SAC + SAB>CAB

en considérant Tangle trièdre B , on a de même :

SBA+SBOABC, et en considérant Tangle trièdre C , on a aussi :

SCB+SCA>BCA.

Ajoutons ces trois inégalités, membre à membre , Tinégaiité subsistera encore dans le même sens , et Ton aura :

SAC+SAB+SBA+SBC + SCB+SCA>CAB+ABC + BCA

ou SAC+SAB+SBA + SBC+SCB+SCA>2 angles droits.

Or la somme totale des angles des trois triangles ASB, ASC, BSC, laquelle vaut six angles droits , se compose des six angles qui figurent dans le premier membre de l'inégalité précédente, plus les trois angles qui ont leur sommet en S. Puisque les six premiers font une somme plus grande que deux angles droits, il faut donc que les trois autres fassent une somme moindre que quatre angles droits.

488. Théorème. Dans tout trièdre, la somme des dièdres est plus grande que deux angles droits , et moindre que six.

Désignons , en effet, par m , n , p , les angles plans qui servent de mesure aux dièdres d'un trièdre quelconque, et par M, N , P , les faces du trièdre supplémentaire. Nous aurons, en appelant d Vangle droit (486),

d'où, en ajoutant ces égalités membre à membre,

Or, la somme des trois faces M , N , P , est comprise entre G et id (487) ; il en résulte que »»+ n+p est compris entre 6d — 0 et 6d — 4d, c'est-à-dire entre 6d et M. La somme de ces trois dièdres est donc plus grande que deux angles droits , mais moindre que 6.

489. Problême. Connaissant les trois faces d*un trièdre j trouver ses dièdres.

Soit SABC (fig. 383) un trièdre dont les trois faces ASB, BSC, ASC sont connues , et supposons , pour fixer les idées , qu'on veuille d'abord obtenir la valeur du dièdre SB. Prenons sur les trois arêtes, à partir du sommet S , les longueurs égales SA , SB , SC ; joignons AB , BC , AC. Par un point I de l'arête SB , élevons à cette arête , dans les faces ASB et BSC, les perpendiculaires IM et IN; l'angle MIN,

GÊOMÊniE DANS L'ESPACE. 23S

formé par ces perpendiculaires , sera précisément Tangle que nous cherchons, puisqu'il est la mesure du dièdre SB.

Remarquons que l'angle SBA , étant l'un des angles à la base du triangle isocèle ASB, est nécessairement aigu; il en résulte que l'oblique BA doit rencontrer la perpendiculaire IM ; de même BC doit rencontrer IN. Joignons les points de rencontre M et N par une ligne droite.

S'il nous était possible de construire sur le papier le triangle MIN, cette construction nous donnerait l'angle cherché MIN. Or il est facile de se procurer les trois côtés de ce triangle.

En effet , soient asb^ hsc , csa\ les trois faces du dièdre donné, disposées consécutivement sur un même plan , soient «a == « 6 = 5c == SB . Joignons ab^ bcy col. Les triangles a&b^ bsc^ csa! seront respectivement égaux aux triangles ASB , BSC , CSA , comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux. Si, avec les côtés a6, bc^ ca\ on construit un triangle a!'bc^ ce triangle sera donc égal au triangle ABC, car leurs côtés seront égaux chacun à chacun.

Soit encore &i=BI. Par le point t menons mn perpendiculaire à sb; le triangle mib sera égal au triangle MIB, car ils auront un côté égal 6i=BI, adjacent à des angles égaux chacun à chacun, savoir : «ni6=MIB comme droits, et m&i=MBI par suite de l'égalité des triangles asb et ASB. Par une raison semblable , les triangles bin et BIN seront égaux. Nous aurons donc ainsi m = IM et in=IN.

