CHAPITRE VIII

DBS DIRBCTIOSS TBITICAU» ET HOAISONTALBS.

487. Parmi les différentes directions qu'une droite peut prendre dans l'espace, il en est une qui mérite une attention particulière : c'est celle que prend un fil fixé à l'une de ses extrémités et sollicité à l'autre par un poids quelconque, par celui d'une masse de plomb, par exemple, ce qui a fait donner à cet appareil le nom de Jil à plomb.

La direction du fil à plomb , à laquelle on a donné le nom de verticale, est celle de la pesanteur elle-même, c'est-à-dire de cette

2ii ilGORDI PAITIli

force, inconnue dans m nature, qui attire lea corpi vert le centre de la (erre.

Il en résulte qu'an réalité les verticales sont des droites qui eon?ergent vers le centre du globe. Mais dans les applicaUons ordinaires de la Géométrie, les distances que l'on a à considérer sont tout à fait négligeables par rapport an rayon terrestre; en sorte que les verticales sont toujours assez voisines, et par conséquent asses peu Inclluéesles unes vers les autres pour pouvoir être regardées comme rigoureusement parallèles.

Dans la réalité aussi, la verticale d'un même lieu change 3i chaque moment de direction dans l'espace , en vertu du mouvement de la terre. Mais dans les applications ordinaires de la Géométrie , on fait atistraction du mouvement du globe, et la verllcale de chaque lieu a une direction 0xe, lorsqu'on ne la considère que par rapport è ce lieu même.

Dans les arts, les verticales sont appelées It^nef d'aplomb,

45$. Pour vériller si une droite est verticale , on fait usage d'une sorte de rèî^le AUCD^fi^^ 368) dont les areies latérales AB et CD sont paraUèles entre elles et à une ligne Intermédiaire Ol tracée sur la règle , et qu'on appelle la ligné de foi. En un point 0 de cette ligne de foi est fltée l'eitrémilé supérieure d'un fil à plomb. On met l'une des arêtes latérales, AB par exemple^ en centaot avec la droite XY que Ton veut vériller, et si celle-ci est verticale, il en eet évidemment de même de AB et de sa parallèle 01; ainsi le fil à plomb doit coïncider avec la ligne de foi.

U ne suffirait pas néanmoins que cette coïncidence eût lieu pour qu'Ml en pût conclure que XY est une verticale ; car le fil ^ plomb pourrait être retenu sur la ligne de foi par une inclinaison de la règle en arrière du fil , comme rin«dique la figure 3&U. A la vérité , on est averti de celte circonstance, parce quu le fil se brise au point 1 pour reprendre, à partir de ce point, la direction verticale; mais cette brisure pourrait ôtre asseï faible pour échapper à l'observa^ tion. Pour se mettre à l'abri de toute erreur de ce genre , il convient de falru une double vérification, c'est^Mlire qu'après avoir fait coïncider Taréte AB avec la droite à vérifier, on retourne l'instrument sur lui-même, de maniera que l'aréle CD vienne prendre la place de AB. 8i le fil à plomb dans ces deux posiUons de l'iotlrument couvre la ligne de foi , on peut être certain que celleci est verlicale , et qu'il en est par conséquent de même de la droite XY qu'il s'agissait de vérifier.

Applications. L'emploi des verticales est continuel dans les conslructions. On donne celle direction aux arêtes latérales de la plupart des murs, à celles deti jambages de porte ou de fenêlre , à celles des barreaux de grilles et de rampes, etc., etc.

4î>d. Si l'on imagine qu'on fasse passer par le centre de la terre un plan perpendiculaire à la verticale du lieu où Ton se trouve, on aura ce qu'on nomme le plan de Vhorizon rationnel de ce lieu. Si, par le lieu même, on suppose mené un plan perpendiculaire à la verticale de ce lieu , on a ce qu'on appelle Vhorizon sensible de ce même lieu. Par analogie , on donne le nom de plan horizontal à tout plan perpendiculaire a la verticale du lieu que l'on considère.

Lorsque l'espace que Ton a à considérer a une étendue négligeable par rapport à celle de la terre, ce qui arrive le plus ordinairement , les verticales pouvant être regardées comme parallèles, les plans perpendiculaires à ces verticales sont aussi parallèles entre eux;

GÉOMftTIIIB DANS L'BSPACE. 310

car, lorsque deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est en même temps perpendiculaire à Vautre; et lorsque deux plans sont perpendicalaires à une même droite, ils août parallèles entre eux. Nous considérerons donc désormais tous les plans horizontaux comme parallèles.

