REMARQUES SUR LB LETER M» PLANS ET STR LÀ BOSSVRE DES HÂCTEURS

41S. Les terrains qu'on peut avoir k mesurer ne sont jamais parfaitement plans. Lorsqu'ils offrent des ondulations considérables, s'il fallait mesurer leur superficie réelle , le problème présenterait presque toujours de grandes difficultés. Mais Teicpérience a prouvé que les terrains qui offrent des pentes notables sont moins productifs que les terrains horizontaux : les eaux pluviales, en suivant ces pentes, entraînent la terre végétale, et rendent le terrain aride; d'ailleurs , les végétaux croissant verticalement et non point perpendiculairement au terrain , il en résulte qu'une pièce de terre , quelle que soit sa pente , ne saurait contenir une quantité de végétaux plus grande que celle qui serait contenue dans l'étendue horizontale qu'on obtient en abaissant de tous les points du contour de cette pièce de terre des perpendiculaires sur un même plan horizontal , étendue que Ton nomme dans TArpentage sa hase productive, et qui , en Géométrie , reçoit le nom de projection horizontale du terrain. C'est par les raisons précédentes que Ton ne s'occupe point de mesurer la superficie réelle d'un terrain, mais que l'on se borne à mesurer sa base productive ou projection horizontale. C'est donc de cette projection que l'on doit lever le plan, sauf par des opérations de nivellement, à rechercher la hauteur des points les plus remarquables au-dessus d'un même plan horizontal , non pour faire Intervenir ces hauteurs dans la mesure demandée , mais pour obtenir une idée plus exacte de la configuration du terrain.

On agit , à plus forte raison , de cette manière quand le plan n'a pour but aucune mesure de superficie , ainsi que cela a lieu en général pour les plans militaires.

416. La première chose à faire est de se procurer une base d'opérations parfaitement horizontale et de la mesurer. Si une pareille ligne se rencontre sur le terrain , on a soin d'en profiter : ce sera, par exemple , le bord d'une route , d'une allée, d'un canal, d'un sentier, etc. Dans le cas contraire, on choisit une base qui offre le moins de pente possible; on la jalonne, et, k l'aide d'un niveau d'eau , on détermine une horizontale d'un jalon à l'autre sur toute la ligne. Les jalons étant suffisamment rapprochés , on tend un cordeau de chaque jalon au jalon suivant , en fixant ses extrémités aux points déterminés par le niveau d'eau : la longueur de chaque cordeau exprime la distance de deux jalons consécutifs; en faisant la somme de toutes les distances analogues, on obtient la longueur horizontale de la base à mesurer. La figure 370 rend compte de cette opération.

477. On fait ensuite planter bien verticalement des jalons k tous les points remarquables du terrain que l'on veut relever.

Soient DE (fig. 371) l'un de ces jalons; AA' et BB' les verticales des points A et B qui sont les extrémités de la base. Les trois points A, B, D sont supposés situés sur le terrain même. Admettons que le plan horizontal sur lequel on veut projeter le terrain soit celui qui passe par le point B, et qui coupe en a et en d les prolongements des verticales AA' et DE. Lliorizonlale aB sera la base mesurée, que l'on reportera sur le plan en la réduisant suivant l'échelle adoptée; et l'angle daB sera l'un de ceux qu'il s'agit d'obtenir. Or la droite Xa étant verticale et le plan Bad horizontal ; les angles AaB et kad sont droits , et l'angle daB est l'angle plan qui sert de mesure au dièdre formé par les plans ÂadE et AaBB'. Nous savons que ce dièdre peut être mesuré en un point quelconque de

son arèle Ka-, il peut donc être mesuré au point m, par exemple ; il suffit pour cela de mener dans les plans ÂadE et ÂaBB' les horizontales mD' et mB', et de mesurer l'angle lymB formé par ces horizontales.