Prenons maintenant 6m' = bm , et joignons m'n , le triangle m*bn sera égal au triangle MBN; car ils ont deux côtés égaux chacun à chacun, savoir : ^'=6w=BM, et 6n=BN; et les côtés sont compris entre les angles cbd' et CAB, égaux entre eux par suite de l'égalité des triangles cebc et ABC. Donc m'n=:MN.

Si donc, avec les lignes im^ in et m'n nous construisons le triangle m'tn , ce triangle sera égal au triangle MIN , puisque ces triangles auront leurs trois côtés égaux chacun à chacun. L'angle m'i'n est donc égal à l'angle demandé.

On obtiendrait de la même manière les deux autres dièdres , ou du moins les angles plans qui leur servent de mesure.

Remarque. La construction précédente s'applique à toutes les valeurs que peuvent prendre les trois faces données, et l'on peut remarquer que le problème n'a qu'une seule solution.

Corollaire. Quand deux trièdres ont leurs faces égales chacune à chacune , ils ont aussi leurs dièdres égaux chacun à chacun. Ils sont donc ou égaux si ces faces sont disposées dans le même ordre, ou symétriques si elles sont disposées en ordre inverse.

Il est facile de reconnaître, d'aiUeurs, que les faces ne peuvent

au SECONDE PâATIB.

être disposées que de Tune ou l'autre de ces deux manières, puisqu'elles ne sont qu'au nombre de trois.

490. Problème. Étant donnés dans un trièdre deux faces et le dièdre compris y trouver la troisième face.

Soient ASB et BSC (fig. 383) les deux faces données. Si Ton prend, comme tout à l'heure, SA=SB=SC; qu'on joigne AB, BC, AC qu'on élève IM et IN perpendiculaires à SB , et qu'on joigne MN l'angle MIN étant la mesure du dièdre ASBC, qui est supposé donné , on connaît dans le triangle MIN deux côtés et l'angle compris ; on peut donc construire ce triangle, et il est facile d'en déduire la (ace inconnue ASC.

En effet, soient asb et bsc les faces données, placées consécutivement sur un même plan. Soit 5a r= 56= SB. Les triangles osb et bsc seront respectivement égaux aux triangles ASB et BSC.

Soit encore M=BI. Menons, par le point t, la droite mn perpendiculaire à sb; les triangles mib et nib seront respectivement égaux aux triangles MIB et NIB.

Construisons un triangle ni'î'ri\ dans lequel l'angle m^iV soit égal à l'angle donné, formé par les faces ASB et BSC , et dans lequel on ait mV=;/ii=MI, etnV=nf=NI. Ce triangle sera égal au triangle MIN, puisqu'ils auront un angle égal compris entre côtés égaux; il en résultera : wV=MN.

Avec les côtés mb^ bn et mV, construisons le triangle m!hn\ ce triangle sera égal au triangle MBN ; car ils auront «leurs trois côtés égaux chacun à chacun.

Sur la droite W, prenons 6a"= ôa, et joignons co", le triangle cFbc sera égal au triangle ABC, car les aoglesa^c et ABC sont égaux par suite de l'égalité des triangles rïibn et MBN ; et de plus on a ôc=BC et ôa"=6a cr^BA.

Il résulte de là que l'on a aussi ac=AC. Construisons donc un triangle ci se dont les côtés se et sci soient égaux , et dont la base soit égale à d'c\ ce triangle sera égal au triangle ASC, puisqu'ils auront leurs trois côtés égaux chacun à chacun. L'angle dsc sera donc la troisième face demandée.

Remarque. Connaissant la troisième face, on pourrait, en employant la construction du n« 489, obtenir les deux autres dièdres.

Corollaire. Le problème qui précède n'étant susceptible que d'une seule solution, on voit que lorsque deux irièdres ont un dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune ^ la troisième face est aussi égale départ et d'autre, et d'après ce que nous avons dit dans le corollaire du numéro précédent, ces trièdres sont égaux ou symétriques, suivant que leurs faces sont disposées dans le même ordre ou en ordre inverse.