A?PUCATioifs. Les plans horizontaux sont d'un fréquent usage; tels sont les planchers et les plafonds de nos appartements, la face supérieure des marches do nos escaliers, celle de nos meubles, le fond des tiroirs , etc. ; telle est aussi la surface de Teau contenue dans un vase, ou même celle d'une pièce d'eau dormante, lorsqu'elle a peu d'étendue.

La surface des mers ne peut être considérée comme plane, même dans le cas d'un calme parfait, que dans une étendue très-reslreinle. Dans la réaltlé, cette surface est courbe. On peut en donner plusieurs preuves : la plus simple consiste dans ce fait bien connu, que lorsqu'un navfre commence à se montrer dans le lointain, on n'aperçoit d'abord que la parUe supérieure de sa mâture, la parUe inférieure et le corps même du bâtiment étant cachés par la courbure de la mer. Peu à peu, à mesure que le navire approche, on aperçoit une plus pande partie des mâlS) el le vaisseau devient visible dans son entier lorsque la distance qui le sépare de Tobservaleur est devenue assez petite pour que la courbure de la mer, dans cette étendue, soit devenue inappréciable.

400. Toute droite menée dans un plan horizontal porte ellemême le nom de droite horizontale.

Toiles sont toutes les lignes droites tracées sur un parquet, les arêtes des entablements, des balcons, des empâtements de l'architecture, etc.

Si , par un point quelconque d'une droite horizontale, on mène une verticale, les deux droites seront perpendiculaires entre elles (59D). Kéciproquement, toute perpendiculaire à la verticale est une horizontale (599, Coroll.), ce qui permet de considérer une horizontale indépendamment du plan horizontal dans lequel elle pourrait être contenue.

461. Par un point donné sur un plan quelconque, on peut toujours mener dans ce plan une horizontale. Il suffit pour cela de mener par le point donné un plan horizontal; Tintersection de ce plan horizontal avec le plan donné est la droite horizontale demandée. On voit en même temps que le problème n*est susceptible que d'une seule solution.

46S. Après avoir mené dans un plan quelconque une horizontale, si l'on mène dans ce plan une perpendiculaire à celle horizontale, on obtient ce que l'on nomme la ligne de plus grande pente de ce plan ; ce qui signifie que , de toutes les droiles menées dans le plan donné , cette droite est celle qui fait le plus grand angle avec le plan horizontal. Celte propriété se démontre facU lement.

Soient en effet, MN (flg. 3C0) le plan donné } t un point donné sur le plan; ABC un plan horizontal mené par le point I; AB l'intersecUon de ce plan avec le plan UN, c'est-à-dire une horizontale menée par le point 1; soient 10 une droite menée dans ie plan MN perpendiculairement à rhorizontale AB ; IH , une perpendi^ culaire à AB menée dans le plan ABC; OH une perpendiculaire à IH, et par

220 SECONDE PABTIE.

suite au plan ABC (414). Prenons sar la droite AB un point D quelconque; joignons HD, OD, et IH. L'oblique HD sera plus grande que la.perpendtculaire IH.

Cela posé, prenons sur HD une longueur Hr égale ^ HI, et joignons Or. Les triangles rectangles lOH et l'OH seront égaux comme ayant les côtés de Tangie droit égaux chacun à chacun. Il en résulte que Tangle OI'H est égal à Tangle OIH. Mais l'angle Ol'H, extérieur au triangle l'OD, équivaut à la somme des angles ODH et TOD ; il est donc plus grand que l'angle ODH. Donc aussi l'angle OIH est plus grand que l'angle ODH. Or ces angles sont ceux que font avec le plan horizontal ABC les droites OD et 01 (43#); de toutes les droites analogues, la droite 01 est donc celle qui fait avec ce plan le plus grand angle. En un mol, 01 est la ligne de plus grande pente.

463. L'angle OIH mesure l'angle dièdre que fait le plan MN arec le plan Horizontal ABC; c'est ce qu'on nomme Vinclinaison du plan MN à l'horixon. Lorsque l'on ne peut pas mesurer directement cet angle, on mesure l'angle OIV que fait la ligne de plus grande pente avec la verticale IV; cet angle est le complément de celui que l'on cherche.