C'est précisément ce que Ton fait à Taide du graphomèlre. Supposons-le transporté au point A, de manière que le centre du limbe soit situé en m sur la verticale du point A (on y parvient au moyen d'un fil à plomb suspendu au dessous du centre du limbe). Supposons ensuite que le plan du limbe soit fixé bien horizontalement (on y parvient à l'aide d'un niveau à bulle d'air). Les alidades seront horizontales^ et les fils des pinnules seront verticaux. On dirige d'abord l'alidade fixe, de manière qu'en regardant par les pinnules, les fils réunis coupent le jalon planté verticalement en B ; ces fils et ce jalon sont alors dans le plan vertical AaBB'. On dirige ensuite l'alide mobile de manière qu'en regardant parles pinnules, les fils réunis coupent le jalon planté verticalement en D; ces fils et ce jalon sont alors dans le plan vertical XadHf, L'angle des deux alidades, c'està-dire l'angle dont on peut lire la valeur sur le limbe, est alors la mesure du dièdre formé par ces deux plans verticaux , et est , par conséquent , égal à l'angle doB qu'on se proposait de mesurer.

On voit que ce sont, par le fait, des dièdres que l'on mesure au moyen du graphomèlre, et que ces dièdres ont leur arête verticale. De là la nécessité que tous les jalons soient verticaux , que le limbe de l'instrument soit horizontal , et que son centre soit sur la verticale qui sert d'arêle au dièdre que l'on mesure. On peut faire des observations analogues à l'égard de la planchette.

A^%. Nous avons dit que, lorsqu'on doit opérer sur une grande étendue de terrain , les pinnules sont remplacées par des lunettes dont l'objeclif est muai d'un fil vertical comme celui des pinnules. Ces lunettes sont ordinairement susceptibles de se mouvoir autour d'un pivot parallèle au limbe, en sorte que l'axe de la lunette , c'est-à-dire la droite qui joint le centre de l'objectif au centre de l'oculaire , se meut dans un plan perpendiculaire à celui du limbe. Si le limbe est horizontal, le plan dans lequel peut se mouvoir l'axe de la lunette est donc vertical. 11 en résulte que , quelque position que prennent les lunettes , l'angle mesuré par les alidades sur le limbe est le même que si l'axe de chaque lunette était horizontal , condition qui serait gênante si elle était obligatoire, parce que la distance de l'instrument au jalon que l'on vise peut êlre assez grande pour que l'horizontale, qui serait déterminée par l'axe de la lunette, aille passer au-dessus ou au-dessous du jalon. La disposition que nous venons de décrire permet, au contraire, de viser le jalon lui-même, sans que la valeur de l'angle mesuré soit altérée. Les lunettes qui remplissent cette condition sont dites lunettes plongeantes.

Avec celte disposition, on dirigerait, par exemple, les lunettes suivant mD et ftiB (fig. 871 ), et la valeur lue sur le limbe serait néanmoins celle de l'angle daB. On dit, dans ce cas, que l'angle DmB se trouve réduit A l'horixon. Dans le lever des plans , tous les angles doivent être ainsi réduits à Thorizon , et l'on voit qu'on y parvient sans peine à l'aide du graphomèlre , quand on peut le transporter au sommet de l'angle à réduire; dans le cas contraire, on s'arrange de manière que cet angle appartienne à un triangle dont les deux autres angles puissent se réduire facilement : on en déduit alors la valeur du troisième angle réduit.

Nous ferons remarquer que les lunettes dont est muni le graphomètre renversent les objets; cette circonstance est indifférente pour le but qu'on se propose , elle exige seulement un peu d'habitude de la part de celui qui fait usage de l'instrument.

