CHAPITRE X
▲Heu» TftlfiDEBS, ET DBS ARGLB8 POLTiDKBS BN cteOUL.
485. Le mot angle, que nous avons employé pour caractériser la position relative de deux droites qui se rencontrent, ou celle d'une droite et d'un plan , ou même celle de deux plans en y ajoutant le mot dièdre, s'emploie encore pour caractériser la position relative de trois plans qui passent par un môme point, et dont les intersections forment trois droites distinctes. Mais on y ajoute alors le mot trièdre, qui sert à le distinguer des angles dièdres et des angles plans.
La figure 378 représente un angle trièdre, ou simplement un irièdre. Les plans ASB, BSC, ASC qui le forment se nomment ses faces; les intersections SA, SB, SC des faces du trièdre se nomment ses arêtes , et le point de concours S des trois faces se nomme son sommet. On applique aussi le nom de faces aux angles ASB, BSC» ASC compris entre les arêtes; mais le sens du discours indique toujours suffisamment si Ton parle des plans ou des angles. •
Dans la considération des trièdres on fait abstraction de la longueur des arêtes.
On désigne un trièdre par la lettre placée à son sommet , en la faisant suivre , s'il est nécessaire , de trois autres lettres prises sur chacune de ses arêtes : on dirait ainsi le trièdre S, ou le trièdre SABC.
484. Lorsque trois plans passent par un même point S (fig. 379 ), et que leurs intersections forment trois droites distinctes AA', fiB', ce, ces plans présentent huit trièdres , dont quatre sont représentés en avant de la figure, savoir : SABC, SAFC, SA'BC, SA'B'C^ et les quatre autres en arrière, savoir : SABC, SAB'C, SA'BC^ SA'FC'.
Ces huit trièdres ont leurs faces et leurs dièdres égaux ou supplémentaires ; mais aucuns d'eux ne sont rigoureusement égaux. Les trièdres SABC et SA'B'C^ par exemple , ont leurs faces égales chacune à chacune comme opposées par le sommet , savoir :
ASB = ASB', ASC = ASC, et BSC — BSC.
Il en est de même de leurs dièdres; car il serait facile de voir que les angles plans qui les mesurent deux à deux en un même point de Tarôte, seraient dans un même plan, et opposés par le sommet. Cependant ces trièdres ne sont point superposables , parce que leurs éléments sont disposés dans un ordre inverse. En effet, si l'on imagine que la face BSC soit posée sur un plan horizontal , les deux
2S0 SECOimE PAKHE.
autres faces étant au-dessus de ce plan , et qu'on se place dans le dièdre qui a pour arête SA, en tournant les yeux vers cette arête , on aura la face ASB à sa gauche et la face ASC à sa droite. Si Ton imagine, au contraire , que la face B'SC, égale à BSC, soit posée à son tour sur un plan horizontal , les deux autres faces étant audessus de ce plan, et qu'on se place dans le dièdre qui a pour arête SA', en tournant les yeux vers cette arête, on aura à sa gauche la face A'SC et la face A'SB' à sa droite. Il résulte de cette disposition inverse que les trièdres SABC et SA'B'C ne sauraient coïncider. Pour que cette coïncidence devint possible , il faudrait que letrièdre SATB'C fût, pour ainsi dire, retourné, comme on retourne un doigt de gant.
Deux trièdres qui sont ainsi composés des mêmes éléments dis-posés dans un ordre inverse sont dits symétriques Tun de Tautre.
485. Thkorèmb. Dans un trièdre quelconque, chaque face est plus petite que la somme des deux autres, et plus grande que leur différence.
Soit en effet SABC (fig. 380) un trièdre quelconque. !• Il n'y a lieu à démontrer la première partie du théorème que pour la plus grande des trois faces : soit ASC cette plus grande face. Dans le plan ASC , menons SD qui fasse avec SC un angle DSC égal à l'angle BSC. Coupons les trois droites SA, SD, SC par une droite quelconque ADC. Prenons SB égal à SD, et joignons BA et BC.