GÊOMÉTltlB DANS L'fiSPAGE. 2S5

401. Problèmi. Étant donnés, dans un trtèdre, une face et les deux dièdres adjacents ^ trouver les autres faces et te troisième dièdre.

Appelons A la face donnée, M et N les angles plans qui servent de niesure aux dièdres adjacents donnés. En vertu du théorème du n° 486 , le trièdre supplémentaire aura deux faces égales k2d — M et à 2d — N; et le dièdre compris entre ces deux faces aura pour valeur 2d — A (d désignant la valeur de l'angle droit).

Appliquant les constructions du problème précédent, nous pourrons déterminer la troisième face de ce trièdre supplémentaire, et par suite, à Taide des constructions du n^" 489, ses deux autres dièdres. Soient P la troisième face , B et C les deux dièdres ainsi déterminés; le trièdre proposé aura nécessairement un troisième dièdre dont la valeur sera 2d — P, et deux autres faces respectivement égales à 2d — B et à 2d — C. Tous ses éléments seront donc connus.

Corollaire. Deux trièdres qui ont une face égale adjacente à deux dièdres égaux chacun à chacun^ ont tous leurs éléments égaux, ' et sont par conséquent égaux ou symétriques^ selon que ces parties sont disposées dans le même ordre ou en ordre inverse.

492. Problème. Étant donnés les trois dièdres d'un trièdre^ trouver ses trois faces. Appelons M, N, P les angles plans qui servent de mesure aux dièdres donnés ; les faces du trièdre supplémentaire auront respectivement pour valeur 2d — M, 2d — N et 2d — P (la lettre d désignant toujours la valeur de l'angle droit). Appliquons les constructions du n* 489, nous déterminerons successivement les trois dièdres du trièdre supplémentaire. Soient A, B, C ces trois dièdres, ou du moins les angles plans qui leur servent de mesure; les faces du trièdre proposé auront respectivement pour valeur 2d— A, 2e/— B, 2rf— C.

Corollaire. Deux trièdres qui ont leurs dièdres égaux chacun à chacun ont aussi leurs faces égales chacune à chacune ^ et sont par conséquent égaux ou symétriques, suivant que leurs éléments sont disposés dans le même ordre , ou en ordre inverse.

493. PROBLÈHE. Étant donnés dans un trièdre deux faces et le dièdre opposé à Vune d'elles, construire la troisième face et les deux autres dièdres»

Soient ASB et BSC (Og. 384) les deux faces données , AC l'aréle du dièdre donné. D'un point quelconque 0 pris sur Taréte SB abaissons sur la face ASC la perpendiculaire OP; du point P abaissons sur SC la perpendiculaire PI; et joignons 01, qui sera elle-même perpendiculaire sur SC (413). L'angle plan OIP sera la mesure du dièdre donné.

Par le point 0 concevons un plan perpendiculaire à Tarôle SB ; il coupera les faces ASB et BSC suivant les droites OA et OC perpendiculaires à SB, et la face ASC suivant AC, qui coupera en H le prolongement de SP.

Je dis d*abord que , si Ton joint OH , la droite AC sera perpendiculaire à SP el % OH. Car le plan OSP étant perpendiculaire ^ ASC comme contenant 6P

perpendiculaire à ce plan (444) , et élant perpendiculaire au plan ÀOC connue conlenanl SO perpendiculaire à ce plan , est perpendiculaire à leur inlersec* tion AC. Réciproquementi cette intersection lui est perpendiculaire , et par conséquent aux droites SH et OH ( 399 ).

Sur le prolongement de SH prenons HO'=HO, et joignons AO"; le triangle AHO' sera égal au triangle AHO comme ayant un angle droit, le côté AH commun, et le côté HO'=HO.

Si donc, dans le plan ASC, on connaissait la direction AC et le point O', en décrivant de ce point comme centre, avec un rayon égal à OA qu'on peut regarder comme connu, un arc de cercle, son intersection avec AC donnerait le point A ; et par conséquent l'angle ASC serait déterminé.