Ce que nous avons dit de l'angle daB s'applique à tous les angles du plan, et nous avons vu (S4S) comment ce plan se détermine à l'aide d'une base et des extréniiî^*"* ^^™* *^*^ '** ^^^ ®" *^*^ ^^ diagonales qui aboutissent à ses

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479* Lorsque l'on a tracé le plan de la projection horizontale du terrain, on a tout ce qui est nécessaire pour sa mesure; il ne reste plus, pour donner une idée complète de sa configuration, qu'à indiquer la hauteur de ses points les plus remarquables au-dessus du plan horizontal sur lequel ils sont projetés. On emploie pour cela plusieurs méthodes.

Quelquefois on se contente de quelques coupes verticales. Pour les obtenir, on agit comme nous Tavons indiqué à l'article du nivellement (470), mais on a soin que» dans toutes leurs positions successives, les perches munies de voyant ne sortent pas d'un même plan vertical, ce qu'on obtient en les alignant comme lorsqu'on jalonne une distance. Les dislances mutuelles des perches étant connues, ainsi que la hauteur du point où chacune d'elles est plantée au-dessus du plan horizontal de comparaison , on a tous les éléments nécessaires pour tracer la coupe cherchée. A cet effet, on tire une droite quelconque AB (fig. 372); on y porte, au moyen d'une échelle de réduction, des distances proportionnelles Il celles qui séparent les perches ; par tous les points de division on élève à cette droite des perpendiculaires proportionnelles aux hauteurs observées , et Ton joint les extrémités de ces perpendiculaires par une courbe qui imite d'au-tant mieux les inflexions du terrain même que les stations ont été plus rapprochées et les opérations faites avec plus de soin.

On dessine ces coupes à part, et l'on indique sur le même plan les directions dans lesquelles elles ont été faites.

Les coupes sont employées avec avantage pour lever le plan des places fortes ou des ouvrages de fortification passagère , parce que les pentes observées en un point se répètent sur une longue étendue , et qu'il n'est point nécessaire de , multiplier les coupes. La figure 373 représente le profil d'une lunette détachée t la ligne AB est la direction horizontale naturelle du terrain en deçà et au delà de l'ouvrage ; on nomme AG le glacis, CD la contrescarpe; DE est le fond du fossé; EF est V escarpe; FG, la berme; GH est le talus extérieur du parapet; m , la plongée du parapet; les droites HI et AG sont le prolongement Tune de l'autre ; la ligne 1& est le talus intérieur du parapet; KL, la banquette; LB , la rampa ou le taltis de la banquette.

480. Lorsque l'on désire de plus grands détails, on détermine d'abord la hau« teur du plus grand nombre de points possible au-dessus du plan horizontal de comparaison; il s'agit ensuite d'indiquer, sur le plan même, toutes les hauteurs observées. Pour cela, on suppose le terrain coupé par une série de plans hori*' zontaux équidistants ; les intersections du terrain avec ces plans forment des courbes dont on possède d'autant plus de points que l'on a déterminé plus de hauteurs. L'une de ces courbes contiendra , par exemple , tous les points du terrain qui sont situés à i" de distance du plan horizontal de comparaison; une autre contiendra ceux qui sont situés à 2" de distance de ce plan; et ainsi de suite. On trace ces courbes sur le plan , et elles indiquent , dans chaque région de ce plan, une pente d'autant plus rapide qu'elles sont plus rapprochées (fig. 374).

On peut même, à Tinspection de ces courbes, évaluer la pente du terrain. Supposons , par exemple , que l'on veuille connaître la pente du terrain entre les points a eib; que la longueur a&, mesurée à l'échelle du plan, soit de 5"*| et que la distance des plans horizontaux consécutifs soit de l", on construira un triangle rectangle , abh (fig. 375) dont les côtés ah et bh soient respectivement représentés par 1 et par 5 ; l'angle abh exprimera la pente cherchée.

Pour pouvoir tenir compte des détails importants d'inflexions de terrain qui n'auraient pu trouver place dans l'ensemble de ces courbes, on représente par des hachures de plus en plus foncées les pentes qui sont de plus en plus rapides.