Les triangles DSC et BSC sont égaux , comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun ; on adoncDC=BC.
On a d'ailleurs AC<AB+BC ; et, si Ton retranche d'une partDC et de l'autre son égale BC , il restera
AC — DC<AB, ou AD<AB.
Si l'on considère maintenant les triangles ASD et ASB, on voit qu'ils ont deux côtés égaux chacun à chacun. Mais le troisième côté AD de l'un est moindre que le troisième côté AB de l'autre; il en résulte que l'angle ASD opposé à AD est moindre que l'angle ASB opposé à AB (550).
On a donc ASD < ASB; et si l'on ajoute d'une part l'angle DSC et de l'autre son égal BSC , il vient
ASD + DSC < ASB + BSC, ou ASC<ASB+BSC.
2» Si les trois faces sont rangées , quant à leur grandeur, dans l'ordre ASC , ASB, BSC ; de l'inégalité
ASC<ASB+BSC
on tirera ASC — ASB<BSC
t > ASC— BSC < ASB,
GÉOMÉTRIE DANS L'eSPAGE. 2Si
et de Vînégalité ASB < ASC + BSC
on tirera ASB — BSC < ASC ,
ce qui démontre la seconde partie du théorème.
486. Théorème. Si par le sommet d'un trièdre on mène trois plans respectivement perpendiculaires à ses arêtes, on forme un second trièdre, tel que les faces du premier sont les suppléments des dièdres du second, et que les faces du second sont les suppléments des dièdres du premier.
(Un angle plan ne saurait être , à proprement parler^ le supplément d'un dièdre; il faut entendre, par cette expression abrégée , que l'angle plan est le supplément de celui qui sert de mesure au dièdre.)
Soit SABD (fig. 381 ) un trièdre quelconque. Par le point S, menons un plan aSb perpendiculaire à Taréte SD, un plan aSd perpendiculaire à Taréte SC, et un plan bSd perpendiculaire à Taréte SA. Ces trois plans détermineront un second trièdre Sabd.
L'aréle SD, étant perpendiculaire au plan aS6, est perpendiculaire aux droites Sa et Sb qui passent par son pied dans ce plan. L'arête SB, étant perpendiculaire au plan aSdy est perpendiculaire aux droites Sa et Sd qui passent par son pied dans ce plan. Il en résulte que Sa est perpendiculaire à la fois aux arêtes SD et SB, et, par conséquent, au plan DSB qui contient ces deux arêtes (401). On démontrerait de la même manière que Sô est perpendiculaire au plan ASD, et que Sd est perpendiculaire au plan ASB.
Le théorème du n» 457 conduit dès lors immédiatement aux conséquences suivantes :
L'angle ASB, formé par les droites SA et SB respectivement perpendiculaires aux plans bSd etaSd, est le supplément du dièdre Sd compris entre ces plans. De même l'angle ASD est le supplément de l'angle dièdre Sfr, et l'angle BSD est le supplément de l'angle dièdre Sa.
Réciproquement, l'angle aSb , formé par les droites Sa et Sb respectivement perpendiculaires aux plans BSD et ASD , est le supplément de l'angle dièdre SD compris entre ces plans. De môme , l'angle aSd est le supplément de l'angle dièdre SB, et l'angle bSd est le supplément de l'angle dièdre SA.
Remarque. Lorsque deux trièdres jouissent de cette propriété remarquable, que les faces de chacun d'eux sont les suppléments des dièdres do l'autre, on les désigne sous le nom de trièdres supplémentaires.
487. Théorème. Dans tout trièdre, la somme des trois faces est moindre que quatre angles droits.
Soit SABC (fig. 382) un trièdre quelconque. Par trois pointa A,
332 SECONDE PâKTIE.
B , G , pris sur ses trois arêtes, faisons passer un plan ABC. Si Ton considère le trièdre A, on a , en vertu du théorème du n*» 488 :