Cela posé, soient Taits sur un même plan ash et hsc respectivement égaux à ASB et à BSC. Prenons so=SO, Du point o abaissons oip perpendiculaire sur se. Menons ig qui fasse avec ip Tangle donné ; prenons tgf = io; abaissons gp perpendiculaire sur ip. Les triangles igp et lOP seront égaux, et nous aurons ainsi, dans le plan de la figure, la position du point P (en p).

Joignons Sp ; élevons-lui en p une perpendiculaire pk égale a pg , et joignons sk j le triangle skp sera égal au triangle SOP.

Observant maintenant que l'angle SOH est droit , puisque SO est perpendiculaire au plan AOC, élevons kh perpendiculaire à ks, ei qui rencontre en h le prolongement de sp ; nous aurons en h la position du point H.

Menons a'c perpendiculaire à s/i ; et sur le prolongement de sh prenons h&= hk; nous aurons en o' la position du point 0'.

Maintenant abaissons du point o sur sa la perpendiculaire oa. Du point &, avec oa pour rayon décrivons un arc de cercle qui coupera a'c en a\ Joignons enfin ^a', l'angle a'sc sera la troisième face demandée.

La construction du n" 489 donnera ensuite les deux autres dièdres.

Remarqoes. I. Il y aura deux solutions, une seule, ou point, selon que l'arc de cercle décrit du point o' comme centre avec oa pour rayon rencontrera oV en deux points, lui sera tangent, ou ne la rencontrera pas.

IL Si les angles ash ou hsc étaient obtus, les perpendiculaires oa ou oi ne rencontreraient point les droites sa ou se elles-mêmes, mais bien leurs prolongements. Il n'y aurait d'ailleurs aucune modification à apporter k la construction.

494. Problème. Étant donnés dans un trièdre deux dièdres et la face opposée à Vun d'eux, construire le troisième dièdre et les deux autres faces.

Soient M et N les deux dièdres donnés, et A la face donnée opposée à M. Le trièdre supplémentaire aura deux faces 2d— M et 2d— N, et le dièdre 2d— A opposé à la face 2d ~ M. Les constructions précédentes feront donc connaître la troisième face P, et les deux autres dièdres B et C du trièdre supplémentaire. Le trièdre proposé aura donc pour troisième dièdre 2d — P, et ses deux autres faces seront 2d-~B et 2d— C (d désignant toujours la valeur de l'angle droit).

495. Lorsque deux trièdres ont deux faces égales cbacune à chacune ainsi* que l'angle dièdre opposé a l'une d'elles, ou bien deux dièdres égaux cbacun à chacun ainsi que la face opposée à l'un d'eux , on ne peut plus affirmer que ces deux trièdres sont égaux.

496. Applications. I. L'égalité des angles trièdres trouve une application fréquente dans les assemblages de charpente et de menuiserie. L'assemblage dit à double queue d'hironde, par exemple (fig. 385), exige que les angles trièdres, placés en saillie à l'extrémité du trapèze qui termine chacune des deux pièces à assembler, se reproduisent exactement eu creux sur l'autre pièce, afin que la coïncidence soit parfaite.

U. Cette m^me égalité des angles trièdres trouve aussi son application dans

GÊOltfTRIE DANS L'ESPâGE. 237

l'art du galnier. Tous les angles trièdres qu'offre en saillie l'objet pour lequel on confectionne un étui doivent se reproduire en creux dans Tétui même, afin que la coïncidence puisse s'établir. C'est ce qu'on peut observer, par exemple , dans les étuis des équerres d'arpenteur, dites octogones.

Des angles polyèdres.

497. Un nombre quelconque de plans passant par un même point déterminent ce qu'on nomme un angle polyèdre, La figure 386 représente un angle polyèdre. Les plans ASB, BSG, CSD, DSE, ESA qui le composent se nomment ses faces; leurs intersections consécutives SA, SB, se, SD, SE sont ses arêtes; et le point S où viennent aboutir toutes les arêtes se nomme le sommet de Tangle polyèdre.

