DE : EF ;: AB : BC

CoROLLATRS I. On déduit de la proportion précédente :

DE + EF:DE::AB-f BC:AB ou DF :DE :; AC ; AB.

Corollaire II. La proportion AH : HI :: AB : BG exprime un théorème qu'on peut énoncer comme il suit : Deux droites qui se rencontrent, AI et AC, sont coupées proportionnellement par deux plans parcUlèles PQ et RS.

Corollaire III. Une série quelconque de plans parallèles couperait les deux droites AC et DF en parties proportionnelles.

454. Théorème. Lorsque deux plans MN, PQ (fig. 356), sont parallèles, tout plan ABCD perpendiculaire à l'un d'eux, PQ, est en même temps perpendiculaire à l'autre.

En eifet, si, par un point 0, pris sur l'intersection CD des plans ABCD et PQ, on élève, dans le plan ABCD, une perpendiculaire 01 à cette intersection , cette droite 01 sera perpendiculaire au plan PQ (445), et par conséquent au plan parallèle MN (450); donc le plan ABCD qui passe par 01 est perpendiculaire au plan MN (444).

455. Théorème. Quand deuxplansparallèlesMfietPQ (fig, Zb^) sont coupés par un troisième ABCD, les angles dièdres, tels que MBAC, ACDQ, qu'on peut nommer alternes-internes , sont égaux.

En effet, supposons que Ton mène un plan perpendiculaire aux deux droites d'intersection AB et CD, qui sont parallèles entre elles (448) ; et , pour ne pas compliquer la figure , soient MB , BD, DQ les intersections de ce plan avec les plans MN, ABCD et PQ. Les

GÊOyÊTRIR DANS L'ESPACE. 2i7

angles MBA, ABD, BDC, CDQ seront droits (401), et les angles plans MBD et BDQ serviront de mesure aux dièdres MBAC et ACDQ. Or les droites MB et DQ, qui sont dans un même plan , étant parallèles, puisqu'elles sont Tintersection de ce plan avec les plans parailèlesMN et PQ, les angles alternes-internes MBD et BDQ sont égaux. II en est donc de même des dièdres MBAC et ACDQ auxquels ces angles plans servent de mesure.

CoROLLAiBB I. Les anglcs MBAC, PCDU, que Ton pourrait nom* mer correspondants, sont égaux entre eux ; car le second est égal à Tangle ACDQ comme lui étant opposé par l'arête (436).

Corollaire II. On pourrait, en se fondant sur ce théorème, faire voir, par une démonstration entièrement analogue à celle qui a été employée pour les angles plans, que deux angles dièdres qui ont leurs faces parallèles et dirigées dans le même sens (à partir de Tarête) sont égaux; qu'ils sont égaux encore si leurs faces sont toutes deux dirigées en sens contraire; et qu'ils sont supplémentaires quand deux de leurs faces sont dirigées dans le même sens et les deux autres en sens contraire.

4SS. TBtORÈaK. Si par deux droites parallèlet , AB et CD (fig. 367 ), on fai^ passer deux plans ABËP, GOHG , tous deua perpendiculaires à un troisième plan UN, les intersections EF et GH des deux premiers plans avec le troisième seront parallèles,

£d effet : soient AE et CG des perpendiculaires abaissées des points A et C sur le plan MN ; ces perpendiculaires seront respectivement contenues dans les plans ABFE et CDHG (443, Coroll. 11). De plus, elles seront parallèles entre eUes(4451. Or ABetCD étant aussi parallèles entre elles par supposition, U s'ensuit que le plan ABFE , qui contient les droites AB et AE , est parallèle au plan CDHG , qui contient les droites CD et CG parallèles aux deux premières (447). Donc les intersections EF et GH de ces plans parallèles, avec un troisième plan MN, sont parallèles entre elles (448).