Pour opérer plus commodément, on emploie un quart de cercle divisé (fig. 361 ), au centre duquel est suspendu un fil à plomb. On dresse une équerre sur la ligne de plus grande penle 01 ; contre le côlé OC de cette équerre, on appuie l'un des côtés du quart de cercle ; le Ûl à plomb Ca forme alors avec le cdtéCO un angle aCOégalà l'angle OIH, qui sert de mesure à l'Inclinaison cherchée ; car ces angles ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun. On n'a donc qu'à lire sur le limbe la valeur de l'angle aCO , pour avoir celle de l'Inclinaison cherchée.

Si le plan dont on cherche Vinelinaûon à Vhorixon n'était accessible qu'en dessous, comme cela pourrait nvoir lieu dans l'intérieur d'une mansarde, par exemple , on peut se passer de Téquerre , et dresser simplement le quart de cercle sur le plan en faisant coïncider le côlé Cb (fig. 362) avec la ligne de plus grande pente. L'angle aCd est égal à l'angle cherché , et l'on en peut Ure la valeur sur le limbe.

Applications. 1. Dans les constructions, les plans inclinés à rhorixon sont presque toujours soutenus par des pièces de bois ou de fer dont les arêtes sont parallèles à la ligne de plus grande penle. Par exemple , les arbalétriers AA ( fig. 863) sur lesquels repose un toit, ont leurs arêtes parallèles à la ligne de plus grande pente de ce toit.

Les châssis rectangulaires qui composent une toiture vitrée ont une partie de leurs arêtes horizontales; et les autres perpendiculaires aux premières, c'està-dire dirigées parallèlement à la ligne de plus grande pente.

II. Cette ligne de plus grande pente est celle que suit un mobile abandonné à son poids sur un plan incliné à l'horizon. Que sur un pareil plan on laisse par exemple rouler une bille ou couler un liquide , cette biUe ou ce liquide descendront par l'effet de la pesanteur, en suivant une ligne perpendiculaire à l'horizontale menée dans ce plan par le point de départ du mobile.

Cetle circonstance pourrait servir à déterminer sur un plan la direction de la ligne de plus grande pente , et par suite la direction commune des horizontales qu'on peut mener dans ce plan.

464. Nous avons vu (461) qu'un plan n'est pas nécessairement horizontal , par cela seul qu'il contient une droite horizontale ; mais que, dans un plan incliné à Thorizon, on ne peut mener qu'une seule horizontale par un point donné. Si donc on en peut mener deux , le plan doit être horizontal , ce qu'on peut exprimer en disant

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGB. 321

que deux horizontales qui se coupent déterminent un plan horizontal.

465. La plupart des procédés mis en usage pour vérifier les plans horizontaux sont fondés sur ce priocîpe. Nous en excepterons toutefois le suivant, qui n'est point, à la vérité, susceptible d'une grande rigueur.

Ce moyen, qui se présente naturellement, consiste à poser sur le plan à vérifier une bille aussi bien polie que possible. Si le plan n'est pas horizontal , la bille roulera évidemment en suivant, comme nous l'avons dit , la ligne de plus grande pente. Mais on n'obtient ainsi qu'une approximation grossière, parce que le léger frottement que la bille exerce sur le plan sufiit pour s'opposer à sa descente sous une inclinaison qui n'est pas toujours négligeable. On a cependant quelquefois recours à ce procédé pour établir horizontalement la planchette qui sert à lever les plans.

466. Dans les constructions, on emploie , pour vérifier les plans horizontaux^ un instrument que l'on appelle le niveau de maçon. Il se compose ordinairement de deux règles d'égale longueur , AG et BG (flg. 364), assemblées à angle droit, et réunies par une troisième règle transversale, de manière à former une sorte de triangle rectangle isocèle. En un point 0 de la bissectrice de l'angle C est suspendu un fil à plomb ; cette bissectrice , prolongée suivant HI « forme la ligne de foi. Les règles principales sont taillées en A et en B, de manière que les faces inférieures , sur lesquelles l'instrument repose , soient dans un même plan perpendiculaire à la ligne de fol. 11 résulte de cette disposition , que lorsque la ligne de foi est verticale , ce dont on est averti par sa coïncidence avec le fil à plomb , les faces inférieures sont nécessairement dans un plan horizontal, et réciproquement.