Dans la considération des angles polyèdres, on fait abstraction de la longueur des arêtes.

On désigne un angle polyèdre par la lettre du sommet, que Ton fait suivre, s'il est nécessaire, d'une lettre prise sur chacune de ses arêtes consécutivement. On dira ainsi l'angle polyèdre S, ou l'angle polyèdre SABCDE.

On ne considère, dans la Géométrie élémentaire, que les angles polyèdres convexes, c'est-à-dire qui ne peuvent être rencontrés en plus de deux points par une ligne droite, et n'offrent par conséquent aucun angle dièdre rentrant.

498. Théokème. La somme des faces d'un angle polyèdre convexe quelconque est toujours moindre que A angles droits.

Soit SABCDE (fig. 387) un angle polyèdre quelconque. Par le sommet S, on peut toujours mener un plan tel que l'angle polyèdre soit tout entier d'un même côté de ce plan ; et si , par un point A, pris sur l'une des arêtes, on mène on second plan parallèle au premier, il coupera toutes les arêtes de l'angle polyèdre (440, Coroll.). Soit donc ABCDE le polygone formé par l'intersection de ce second plan avec les faces de l'angle polyèdre ; ce polygone sera convexe, puisque l'angle polyèdre est convexe lui-même.

Cela posé , prenons dans l'intérieur du polygone ABCDE un point quelconque 0, et joignons OA, OB, OC, OD, OE. Nous formerons des triangles ayant leur sommet en 0, qui seront en nombre égal à ceux qui ont leur sommet en S , et la somme totale des angles de ces deux systèmes de triangles sera la même. Mais la somme de tous les angles en 0 équivaut à 4 angles droits ; pour prouver que la somme des angles en S est moindre , il suffit donc de prouver que la somme totale des angles à la base , dans le système de triangles dont le sommet est en S , est plus grande que la somme totale des angles à la base, dans le système de triangles qui ont leur sommet en 0. Or

238 8EC0NDB PARTlf.

c'est ce qu'il est facile de faire voir, en remarquant que Ton a, en vertu du théorème du n« 488 :

ABS+SBOàBC; BCS+SCD>BCD;

et ainsi de suite ; d'où Ton tire, en ajoutant ces inégalités membre à membre :

ABS-f SBC + BCS + SCD + etc. >ÀBC + BCD-f-etc.,

ou ABS + SBC + BCS + SCD etc.

> ABO + OBC + BCO + OCD + etc.

409. Si Ton mène un plan par deux arêtes d'un angle polyèdre qui ne font point partie d'une même face, on obtient ce qu'on nomme un plan diagonal. Ainsi ASC, ASD, BSD, etc. (fig. 3S6), seraient autant de plans diagonaux.

Par des plans diagonaux, on peut partager un angle polyèdre en trièdres, comme par des diagonales on peut partager un polygone en triangles.

On ferait voir facilement que deux angles polyèdres égaux peuvent se décomposer en un même nombre de trièdres égaux chacun à chacun , et semblablement disposés.

Lorsque deux angles polyèdres ont tous leurs éléments égaux , mais disposés dans un ordre inverse, ils prennent le nom d'angles polyèdres symétriques. Ils se décomposent alors en un même nombre de trièdres symétriques, disposés dans un ordre inverse.

Un angle polyèdre est régulier lorsque toutes ses faces sont égales, ainsi que tous ses dièdres. Nous en rencontrerons quelques exemples.

SM. ÀppLicATiom. On trouve des angles polyèdres dans un grand nombre de formes que nous aurons bientôt à étudier. Les cristaux en offrent de nombreux exemples. Le diamant, lorsqu'il est taillé en rose, présente à sa partie supérieure un angle polyèdre dont les faces sont trè^Hiombreuses.