 )f sont parallèles, toute droite AB, perpendiculaire à Vun d'eux MN, est en même temps perpendiculaire à Cautre.

Pour le prouver, tirons dans le plan PQ la droite quelconque BD; suivant AB et BD conduisons un plan qui coupera le plan MN suivant une droite AC parallèle à BD, d'après le théorème du n° 448. Or, AB est perpendiculaire à AC, puisqu'elle est perpendiculaire au plan MN; donc elle est aussi perpendiculaire à sa parallèle BD. Et comme BD est quelconque, il s'ensuit que AB est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans le plan PQ, et que, par conséquent, elle est perpendiculaire à ce plan.

Corollaire. Il résulte de ce théorème que par «n/^om^B jom hors d'un plan MN on ne peut mener qu'un seul plan parallèle à MN. Car, si l'on en pouvait mener deux, ils devraient être tous deux perpendiculaires a la droite BA abaissée du point B perpendiculairement sur le plan MN. Or, par un point d'une droite, on ne peut mener qu'un seul plan perpendiculaire à cette droite.

4ëi. TheorAme. Deux plans parallèles à un troisième sont parallèles entre eux.

Car, si l'on mène une droite perpendiculaire au troisième plan, en vertu du théorème qui précède, cette droite sera aussi perpendi^ culaire aux deux premiers. Ceux-ci étant perpendiculaires à une même droite sont donc parallèles entre eux.

452. TflÉORÈMS. Les portions AC et BD (fig. 353) de deux parallèles, comprises entre deux plans parallèles MN et PQ, sont égales.

Car, si parles parallèles AC et BD on fait passer un plan, il cou^ perales plans MN et PQ suivant deux parallèles AB et CD. La figure ABCD sera donc un parallélogramme. Donc AC =BD.

Corollaire. Si de deux points quelconques du plan MN on abaisse des perpendiculaires sur le plan PQ, ces droites perpendiculaires à

un même plan seront parallèles entre elles (415). Mais d'après le théorème précédent, les portions de parallèles comprises entre deux plans parallèles sont égales ; les deux perpendiculaires dont nous parlons seront donc égales. D'ailleurs, chacune d'elles étant perpendiculaire à la fois aux deux plans (450) mesure la plus courte distance de ces plans, car toute oblique serait plus longue. Par conséquent deux plans parallèles sont partout également distants,

455. Théorème. Deux droites quelconques ABC, DEF (fig. 355) sont coupées en parties proportionnelles par trois plans parallèles MN,PQ,RS.

Pour le prouver, menons ÀHI parallèle à DF. En vertu du théorème précédent, on aura DE =: AH et £F = HI. Mais, si par les deux droites Âl et AC on fait passer un plan , il coupera les plans parallèles PQ et RS suivant les droites parallèles HB et IC. A cause du parallélisme de ces droites, on aura donc :