Il suflSraJt, d'après cela, pour vérifier si un plan est horizontal, d'y poser l'instrument par ses faces inférieures ; la ligne de foi devrait alors être verticale, et coïncider par conséquent avec le fil à plomb. Mais, comme ces faces inférieures sont très-petites, et qu'on n'est jamais parfaitement assuré qu'elles soient perpendiculaires à la ligne de foi, on se contente de faire en sorte que la ligne AB soit rigoureusement perpendiculaire à la ligne de foi. Pour se servir de l'instrument, on trace alors sur le plan à vérifier deux droites quelconques qui se coupent; ordinairement, on les choisit rectangulaires entre elles, pour que les effets soient plus sensibles. On fait coïncider alternativement la ligne AB avec l'une et l'autre de ces lignes, et, dans chacune de ces positions, on s'assure qu'en dressant l'instrument le fil à plomb vient coïncider avec la ligne de foi : on est assuré de cette manière que le plan proposé contient deux horizontales, et est par conséquent horizontal lui-même. Dans le cas contraire , le déCaïut de coïncidence entre le fil à plomb et la ligne de foi devient sensible dans l'une ou l'autre des positions successives du niveau.

467. Lorsque l'on a besoin d'une grande exactitude, comme cela arrive dans certaines opérations d'astronomie, de géodésie ou de physique, les moyens précédents ne peuvent plus suffire , et il faut avoir recours à un Instrument plus délicat, qui porte le nom de niveau à huile d*air.

Sur une règle en cuivre MN (fig. 365), est couché un tube de verre renfermé dans un tube de cuivre, à l'exception d'une partie AB qui reste visible. Le tube de verre est rempli d'eau , à cela près d'une très-petite portion occupée par une bulle d'air. Lorsque la règle MN est horizonUle, la bulle d'air occupe le milieu ah de la partie visible du tube de verre; cela lient à l'égalité parfaite des deux parties de l'instrument, et c'est dans cette égalité que réside la difficulté de sa construction. Si l'on vient à soulever la règle par l'une de ses exh^mités , l'eau , en vertu de son poids , se précipite vers l'extrémité opposée , et la bulle d'air remonte vers l'esitrémité soulevée. Il suffit du plus léger sou-

292 UCONDI PAITIC.

lèvement d« rupQ des deui^ extrémités du tube pour faire marcher ainsi la bulle d'air, ce qui dunue à l'instrumenl un grand degré de sensibilité.

Pour s'en servir, on pose la règle sur le plan à vérifler , dans deux directions successives ^ peu près rectangulaires enlre elles. Si , dans ces deux posilions , la bulle d'air demeure au milieu ab du tube, on peut être assuré que le plan proposé est horizontal. En effet , si dans la première de ces deux directions la bulle est resiée au milieu du tube, on ne peut pas en conclure d'une manière absolue que la règle MN est horizontale ; mais on peut être assuré du moins que les arêtes latérales de cette règle sont horizontales, car si elles étalent soulevées par Tune de leurs extrémités , la bulle quitterait le milieu du tube. Si donc on fait prendre ^ l'instrument une direction à peu près rectangulaire avec la première , ces arêtes se trouveront à peu près dirigées sui?ant la ligne de plus grande pente du plan; c'est-à-dire que l'instrument aura la position la plus favorable pour que cette pente soit accusée par le mouvement de la bulle. Si celle-ci ne change pas de place , on sera par conséquent assuré que la surface plane vérifiée est horizontale.

468. Les instruments que nous venons de décrire serviraient au besoin k mener, dans un plan Incliné, une droite horizontale. Avec le niveau k bulle d'air, par exemple, on obtiendrait ce résultat en cherchant la position pour laquelle la bulle occupe le milieu du tube : l'une quelconque des arêtes latérales de la règle MN servirait à tracer sur le plan proposé une droite qui serait horizontale.

469. Pour mener une horizontale dans la campagne , on se sert d'un Instrument particulier qui a reçu le nom de niveau d'eau. Il se compose d'un tube de fer-blanc AB (fig. 306) qui se relève à angle droit à chacune de ses ex(ré-> mités Aa et Bb, el se termine de part et d'autre par un tube de verre gradué. L'inslrument est supporté en son milieu par trois pieds, et les porUons Aa, Bb du tube sont dans une situation verticale. Le tube est rempli , à peu de chose près, d'une eau colorée. Par une propriété générale de l'équilibre des liauides» non-seulement la surface du liquide dans un vase est un plan horizontal, mais si le vase a plusieurs branches qui communiquent entre elles, les différentes surfaces du liquide dans ces diverses branches sont dans un même plan horizontal. Ce plan se nomme le niveau du liquide. (C'est pour cela que rinstrumenl aue nous décrivons porte le nom de niveau (Teau ; c'est pour cela aussi que I on désigne, presque toujours, dans les arts, les plans horizontaux et les droites horizontales par les expressions de surfaces de niveau et lignes de siveau.)