Cette méthode est employée dans toutes les cartes topographiques soignées, et particulièrement dans les cartes militaires, où la pente du terrain joue un

rôle imporUnt, en raison des obstacles qu'elle peut oCWr au transport de l'ar- UUerie, et de rinfluence qu'elle peut avoir sur le choix des posilions.

Dans les cartes marines, après avoir levé le plan du rivage, des lies, îlots, écueiis, etc. , à consigner sur la carte, on note la profondeur des principaux sondages par un chiffre placé au point qui représente le lieu où le sondage a éié fait. Ce chiffre exprime ordinairement des brasses (la brasse vaut l-,60).

48i. H se présente quelquefois, dans un terrain, des points trop élevés et offrant de toutes parts des pentes trop brusques pour qu'on puisse y transporter le niveau d'eau, mais dont on désire néanmoins connaître la hauteur au-dessus du plan horizontal de comparaison. Voici comment il faut opérer dans ce cas :

On mesure une base horizontale AB (fig. 376); on établit le graphomclre au point A ; on dirige l'alidade fixe de l'instrument suivant l'horizonlale ab parallèle à AB,et l'on incline le limbe, sans rien changera la position du diamclre, jusqu'à ce que son prolongement aille passer par le point G dont on cherche la hauteur, ce dont on est averti quand , en variant la position de l'alidade mobile , le point C vient se placer à la partie inférieure du fil des pinnwlcs. On mesure ainsi l'angle Gob. On mesure de la même manière l'angle Cba ; on esl alors en état de construire sur le papier un triangle semblable au triangle oCb , et de mesurer par conséquent le c6té Cb,

Supposons maintenant que, suivant les horizontales AB et ab , on fasse passer des plans horizontaux ; et du point C, imaginons une perpendiculaire CP, abaissée sur le plan horizontal inférieur ABP, laquelle coupe en p le plan horizontal supérieur abp ; joignons PA, PB, pa , pb. Le graphomètre étant tout transporté au point B , on dresse son diamètre verticalement , et l'on dirige le limbe de manière que son prolongement aille passer par le point C; on mesure de celle manière l'angle XbC, formé par la droite bC et la verticale bX. Cet angle est égal à l'angle pCb. Dans le triangle rectangle pCb , on connaît donc les angles et l'hypoténuse Cb; on peut donc construire un triangle semblable, et obtenir la mesure du côté Cp. Pour avoir la hauteur CP, du point C au-dessus du plan horizontal ABP, il ne reste plus qu'à ajouter à Cp la hauteur Pp, laquelle esl égale à Aaou àBb (4S2, Coroll.), c'est-à-dire à la hauteur du centre du graphomètre au-dessus du point B.

482. Les mêmes opérations peuvent servir à mesurer la hauteur d'un édifice , lorsque le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet sur le sol tombe dans l'intérieur de l'édifice, comme cela a lieu d'ordinaire.

Si l'édifice repose sur un terrain bien horizontal et offre dans tonte sa hauteur une arête verticale BC (fig. 377), dont le pied B soit accessible, l'opération se simplifie : on mesure à partir du point B, une base horizontale AB; on établit le graphomètre au point A ; on dresse son diamètre verticalement; on dirige le limbe vers la verticale BC, et l'alidade mobile sur le point C; on mesure l'angle XaC , formé par la droite aC et la verticale aX. Cet angle esl égal à l'angle BCa. Si l'on imagine maintenant une horizontale ab, on forme un triangle rectangle Cba , dans lequel on connaît les angles, et le côté ba égal à BA. On peut donc construire un triangle semblable , et obtenir la mesure du côté Cb. H ne reste plus, pour obtenir la hauteur de l'arête BC, qu'à y ajouter la hauteur bB, laquelle équivaut à aA, c'est-à-dire à la hauteur du graphomètre (ou du moins à la hauteur de son centre au-dessus du plan sur lequel il repose^

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