Lorsqu'on veut, \ l'aide du niveau d'eau, mener une ligne horizontale, on fait planter verticalement, aux extrémités de la ligne li mener, deux perches ou règles divisées , munies l'une et l'autre d'une planchette peinte de deux couleurs, et susceptible de glisser le long de la règle et de se fixer, par une vis de pression, en tel point de la perche qu'on le désire. Cette planchette se nomme un voyant.

On établit le niveau d'eau entre les deux règles. On place d'abord l'ail en b| et , b l'aide de signaux convenus , on fait élever ou abaisser le voyant C ju§«qu'à ce que son centre se trouve dans le plan horizontal déterminé |)ar les surfaces de niveau du liquide en b et en a. On place ensuite l'œil en a, et Ton fait varier la position du voyant D, Jusqu'à ce que son centre se trouve dans le plan du niveau du liquide ; on est assuré alors que la droite CD est boriiontale . puisqu'e'le a deux de ses points dans un plan horizontal.

476. La hauteur des points C et D au-dessus du terrain est donnée par les di«^ visions tracées sur les deux règles, au moyen de marques Iraoées derrière chaque voyant, el qui correspondent li son oentre. Cette hauteur est indispen* sable \ connattre dans l'ot^ératlon du niveUem$ni, dont nous avons maioUoiHt Il parler.

GfiOMiTail DANS L'ESPACE. 223

lfi?«Uv un terrain , o'eti déterminer la dUteaee de ses pointe les plus remarquables à un même plan horiionUI. Il n'est point nécessaire pour cela que ce plan horlionUl exisle en effiol; il suffit d'imaginer un pareil plan passant par un polnl donné du terrain.

Sotent A, B, G, D, E (fig. 36?), une sérié de pointe remarquables d'un ter* ra'm, et supposons que le point A appartienne au plan horizontal auquel on ▼eut rapporter tous les autres points, au niveau de la mer par exemple. On élève d'abord verticalement en A et en B les perches munies de voyants; on établit le niveau d*eau entre A et B, et l'on détermine Thorizonlale A'fi'. Cette droite étant parallèle au plan horizontal qui forme le niveau de la mer, tous ses pointe sont è égale distance de ce niveau (436) ; l'élévation des points A' et W au^easus du niveau de la mer est donc la même ; l'élévation du point B audessus de ce plan est donc la différence des verticales AA' et BB'. On a donc ainsi déterminé la hauteur verticale du point B au-dessus du point A. C'est ce que l'on appelle donner un coup de niveau.

On transporte ensuite le niveau d'eau entre B et C ; on élève verticalement au point C une perche munie d'un voyant , et Ton détermine l'horizontale EfC; la différence des verticales BB' el CC donne la hauteur du point C au-dessus du point B ; en y ajoutant celle du point B au-dessus du point A , qui a déjà été déterminée, on obtient la hauteur verticale du point C au*de$sus du point A. On continue de la même manière jusqu'au point le plus élevé du terrain.

Lorsque le terrain commence à descendre, les opérations sont encore les mêmes; U n'y a de différence que dans le calcul. Supposons, par exemple, qu'après avoir déterminé la hauteur verticale du point D au-dessus du point A , on veuille déterminer celle du point E. On élèvera verticalement au point E une perche munie d'un voyant; on établira le niveau d'eau entre D et E, et l'on déterminera l'horizontale I^E'. La différence des verticales EE' et DD' donnera la hauteur verticale du point D au-dessus du point E. Or on connaît déjà la hauteur verticale du point D au-dessus du point A ; eq retranchant la plus petite de la plus grande , on aura la hauteur verticale du point E aunlessus du point A , ou du point A au-dessus du point E.

Si , par exemple , on a trouvé que la hauteur verticale du point D au-dessus du point A est de S*,5, et que la hauteur verticale du même point D au-dessus du point E est de ]",7, on en conclura que la hauteur verticale du point E au* dessus du point A est de 3",d moins 1 ***,?, ou de 1",8. Mais si l'on a trouvé que la hauteur verticale du point D au-dessus du point A est de 1",4, et que I9 hauteur verticale du même point D au-dessus du point E soit de 2",G , on en conclura que la hauteur verticale du point A au-dessus du point E est de 2"',6 moins ]",4, ou de i",2; ou, en d'autres termes , que le point E est située i",2 de dislance verticale au-dessous du plan horizontal qui passe par le point A, le*quel est ici le niveau de la mer.

Remarque. Gomme les perches munies de voyante n'ont pas une hauteur indéfinie , on qpimprend que, lorsque le terrain offre une grande pente, si Ton ne rapprochait pas suffisamment les stations, il pourrait arriver, ou que l'horlaontale déterminée par le niveau d'eau passftt au-dessus de l'une des deux perches, comme AB (fig. 368), ou qu'elle vint couper le terrain au-dessous de l'une des deux perehes, comme CD (même figure). Il est donc indispensable de rapprocher d'autant plus les stations que la pente du terrain est plus considérable.

471. Tout plan qui contient une verticale se nomme lui^môme plan vertieat.

Pour vérifier un plan vertical , il suffit de s'assurer qu'on peut y tracer une verll^e. G'Mt è quoi l'on parvient san» pftUM). au moyen du petit appareil (fig. )68} que nous avons décrit au a«41I8, et que Ton nomme qualquafoli aiaai

22k SECOl^DE PARTIK.

improprement niveau de côté. On applique Tun des côlés de cet instrument sur le plan à Yérifier, et l'on fait varier graduellement sa position, jusqu'à ce que le fil à plomb vienne s'appliquer contre la règle; s'il coïncide alors avec la ligne de foi , c'est une preuve que celle-ci est verticale, il en est donc de même de l'arête latérale de la règle qui lui est parallèle ; et , puisque le plan proposé contient ainsi une verticale , il est vertical lui-même.

Applications. On donne ordinairement la direction verticale aux surfaces planes des murs, à celles des portes, des volets, aux vitres d'une croisée, aux surfaces latérales de la plupart des meubles. Les toiles sur lesquelles sont peints les décors d'un théâtre sont des plans verticaux. Dans la perspective , le plan sur lequel les objets doivent être représentés, et que l'on appelle le plan du tableau , est un plan vertical. Le plan méridien d'un lieu est le plan qui passe par la verticale de ce lieu et par les pôles de la terre; ce plan est donc un pian vertical, etc.

472. Par une droite donnée quelconque, on peut toujours faire passer un plan vertical. Car , si par un point de celte droite on mène une verticale, cette verticale et la droite donnée détermine* ront un plan vertical.

473. Tout plan vertical est perpendiculaire au plan de l* horizon^ puisqu'il passe par une verticale qui est elle-même perpendiculaire à rhorizon (444). Il en résulte qiïun plan vertical est perpendiculaire à tous les plans horizontaux , puisque ceux-ci sont parallèles au plan de Thorizon (484).

Réciproquement : Tout plan perpendiculaire à un plan horizontal est un plan vertical. Car , si par un point de l'intersection commune on élève une perpendiculaire au plan horizontal , c'est-à-dire une verticale, cette perpendiculaire sera contenue tout entière dans l'autre plan (443, Coroll. I) ; donc celui-ci est vertical.

Tout plan perpendiculaire à une droite horizontale est un plan vertical. Car , si par cette droite on mène un plan horizontal , il sera perpendiculaire au plan proposé (444) ; donc celui-ci est vertical , en vertu de ce qui précède.

474. Si deux plans verticaux se coupent, leur intersection est une verticale. Car ces plans étant tous deux perpendiculaires au plan de l'horizon , leur intersection est elie-môme perpendiculaire à l'horizon (448), c'est-à-dire qu'elle est verticale.

Applications. I. L'arête de l'angle dièdre , formé par deux murs verticaux , est uue verticale.

IL Le principe précédent trouve aussi son applicaUon dans la perspective.

Supposons que AK (fig. 360] soit le plan du tal>leau , AB son intersection arec le sol supposé horizontal. Soit 0 l'oeil du spectateur; abaissons de ce point une perpendiculaire OP sur le plan horizontal AM , et menons par le point P , que Ton nomme le pied du spectateur, des droites quelconques PG, PH. Les rayons visuels, menés du point 0 à tous les points de la droite PG, déterminent un plan OPG qui est vertical , puisqu'il contient la verticale OP. La perspecUve de CG , c'est-à-dire l'intersecUon du plan OPG avec le plan du tableau qui est verUcal , sera donc une verticale C^f. La perspective de DR sera de même une verUcale hh. Ainsi : toutes les droites qui passent par le pied du spectateur sont verticales en perspective*

GÉOMÉTRIB DANS L'ESPACE. 225